Trigonometria

Exercícios do capítulo IV — Redução ao 1º quadrante

Redução ao 1º quadrante 117 Reduza ao 1º quadrante: a) $\cos 178^\circ$ b) $\operatorname{sen} 251^\circ$ c) $\operatorname{tg} 290^\circ$ d) $\operatorname{cotg}\dfrac{7\pi}{6}$ e) $\sec 1924^\circ$ f) $\operatorname{cossec}\dfrac{23\pi}{6}$ g) $\operatorname{sen}\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)$ h) $\cos\left(-\dfrac{5\pi}{3}\right)$ i) $\operatorname{tg}\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)$ j) $\operatorname{sen}\dfrac{21\pi}{4}$ k) $\cos\dfrac{31\pi}{6}$ l) $\operatorname{tg}\dfrac{11\pi}{3}$ Ver respostaa) $-\cos 2^\circ$ · b) $-\operatorname{sen} 71^\circ$ · c) $-\operatorname{tg} 70^\circ$ · d) $\operatorname{cotg}\dfrac{\pi}{6}$ · e) $-\sec 56^\circ$ · f) $-\operatorname{cossec}\dfrac{\pi}{6}$ · g) $\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6}$ · h) $\cos\dfrac{\pi}{3}$ · i) $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}$ · j) $-\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}$ · k) $-\cos\dfrac{\pi}{6}$ · l) $-\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}$

October 23, 2026 Iniciar leitura

Identidades de redução e funções pares e ímpares

A história Os nomes função par e função ímpar vêm das potências: $x^2$, $x^4$, $x^6$, … não mudam quando trocamos $x$ por $-x$, e $x$, $x^3$, $x^5$, … trocam de sinal. Os termos aparecem num trabalho do jovem Leonhard Euler sobre um problema de curvas proposto na época, as “trajetórias recíprocas”, escrito por volta de 1727. Euler percebeu também que o cosseno se comporta como as potências pares e o seno como as ímpares, o que fica claro nas séries que ele usou: $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$ só tem potências pares, e $\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$, só ímpares.

October 23, 2026 Iniciar leitura

Arcos complementares e a tábua de valores

Com as reduções do tópico anterior, basta conhecer as funções no 1º quadrante. Uma última simetria — na bissetriz do 1º quadrante — reduz ainda mais o trabalho: basta conhecer os arcos de $0$ a $\frac{\pi}{4}$, isto é, de $0^\circ$ a $45^\circ$. A história As primeiras tábuas trigonométricas foram de cordas: Hiparco e Ptolomeu tabelaram a corda de cada arco, de meio em meio grau. Os indianos passaram a tabelar a meia-corda (o seno), e os astrônomos árabes acrescentaram tangentes e cotangentes, ligadas ao comprimento das sombras nos relógios de sol. No século XV, Regiomontanus calculou senos com 7 algarismos, e em 1596 a obra póstuma de Rheticus, completada por Valentin Otho, trazia as seis funções de 10 em 10 segundos de arco, com até 10 algarismos — um trabalho de décadas que as calculadoras tornaram desnecessário, mas que sustentou a navegação e a astronomia por séculos. A simetria deste tópico era o primeiro truque de quem montava uma tábua: calculado o seno até $45^\circ$, o resto vinha de graça.

October 23, 2026 Iniciar leitura

Redução do 2º, 3º e 4º quadrantes ao 1º

Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de $x$, com $x$ fora do 1º quadrante, relacionando $x$ com algum número do 1º quadrante. A meta é conhecer $\operatorname{sen} x$, $\cos x$ e $\operatorname{tg} x$ a partir de uma tábua que dá as funções circulares dos reais entre $0$ e $\frac{\pi}{2}$. Arraste $P$ por todos os quadrantes. O ponto $P'$ do 1º quadrante é o simétrico de $P$; compare os valores de seno e cosseno no painel. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 23, 2026 Iniciar leitura

