Euler's Eyes
2026-10-19
A quarta dimensão: desenhar o que não se vê
Todos os diagramas deste capítulo têm uma vantagem: o objeto representado cabe, de algum modo, no papel. Mas a matemática fala com naturalidade de espaços de quatro, dez ou um milhão de dimensões. A álgebra não tem dificuldade nenhuma: um ponto de quatro dimensões é só uma lista de quatro números, $(x,y,z,w)$. O olho, porém, vive em três. Como se desenha o que não se pode ver?
Flatland
Em 1884, Edwin Abbott, diretor de uma escola em Londres, publicou sob o pseudônimo de Um Quadrado um pequeno romance chamado Flatland, a Terra Plana. O narrador é um quadrado que vive num mundo de duas dimensões, habitado por triângulos, quadrados, pentágonos e círculos. Os habitantes só enxergam segmentos: olhando de lado, todo polígono é uma linha.
Um dia, uma esfera visita a Terra Plana. O quadrado vê aparecer um ponto, que cresce até virar um círculo, encolhe e some: são as fatias da esfera que atravessam o plano. Ele não consegue entender o que é a esfera, até ser arrancado do plano e ver, de cima, o seu próprio mundo. De volta, tenta falar da terceira dimensão e é preso por heresia.
A lição de Abbott é um método: raciocinar por analogia. Nós somos o quadrado diante da esfera. Um objeto de quatro dimensões que atravessasse o nosso espaço apareceria como uma sucessão de fatias tridimensionais que crescem e encolhem. Não podemos vê-lo inteiro, mas podemos perguntar como ele seria visto por quem vive uma dimensão abaixo.
Contar sem ver
A analogia funciona ainda melhor com números. Veja a sequência dos “cubos” em cada dimensão:
| Dimensão | Objeto | Vértices | Arestas |
|---|---|---|---|
| 0 | ponto | 1 | 0 |
| 1 | segmento | 2 | 1 |
| 2 | quadrado | 4 | 4 |
| 3 | cubo | 8 | 12 |
| 4 | hipercubo | 16 | 32 |
Para passar de uma dimensão à seguinte, copia-se o objeto e liga-se cada vértice à sua cópia. Os vértices dobram: $2^n$. As arestas são as da original, as da cópia e as novas ligações: $2A+V$. Do cubo ao hipercubo: $2\cdot12+8=32$. Ninguém viu as 32 arestas de um hipercubo, mas a contagem é certa. A notação e o raciocínio chegam aonde o olho não chega. O nome tesserato, para o hipercubo, foi inventado pelo matemático inglês Charles Howard Hinton em 1888.
A sombra de um hipercubo
O que se pode desenhar é a sombra. A sombra de um cubo num papel são dois quadrados ligados pelos vértices. A sombra de um hipercubo no nosso espaço são dois cubos ligados pelos vértices, um dentro do outro. E a sombra dessa sombra no papel é o desenho abaixo.
Gire o hipercubo no plano $xw$. Esse plano mistura uma direção do nosso espaço com a quarta direção, e não existe para nós. O resultado parece impossível: o cubo de dentro cresce, o de fora encolhe, e os dois trocam de lugar, atravessando um ao outro. Para um habitante da Terra Plana, um cubo girando fora do plano também pareceria se virar do avesso. O diagrama não mostra o hipercubo; mostra o que se pode saber dele com os olhos que temos.
Exercício: o cubo de cinco dimensões
Quantos vértices e arestas tem o cubo de cinco dimensões?
Vértices: $2^5=32$. Arestas: as do hipercubo, duas vezes, mais uma ligação por vértice: $2\cdot32+16=80$. Em geral, o cubo de $n$ dimensões tem $n\cdot2^{n-1}$ arestas: para $n=5$, $5\cdot16=80$.
Exercício: a esfera na Terra Plana
Uma esfera de raio $5$ atravessa a Terra Plana. Qual é o raio do círculo que o quadrado vê quando o centro da esfera está a $3$ unidades do plano?
Pelo teorema de Pitágoras, o raio da fatia é $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$. Quando o centro está no plano, o raio é $5$; a $5$ unidades, a fatia vira um ponto. O quadrado vê um círculo que cresce de $0$ a $5$ e volta a $0$.
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