Em 1993, a Associação Matemática da América publicou um livro curioso, organizado por Roger Nelsen: Provas sem palavras. Cada página traz um desenho e, às vezes, uma fórmula embaixo. Nenhuma frase. A ideia é que o leitor olhe, entenda e se convença sem que ninguém explique nada. O livro fez tanto sucesso que ganhou mais dois volumes, e a revista Mathematics Magazine publica provas assim até hoje.

A escada que vira retângulo

Uma escada com 1, 2, 3 e 4 quadradinhos, e duas escadas iguais encaixadas formando um retângulo de 4 por 5.
Uma escada com 1, 2, 3 e 4 quadradinhos, e duas escadas iguais encaixadas formando um retângulo de 4 por 5.Diagrama didático produzido para este livro.

Quanto vale $1+2+3+4$? Desenhe uma escada com essas fileiras de quadradinhos. Agora faça uma cópia, gire-a e encaixe-a ao lado: as duas escadas formam um retângulo de $4$ por $5$, com $20$ quadradinhos. Cada escada tem metade:

$$1+2+3+4=\frac{4\cdot5}{2}=10.$$

E o desenho não depende do $4$. Com uma escada de $n$ degraus, as duas cópias formam um retângulo $n\times(n+1)$, e

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

O capítulo 4 provou essa fórmula por indução, com álgebra. O desenho prova a mesma coisa de outro jeito: em vez de seguir passos, vê-se por que a metade de um retângulo aparece.

“Veja!”

A prova sem palavras mais famosa é a do teorema de Pitágoras atribuída ao indiano Bhaskara, no século XII. Quatro cópias de um triângulo retângulo de catetos $a$ e $b$ e hipotenusa $c$ são arrumadas dentro de um quadrado de lado $c$, deixando no meio um quadradinho de lado $b-a$. Segundo a tradição, Bhaskara teria escrito embaixo uma única palavra: “Veja!”. As áreas dão

$$c^2=4\cdot\frac{ab}{2}+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2.$$

O curioso é que a “prova sem palavras” precisa de uma linha de álgebra para ser conferida. O desenho mostra as peças; a conta garante que elas cabem.

Quando o desenho prova e quando engana

O capítulo 1 contou a desconfiança dos gregos em relação às figuras. Ela tem razão de ser. O quebra-cabeça do quadradinho perdido, divulgado pelo mágico amador Paul Curry em 1953, monta um triângulo com quatro peças e, trocando as peças de lugar, monta outro triângulo do mesmo tamanho, com um quadradinho faltando. De onde saiu a área?

O segredo é que nenhum dos dois “triângulos” é um triângulo. As duas peças triangulares têm inclinações diferentes, $\frac25=0{,}4$ e $\frac38=0{,}375$, e a “hipotenusa” é, na verdade, uma linha quebrada, ligeiramente para dentro numa montagem e ligeiramente para fora na outra. A diferença entre as duas é exatamente um quadradinho, espalhado numa faixa fina demais para o olho ver.

Uma prova sem palavras só é prova quando cada relação que o olho usa, “estas linhas são paralelas”, “estes pontos estão alinhados”, “estas peças se encaixam”, pode ser garantida por um argumento. Quando o olho supõe mais do que o desenho garante, o diagrama vira ilusão de ótica.

Exercício: a soma dos ímpares

O capítulo 4 mostrou um desenho em que cada número ímpar é uma camada em forma de L. Use a ideia para calcular $1+3+5+\cdots+19$ sem somar.

Os ímpares de $1$ a $19$ são $10$ camadas, e $10$ camadas formam um quadrado de lado $10$. A soma é $10^2=100$.

Exercício: as inclinações do quadradinho perdido

No quebra-cabeça de Curry, uma peça triangular tem catetos $2$ e $5$, a outra $3$ e $8$, e a figura toda tem catetos $5$ e $13$. Compare as inclinações e explique o quadradinho.

As inclinações são $\frac25=0{,}4$, $\frac38=0{,}375$ e, para a figura toda, $\frac5{13}\approx0{,}385$. Como as peças não têm a mesma inclinação, as “hipotenusas” não formam uma reta. A área de um triângulo verdadeiro de catetos $5$ e $13$ seria $32{,}5$; as peças somam $32$ numa montagem e o espaço vazio, mais as peças, $33$ na outra. A diferença de uma unidade está nas duas faixas finas entre a linha quebrada e a reta.

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