Hero Image
Leitura: Euler, a análise encarnada

Leitura complementar Leitura Euler, a análise encarnada Leonhard Euler (1707–1783) nasceu em Basileia, na Suíça. O pai, pastor protestante, queria que ele seguisse a carreira religiosa, mas o jovem foi aluno de Johann Bernoulli, então o maior matemático da Europa, que logo reconheceu o seu talento e convenceu a família a deixá-lo estudar matemática. Leonhard Euler, retratado em 1753.Jakob Emanuel Handmann · Wikimedia Commons · Domínio público Em 1727, aos vinte anos, foi para a recém-criada Academia de Ciências de São Petersburgo, na Rússia, onde já trabalhavam Daniel e Nicolau Bernoulli, filhos do seu mestre. Por volta de 1738, depois de uma doença, perdeu a visão do olho direito. Em 1741 aceitou o convite de Frederico, o Grande, e passou 25 anos na Academia de Berlim; em 1766 voltou a São Petersburgo, onde ficou até morrer. Pouco depois do retorno, uma catarata tirou-lhe a visão do outro olho: Euler passou os últimos dezessete anos da vida praticamente cego — e foi nesse período que produziu quase metade da sua obra, ditando a assistentes e fazendo de cabeça cálculos enormes. Euler escreveu sobre quase tudo: análise, teoria dos números, geometria, mecânica, astronomia, óptica, música, construção naval. Os seus livros foram tão lidos que muitas das notações que ele usou se tornaram as nossas: $e$ para a base dos logaritmos naturais, $\pi$ para a razão entre a circunferência e o diâmetro, $i$ para $\sqrt{-1}$, $f(x)$ para uma função, $\Sigma$ para uma soma, e letras minúsculas $a$, $b$, $c$ para os lados de um triângulo opostos aos ângulos $A$, $B$, $C$. Para a trigonometria, a obra decisiva foi a Introductio in analysin infinitorum (“Introdução à análise dos infinitos”), de 1748. Nela, seno e cosseno deixaram de ser segmentos de um círculo de raio arbitrário e passaram a ser funções de um número, medidas num círculo de raio 1 — exatamente o ciclo trigonométrico deste livro. Ali aparece também a célebre fórmula que liga a trigonometria à exponencial: $$e^{ix} = \cos x + i\operatorname{sen} x.$$Euler morreu em São Petersburgo, em 1783, aos 76 anos. O astrônomo François Arago disse que ele “calculava sem esforço aparente, como os homens respiram e as águias se sustentam no ar”; e os seus contemporâneos o chamavam de a análise encarnada.

October 24, 2026 Iniciar leitura
Hero Image
Exercícios do capítulo VII — Equações

Em cada equação, pergunte primeiro: a qual equação fundamental ela se reduz? Depois de escrever as famílias de soluções, confira se nenhuma delas anula um denominador da equação original. Equação sen α = sen β 193 Resolva as equações: a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5}$; b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3}$; c) $\operatorname{sen} x = 0$; d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$; e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$; f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; g) $\operatorname{sen} x = 1$; h) $\operatorname{sen} x = -1$. Ver a resoluçãoa) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{4\pi}{5} + 2k\pi\right\}$. b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{\operatorname{sen} x} = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}} \Rightarrow \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{2\pi}{3}$, logo $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right\}$. c) $\operatorname{sen} x = 0 = \operatorname{sen} 0 \Rightarrow x = 2k\pi$ ou $x = \pi + 2k\pi = (2k + 1)\pi$. $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$. d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$. e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{5\pi}{4}$, logo $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$. f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$. g) $\operatorname{sen} x = 1 = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}$ (as duas famílias coincidem). $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$. h) $\operatorname{sen} x = -1 = \operatorname{sen}\dfrac{3\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right\}$.

October 24, 2026 Iniciar leitura
Hero Image
Funções circulares inversas

A equação $\operatorname{sen} x = \frac{1}{3}$ tem infinitas soluções, mas nenhuma delas é um arco notável. Como escrever a solução? Precisamos de um nome para “o arco cujo seno é $\frac{1}{3}$”. O problema é que há infinitos arcos assim; para que o nome designe um número, escolhemos um intervalo onde o seno não se repete. Essa escolha define as funções circulares inversas. A história A notação $\operatorname{arc\,sen} x$ — “o arco cujo seno é $x$” — foi usada por Daniel Bernoulli em 1729 e pelo matemático austríaco Joseph Scherffer em 1772, e ganhou força com Lagrange e outros autores do fim do século XVIII. A notação $\operatorname{sen}^{-1} x$, comum em calculadoras, foi proposta pelo astrônomo inglês John Herschel em 1813, por analogia com a inversa de uma função; ela tem o defeito de se confundir com $\frac{1}{\operatorname{sen} x}$, por isso neste livro usamos $\operatorname{arc\,sen}$.

