No fim dos anos 1970, pesquisadores do Instituto de Pesquisa sobre o Ensino de Matemática (IREM) de Grenoble, na França, propuseram a crianças do ensino fundamental um problema estranho:

Num barco há 26 carneiros e 10 cabras. Qual é a idade do capitão?

O problema não tem resposta: nada no enunciado fala da idade de ninguém. Mesmo assim, segundo o relato que a educadora Stella Baruk tornou famoso no livro L’âge du capitaine (1985), 76 de 97 crianças responderam com um número, quase sempre $36$, a soma dos dois que apareciam no texto.

O contrato escondido

As crianças não eram distraídas. Estavam seguindo, com muita lógica, as regras que a escola lhes ensinara sem dizer: todo problema tem resposta, a resposta é um número, todos os números do enunciado devem ser usados, e a operação é aquela que as palavras sugerem. O pesquisador francês Guy Brousseau chamou esse conjunto de regras tácitas de contrato didático. Quando o contrato vale mais que o texto, o texto deixa de ser lido.

As palavras-chave que enganam

Uma das regras do contrato é a das palavras-chave: “mais” manda somar, “sobraram” manda subtrair, “cada” manda multiplicar. Funciona em muitos exercícios de livro, e por isso se fixa. Mas basta inverter a frase:

Ana tem 12 balas, 4 a mais que Bia. Quantas balas tem Bia?

Quem obedece à palavra “mais” soma e responde $16$. Quem lê percebe que Bia tem menos: $12 - 4 = 8$. Escrito no registro dos sinais, o enunciado é $A = B + 4$, com $A = 12$; a equação tem um “$+$”, e mesmo assim a conta pedida é uma subtração. A palavra descreve a relação entre as quantidades, não a operação que o leitor deve fazer.

Essa passagem do texto para a equação é uma conversão entre registros, no sentido de Duval que vimos no capítulo 2. Ela é difícil justamente quando a ordem das palavras não coincide com a ordem dos sinais.

Os quatro passos de Pólya

O matemático húngaro George Pólya resumiu, em A arte de resolver problemas (How to Solve It, 1945), um roteiro que continua útil:

  1. Compreender o problema. Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condição? Dá para dizer o problema com as próprias palavras?
  2. Estabelecer um plano. Conhece um problema parecido? Dá para dar nome às quantidades e escrever a condição como equação?
  3. Executar o plano. Fazer as contas, conferindo cada passo.
  4. Rever. A resposta faz sentido? Tem a unidade certa? Responde à pergunta que foi feita?

É tolice responder a uma pergunta que não se compreendeu.

— George Pólya, A arte de resolver problemas (1945)

O primeiro passo teria salvado as crianças de Grenoble: a incógnita é a idade de uma pessoa, e nenhum dado fala dela. O último também: um capitão de $36$ anos é plausível, mas a pergunta “de onde veio esse $36$?” não tem resposta.

Exercício: o desconto ao contrário

Depois de um desconto de $20\%$, uma camisa custa R$ 40. Qual era o preço original? Por que a resposta “R$ 48” está errada?

Chamando de $p$ o preço original, o enunciado diz $0{,}8\,p = 40$, logo $p = 50$. A resposta $48$ vem da palavra-chave: “desconto de 20%” sugere mexer em $20\%$ de $40$. Mas os $20\%$ são do preço original, não do final. Conferindo: $20\%$ de $50$ é $10$, e $50 - 10 = 40$.

Exercício: problemas sem resposta

Qual dos dois problemas pode ser resolvido? (a) “Uma sala tem 30 alunos e 18 são meninas. Quantos meninos têm mais de 10 anos?” (b) “Uma sala tem 30 alunos e 18 são meninas. Quantos são os meninos?”

Só o (b): $30 - 18 = 12$ meninos. No (a), os dados não dizem nada sobre idades, e qualquer número seria inventado. Um bom exercício para a sala de aula é justamente misturar problemas com e sem resposta e pedir que os alunos digam, antes de calcular, quais dá para resolver.

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