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Arcos, cordas, semirretas e ângulos

Começar pelo desenho Marque pontos A e B distintos em uma circunferência. Eles a dividem em dois arcos, ambos incluindo A e B. A corda AB é o segmento reto entre os pontos. Um arco não é um segmento. Se os extremos coincidem, distinguimos o arco nulo, que se reduz ao ponto, e o arco de uma volta, que percorre a circunferência inteira. Essa distinção será importante ao comparar a posição final com o giro realizado.

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Triângulos que crescem sem mudar de forma

Uma rampa desenhada em quadrinhos Em uma malha, desenhe um caminho de 3 quadrinhos para a direita e 4 para cima. Ligue o começo ao fim por um segmento. Você formou um triângulo com um canto reto: um triângulo retângulo. Agora faça uma cópia com todos os comprimentos dobrados. O caminho horizontal terá 6 quadrinhos; o vertical, 8. Os comprimentos mudaram, mas as aberturas dos cantos permaneceram iguais. $$3\cdot2=6,\qquad4\cdot2=8.$$Por que dobrar só um lado muda a forma? Compare duas cópias: na primeira, dobre o caminho horizontal e o vertical; na segunda, dobre só o horizontal. Na segunda cópia a rampa fica mais deitada. Crescer sem mudar de forma exige ampliar todas as direções na mesma proporção.

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Cantos, raios e caminhos na roda

Dois caminhos entre os mesmos pontos Desenhe uma roda e marque nela dois pontos, A e B. Ligue-os com uma linha reta: ela é uma corda. Agora acompanhe a borda da roda de A até B: você percorreu um arco. Pela borda existem dois caminhos possíveis; indique qual está usando. O centro é o ponto no meio da roda. Um segmento do centro até a borda é um raio. Todos os raios de uma mesma roda têm o mesmo comprimento.

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Voltas inteiras, meias-voltas e quartos

Dê uma volta com o corpo Olhe para uma parede. Gire até olhar para a parede de trás: você fez meia-volta. Mais meia-volta leva de volta ao começo. Agora tente fazer o mesmo giro em quatro partes iguais. Cada parte é um quarto de volta. Uma volta pode ser repartida de vários jeitos. Duas metades e quatro quartos completam a mesma volta: $$\frac12+\frac12=1,\qquad \frac14+\frac14+\frac14+\frac14=1.$$Aqui o número 1 representa uma volta inteira. Não estamos medindo o tamanho do caminho que seus pés percorrem, mas o giro de sua direção.

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Resolução de triângulos e discussão do caso ambíguo

Quais dados determinam um triângulo? Resolver um triângulo é obter seus lados e ângulos a partir de dados suficientes. Use sempre a convenção: $a,b,c$ opostos a $A,B,C$. Um triângulo não degenerado tem lados positivos e ângulos entre 0 e $\pi$. Um lado e dois ângulos Conhecendo $a,B,C$, calcule $A=\pi-B-C$. É necessário $B+C<\pi$. A lei dos senos fornece: $$b=\frac{a\sin B}{\sin A},\qquad c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$Os dados determinam um triângulo, a menos de posição e reflexão.

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Alturas, Heron, medianas, bissetrizes e raios

Obter medidas especiais a partir dos lados Considere lados $a,b,c$, área $K$ e semiperímetro $s=(a+b+c)/2$. Exigimos um triângulo não degenerado: lados positivos e cada lado menor que a soma dos outros dois. Demonstrar a fórmula de Heron Da lei dos cossenos, $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$. Em $K=bc\sin A/2$, use $\sin^2A=1-\cos^2A$: $$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$A área é positiva, então: $$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$Alturas Como $K=ah_a/2=bh_b/2=ch_c/2$: $$h_a=\frac{2K}{a},\qquad h_b=\frac{2K}{b},\qquad h_c=\frac{2K}{c}.$$Substituir a expressão de Heron fornece cada altura apenas em função dos lados. Também valem $h_a=b\sin C=c\sin B$ e suas permutações.