Exercícios do capítulo III — Relações fundamentais

Nos exercícios de cálculo, a relação fundamental dá o módulo e o quadrante dá o sinal. Nas identidades, indique qual dos três métodos você usou. Cálculo das funções a partir de uma delas 73 Sabendo que $\operatorname{sen} x = \dfrac{4}{5}$ e $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi$, calcule as demais funções circulares de $x$. Ver a resoluçãoComo $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi \Rightarrow \cos x < 0$, temos: $$\cos x = -\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$$$\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \qquad \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$$$$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = -\frac{5}{3} \qquad \operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}.$$ 74 Sabendo que $\operatorname{cossec} x = -\dfrac{25}{24}$ e $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$, calcule as demais funções circulares de $x$. Ver resposta$\operatorname{sen} x = -\dfrac{24}{25}$, $\cos x = -\dfrac{7}{25}$, $\operatorname{tg} x = \dfrac{24}{7}$, $\operatorname{cotg} x = \dfrac{7}{24}$, $\sec x = -\dfrac{25}{7}$

October 23, 2026 Iniciar leitura

Identidades e sua demonstração

Uma identidade é uma igualdade que vale para todos os valores em que os dois lados fazem sentido. Demonstrar identidades é o grande treino de manipulação da trigonometria: cada passo usa uma relação já provada. A história Para demonstrar identidades é preciso escrever as funções de forma curta. Até o século XVII isso não existia: cada relação era dita em palavras — “o seno do complemento do arco”, “a tangente do arco dobrado” —, e uma identidade de uma linha ocupava um parágrafo. As abreviações apareceram aos poucos: Gunter usou sin numa figura em 1624, o francês Pierre Hérigone o imprimiu num livro em 1634, e o inglês William Oughtred escrevia algo como s co arc para o cosseno. Foi Euler, na Introductio (1748), quem fixou o uso de sin., cos., tang. como símbolos de quantidades que se somam, multiplicam e elevam ao quadrado — e é esse uso que permite manipular uma identidade como uma expressão algébrica.

October 23, 2026 Iniciar leitura

Relações fundamentais

Todas as relações deste tópico saem de duas ferramentas da geometria plana: o teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos. A figura abaixo mostra os três triângulos que usaremos. Arraste $P$ e escolha a relação. O painel confere numericamente cada igualdade. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. A história No Almagesto, Ptolomeu já usava o equivalente de $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$: se conhecia a corda de um arco, obtinha a corda do arco suplementar pelo teorema de Pitágoras no triângulo inscrito na semicircunferência. As relações com tangente e secante aparecem nos trabalhos de Abu al-Wafa (século X) e de Nasir al-Din al-Tusi (século XIII), cujo Tratado sobre o quadrilátero tornou a trigonometria uma disciplina independente da astronomia.

October 22, 2026 Iniciar leitura

Leitura: Fourier e a condução do calor

Leitura complementar Leitura Fourier e a condução do calor Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) nasceu em Auxerre, na França, filho de um alfaiate. Órfão antes dos 10 anos, foi educado na escola militar da cidade, dirigida por monges beneditinos. Ainda menino escrevia sermões que padres de outras cidades usavam, e aos 13 anos descobriu a matemática, na qual se destacou rapidamente. Chegou a se preparar para entrar na ordem beneditina, mas a Revolução de 1789 mudou os seus planos. Joseph Fourier, em gravura de Julien-Léopold Boilly.Julien-Léopold Boilly · Wikimedia Commons · Domínio público Fourier aderiu com entusiasmo à causa revolucionária — e quase foi guilhotinado no Terror de 1794. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, em Paris, tornou-se professor e começou os trabalhos que o tornariam célebre; dessa época é o seu método para separar as raízes reais das equações algébricas, um problema que Newton havia iniciado. Em 1798 acompanhou Napoleão na expedição ao Egito, onde foi secretário do Instituto do Cairo, dirigiu trabalhos de engenharia e se tornou um especialista em egiptologia. De volta à França, foi nomeado prefeito do departamento de Isère, em Grenoble, e ali, entre 1804 e 1807, estudou a propagação do calor num corpo sólido. Para resolver as equações que encontrou, escreveu a temperatura como uma soma infinita de senos e cossenos — um tipo de desenvolvimento em série diferente do de Taylor, porque usa funções periódicas em vez de potências. A ideia de que funções quaisquer, até as que têm “quinas”, podem ser escritas dessa forma pareceu absurda a Lagrange e a outros membros da Academia, que receberam com reservas a memória de 1807. Fourier insistiu, e em 1822 publicou a Théorie analytique de la chaleur, marco da física-matemática. As séries de Fourier acabaram exigindo uma revisão completa dos conceitos de função, convergência e integral — trabalho a que se dedicaram Dirichlet, Riemann e Cantor — e hoje estão em toda parte: na compressão de músicas e imagens, na análise de terremotos e na ressonância magnética. Fourier morreu em Paris, em 1830.