October 24, 2026 Iniciar leitura
Hero Image
Soluções num intervalo e equações clássicas

Até aqui resolvemos as equações em $\mathbb{R}$, obtendo famílias infinitas de soluções. Muitas vezes, porém, só interessam as soluções num intervalo — por exemplo, os ângulos de um triângulo, que estão entre $0$ e $\pi$. E certas equações aparecem tanto que ganharam métodos próprios: são as equações clássicas. A história A equação $a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$ é a equação da soma de duas oscilações de mesmo período: ela aparece na astronomia (a combinação de dois movimentos circulares), na física das ondas e na eletricidade (correntes alternadas defasadas). O truque de reescrever $a\operatorname{sen} x + b\cos x$ como uma só senoide deslocada — o ângulo auxiliar $\theta$ — já era usado pelos astrônomos do século XVIII. Ele ganhou importância industrial no fim do século XIX, quando o engenheiro Charles Steinmetz mostrou, em 1893, que as correntes alternadas podiam ser somadas como números complexos: cada senoide vira uma seta com comprimento (a amplitude) e inclinação (a fase), e somar oscilações vira somar setas. É exatamente o que fazemos ao escrever $a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(x + \theta)$.

October 23, 2026 Iniciar leitura
Hero Image
Equações fundamentais

Sejam $f$ e $g$ duas funções trigonométricas da variável $x$. Resolver a equação $f(x) = g(x)$ é determinar o conjunto $S$ dos números $r$ para os quais $f(r) = g(r)$ é uma sentença verdadeira. Esse conjunto é o conjunto-solução (ou conjunto-verdade) da equação. A história Equações trigonométricas apareceram muito antes de terem esse nome: os astrônomos gregos, indianos e árabes precisavam achar o arco que tem um seno dado para converter observações em posições no céu. A mais famosa delas é a equação de Kepler, publicada na Astronomia nova (1609):

October 23, 2026 Iniciar leitura
Hero Image
Leitura: Poncelet, a geometria escrita na prisão

Leitura complementar Leitura Poncelet, a geometria escrita na prisão Jean-Victor Poncelet (1788–1867) nasceu em Metz, no leste da França. Estudou na Escola Politécnica de Paris, onde foi aluno de Gaspard Monge, o criador da geometria descritiva, e depois na escola de engenharia militar de Metz. Em 1812, como tenente de engenharia, acompanhou o exército de Napoleão na invasão da Rússia. Jean-Victor Poncelet.Smithsonian Libraries · Wikimedia Commons · Domínio público Na retirada de Moscou, foi dado como morto na batalha de Krasnoi e acabou prisioneiro. Levado a pé, no inverno, até Saratov, às margens do Volga, passou cerca de dezoito meses em cativeiro. Sem livros, reconstruiu de memória o que aprendera com Monge e foi além: começou a desenvolver a geometria projetiva, o estudo das propriedades das figuras que não se alteram quando elas são projetadas de um plano em outro — as mesmas propriedades que Desargues e Pascal tinham começado a explorar no século XVII. Libertado em 1814, voltou à França e passou a publicar os seus resultados, primeiro sobre polígonos inscritos e circunscritos a cônicas. A grande obra, o Traité des propriétés projectives des figures (“Tratado das propriedades projetivas das figuras”), saiu em 1822. Nela, Poncelet mostrou que propriedades como o alinhamento de pontos ou a tangência se conservam por projeção, e usou sistematicamente a relação entre polo e polar de uma cônica, base do princípio de dualidade: em geometria projetiva plana, todo teorema sobre pontos e retas continua verdadeiro quando se trocam as palavras “ponto” e “reta”. Essas ideias abriram caminho para o estudo das invariantes projetivas, como a razão dupla (ou anarmônica) de quatro pontos, desenvolvida por Möbius e Chasles, e para o programa de Felix Klein, que em 1872 classificou as geometrias pelos grupos de transformações que as preservam. Poncelet foi também um importante engenheiro: projetou rodas hidráulicas e ensinou mecânica aplicada. Morreu em Paris, em 1867.

October 23, 2026 Iniciar leitura
Hero Image
Exercícios do capítulo VI — Transformações

Este é o capítulo com mais exercícios de demonstração. Antes de abrir uma resolução, decida qual família de fórmulas usar: adição, multiplicação, divisão ou transformação em produto. Fórmulas de adição 131 Calcule os valores de: a) $\cos 15^\circ$; b) $\operatorname{sen} 105^\circ$; c) $\operatorname{tg} 75^\circ$; d) $\sec 285^\circ$. Ver a resoluçãoa) $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \operatorname{sen} 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ b) $\operatorname{sen} 105^\circ = \operatorname{sen}(60^\circ + 45^\circ) = \operatorname{sen} 60^\circ \cos 45^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \cos 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ c) $\operatorname{tg} 75^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ}{1 - \operatorname{tg} 45^\circ \operatorname{tg} 30^\circ} = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ $\left(= 2 + \sqrt{3}\right)$ d) $\sec 285^\circ = \sec 75^\circ = \dfrac{1}{\cos 75^\circ} = \dfrac{1}{\cos(45^\circ + 30^\circ)} = \dfrac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ $\left(= \sqrt{6} + \sqrt{2}\right)$