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Leis dos senos, dos cossenos, projeções e áreas

Fixar a notação Em um triângulo não degenerado, os ângulos $A,B,C$ estão opostos aos lados $a,b,c$, respectivamente. Todos os lados são positivos e $A+B+C=\pi$. Demonstração da lei dos cossenos Coloque o vértice A na origem, B em $(c,0)$ e C em $(b\cos A,b\sin A)$. A distância entre B e C é $a$. Pelo teorema de Pitágoras aplicado às diferenças de coordenadas: $$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$O argumento vale também para ângulos obtusos. Se $A=\pi/2$, o termo de cosseno é zero e reencontramos Pitágoras. Permutar as letras fornece as outras duas leis dos cossenos.

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Inequações de seno, cosseno e tangente

Escolher arcos, não apenas pontos Uma equação como $\sin x=m$ marca pontos de encontro com uma reta horizontal. A inequação $\sin x>m$ escolhe os arcos acima dessa reta; $\sin x

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Arco seno, arco cosseno e arco tangente

Por que é preciso restringir? Uma inversa precisa recuperar uma única entrada a partir da saída. Seno, cosseno e tangente repetem valores. Para definir inversas, escolhemos intervalos em que cada função seja injetora e atinja toda sua imagem desejada. Função restrita Domínio escolhido Imagem Seno $[-\pi/2,\pi/2]$ $[-1,1]$ Cosseno $[0,\pi]$ $[-1,1]$ Tangente $(-\pi/2,\pi/2)$ $\mathbb R$ Nesses intervalos, seno e tangente são estritamente crescentes, e cosseno é estritamente decrescente. Cada saída aparece uma única vez; portanto, as inversas ficam bem definidas.

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Intervalos e equações trigonométricas clássicas

Filtrar uma família Para resolver $\sin x=1/2$ em $[0,4\pi)$, primeiro obtenha as famílias $x=\pi/6+2k\pi$ e $x=5\pi/6+2k\pi$. Depois imponha os limites do intervalo. As soluções são: $$\frac\pi6,\quad\frac{5\pi}6,\quad\frac{13\pi}6,\quad\frac{17\pi}6.$$O sinal de inclusão das extremidades importa. Depois de elevar ao quadrado ou multiplicar por uma expressão variável, substitua as respostas na equação inicial. Uma combinação de seno e cosseno Para resolver $a\sin x+b\cos x=c$, com $(a,b)\ne(0,0)$, defina $R=\sqrt{a^2+b^2}$ e escolha $\varphi$ com: $$\cos\varphi=\frac aR,\qquad\sin\varphi=\frac bR.$$Isso é possível porque os quadrados desses dois números somam 1. Pela fórmula da adição:

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Equações fundamentais de seno, cosseno e tangente

A equação procura entradas Uma equação trigonométrica pede os valores da variável que tornam uma igualdade verdadeira. Antes de transformar a expressão, determine seu domínio. Divisões por funções que podem ser zero podem eliminar soluções. Para $\sin x=m$ ou $\cos x=m$, é necessário $-1\le m\le1$. Para a tangente, qualquer $m$ real é possível, mas as entradas onde $\cos x=0$ permanecem proibidas. Demonstração das famílias do seno Uma reta horizontal corta o ciclo em no máximo dois pontos. Se um deles corresponde a $\alpha$, o outro corresponde a $\pi-\alpha$. Como voltas completas repetem o ponto:

October 21, 2026 Iniciar leitura
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Transformar somas em produtos e produtos em somas

Somar duas fórmulas conhecidas Escreva as fórmulas de $\sin(a+b)$ e $\sin(a-b)$. Somando-as, os termos com $\cos a\sin b$ se cancelam: $$\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b.$$Faça agora $u=a+b$ e $v=a-b$. Então $a=(u+v)/2$ e $b=(u-v)/2$. Isso produz a primeira identidade abaixo; os outros casos vêm da soma ou subtração das fórmulas de seno e cosseno: $$\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$ $$\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2},$$ $$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$ $$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}.$$Essas identidades valem para todos os reais $u,v$. No último caso, o sinal negativo é essencial.

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