October 22, 2026 Iniciar leitura

Exercícios do capítulo II — Funções circulares

Os gráficos das respostas mostram um período completo; a curva tracejada, quando aparece, é a função “de referência” ($\operatorname{sen} x$ ou $\cos x$). Para conferir um gráfico seu, use também o explorador de $a + b\operatorname{sen}(cx + d)$. Função seno Nos exercícios 23 a 42, determine o período e a imagem e faça o gráfico de um período completo da função $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada. 23 $f(x) = -\operatorname{sen} x$. Ver a resoluçãoConstruímos uma tabela em três etapas: 1ª) atribuímos valores a $x$; 2ª) associamos a cada $x$ o valor de $\operatorname{sen} x$; 3ª) multiplicamos $\operatorname{sen} x$ por $-1$. $x$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$ $\operatorname{sen} x$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $0$ $y$ $0$ $-1$ $0$ $1$ $0$ Com essa tabela obtemos 5 pontos do gráfico, que é o simétrico da senoide em relação ao eixo $x$. É imediato que $\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 2\pi$. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 22, 2026 Iniciar leitura

Cotangente, secante e cossecante

As três últimas funções circulares completam o quadro. A cotangente é lida no eixo horizontal que toca o ciclo em $B$; a secante e a cossecante aparecem quando traçamos a reta tangente ao ciclo em $P$ e vemos onde ela corta os eixos. A história Os nomes “secante” e “tangente” vêm da geometria do círculo: a reta tangente toca a circunferência (tangere, tocar) e a secante a corta (secare, cortar). Na figura da definição, o segmento $\overline{OS}$ fica sobre uma reta que, prolongada, é secante ao ciclo, e o segmento $\overline{AT}$ fica sobre a reta tangente em $A$. Esses segmentos já eram tabelados pelos astrônomos árabes: Abu al-Wafa, no século X, organizou as seis funções e mostrou como cada uma se obtém das outras.

October 22, 2026 Iniciar leitura

Função tangente

A tangente mede a inclinação da reta que liga o centro do ciclo ao ponto $P$. Ela é lida num eixo vertical que toca o ciclo em $A$ — o eixo das tangentes — e, ao contrário de seno e cosseno, pode assumir qualquer valor real. A história A tangente nasceu longe do círculo: nasceu das sombras. Uma vara vertical espetada no chão, o gnômon, projeta uma sombra cujo comprimento depende da altura do Sol — e a razão entre a sombra e a vara é, em linguagem de hoje, uma tangente (ou uma cotangente, conforme a posição da vara). Por causa dos relógios de sol e da hora das orações, os astrônomos do mundo islâmico precisavam dessas razões, e as primeiras tábuas de sombras conhecidas foram feitas em Bagdá por volta de 860. Costuma-se atribuí-las a Habash al-Hasib. Um século e meio depois, al-Biruni reuniu tudo o que se sabia no Tratado exaustivo sobre as sombras. O nome “tangente” só viria em 1583, com Thomas Fincke (veja o capítulo VIII).

October 22, 2026 Iniciar leitura

Função cosseno

Se o seno é a altura do ponto que gira, o cosseno é o seu afastamento horizontal do centro. Os dois andam juntos: quando um está no máximo, o outro passa por zero. A história Durante séculos, o cosseno não teve nome próprio: era só “o seno do complemento”. Viète o chamava de sinus residuae, e cada autor escrevia de um jeito. Em 1620, o inglês Edmund Gunter propôs, no seu Canon triangulorum, a forma abreviada co-sinus — e com ela também co-tangens. Quatro anos depois, Gunter foi o primeiro a usar a abreviação sin, numa figura; os nomes pegaram, e o prefixo co- virou a marca de todas as funções “do complemento”.

October 22, 2026 Iniciar leitura