October 23, 2026 Iniciar leitura
Hero Image
Transformação em produto

Em álgebra elementar, transformar um polinômio em produto (fatorar) é um recurso de enorme importância prática: $x^2 - 2x = x(x - 2)$ colocação em evidência $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ diferença de quadrados $x^2 \pm 4x + 4 = (x \pm 2)^2$ trinômios quadrados perfeitos $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ soma de cubos $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ diferença de cubos $x^3 \pm 3x^2 + 3x \pm 1 = (x \pm 1)^3$ cubos perfeitos Muitas vezes aplicaremos esses recursos à trigonometria, com transformações como $\operatorname{sen}^2 x - 2\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x - 2)$ e $\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x = (\operatorname{sen} x + \cos x)(\operatorname{sen} x - \cos x)$. Além dos recursos algébricos, a trigonometria dispõe de fórmulas que permitem completar uma fatoração — no exemplo acima, fatorar também $\operatorname{sen} x + \cos x$ e $\operatorname{sen} x - \cos x$.

October 23, 2026 Iniciar leitura
Hero Image
Fórmulas de multiplicação e de divisão

Fazendo $b = a$ nas fórmulas de adição, obtemos as funções do arco duplo; invertendo essas fórmulas, as do arco metade. São as ferramentas que permitem, por exemplo, calcular $\operatorname{sen}\frac{\pi}{8}$ a partir de $\cos\frac{\pi}{4}$. A história Em 1593, o matemático belga Adriaan van Roomen desafiou os matemáticos da Europa a resolver uma equação de grau 45. François Viète, advogado e conselheiro do rei francês Henrique IV, percebeu que ela era a expressão de $\operatorname{sen} 45\theta$ em função de $\operatorname{sen}\theta$ e a resolveu com as fórmulas dos arcos múltiplos, que ele próprio havia sistematizado. As fórmulas de arco metade são ainda mais antigas: Ptolomeu as usou para passar da corda de $12^\circ$ às de $6^\circ$, $3^\circ$, $1{,}5^\circ$ e $0{,}75^\circ$ na construção da sua tábua.

October 23, 2026 Iniciar leitura
Hero Image
Fórmulas de adição

Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma $(a + b)$ e da diferença $(a - b)$ de dois números reais quaisquer $a$ e $b$, conhecidas as funções circulares de $a$ e de $b$. A história No Almagesto, Ptolomeu provou que, num quadrilátero inscrito, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos — o teorema de Ptolomeu. Aplicado a um quadrilátero com um lado igual ao diâmetro, ele dá exatamente as fórmulas da corda da soma e da diferença de dois arcos, que Ptolomeu usou para montar a sua tábua de meio em meio grau. Na forma de senos, as fórmulas aparecem com o astrônomo persa Abu al-Wafa (século X), que já conhecemos no capítulo II. A demonstração que faremos — pela distância entre dois pontos — usa a geometria analítica de Descartes e é bem mais recente.

October 23, 2026 Iniciar leitura
Hero Image
Exercícios do capítulo V — Arcos notáveis

126 Calcule $\operatorname{sen} 15^\circ$, $\cos 15^\circ$ e $\operatorname{tg} 15^\circ$. Ver a resolução$\operatorname{sen} 15^\circ = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\ell_{12}}{2}$. Calculemos $\ell_{12}$: seja $Q$ um vértice do hexágono regular inscrito e $P$ o ponto médio do arco de um lado do hexágono, de modo que $PQ = \ell_{12}$. O raio $OP$ corta o lado do hexágono no seu ponto médio $R$, perpendicularmente. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. No triângulo $PQR$, retângulo em $R$: $$PQ = \ell_{12} \qquad QR = \frac{\ell_6}{2} = \frac{1}{2} \qquad RP = OP - OR = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$(pois $OR$ é a altura do triângulo equilátero de lado 1). Então $$\ell_{12}^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} = 2 - \sqrt{3}$$$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{12} = \frac{\ell_{12}}{2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{1 - \frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}.$$Observação: no capítulo VI veremos que esses valores também se escrevem $\operatorname{sen} 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$, $\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ e $\operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$.

October 23, 2026 Iniciar leitura
Hero Image
O seno de π/n e os arcos notáveis

Verificaremos que as funções circulares dos reais $x = \dfrac{\pi}{n}$, com $n \in \mathbb{N}$ e $n \ge 3$, podem ser calculadas a partir de $\ell_n$, o lado do polígono regular de $n$ lados inscrito no ciclo. A história No livro I do Almagesto, Ptolomeu construiu a sua tábua de cordas exatamente assim: partiu dos lados dos polígonos regulares inscritos — triângulo, quadrado, pentágono, hexágono e decágono —, que a geometria de Euclides sabia calcular, e obteve os outros arcos por meio de fórmulas de soma, diferença e metade de arcos, que veremos no capítulo VI. A corda de um arco $2\alpha$ num círculo de raio $R$ é $2R\operatorname{sen}\alpha$: o teorema deste capítulo é a tradução moderna dessa ideia.

October 23, 2026 Iniciar leitura