Exercícios do capítulo II — Funções circulares

Construímos uma tabela em três etapas: 1ª) atribuímos valores a $x$; 2ª) associamos a cada $x$ o valor de $\operatorname{sen} x$; 3ª) multiplicamos $\operatorname{sen} x$ por $-1$.

Com essa tabela obtemos 5 pontos do gráfico, que é o simétrico da senoide em relação ao eixo $x$. É imediato que $\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 2\pi$.

Mesmas três etapas, agora multiplicando $\operatorname{sen} x$ por 2:

Para cada $x$, a ordenada é o dobro da ordenada da senoide. É imediato que $\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$ e $p(f) = 2\pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$ e $p(f) = 2\pi$.

Para um número real $a$: se $a \ge 0$, $|a| = a$; se $a < 0$, $|a| = -a$. Aplicando a definição:

• $\operatorname{sen} x \ge 0 \Rightarrow |\operatorname{sen} x| = \operatorname{sen} x$: nesses trechos os gráficos de $y = |\operatorname{sen} x|$ e $y = \operatorname{sen} x$ coincidem;
• $\operatorname{sen} x < 0 \Rightarrow |\operatorname{sen} x| = -\operatorname{sen} x$: nesses trechos os gráficos são simétricos em relação ao eixo $x$.

É imediato que $\operatorname{Im}(f) = [0, 1]$ e $p(f) = \pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [0, 3]$ e $p(f) = \pi$.

Tabela em três etapas: 1ª) atribuímos valores a $t = 2x$; 2ª) associamos a cada $2x$ o valor $\operatorname{sen} 2x$; 3ª) calculamos $x = \frac{t}{2}$.

Para cada $x$, a ordenada é o seno do dobro de $x$. Para $\operatorname{sen} t$ completar um período, $t = 2x$ deve percorrer $[0, 2\pi]$, isto é, $x$ deve percorrer $[0, \pi]$. Assim $p(f) = \pi - 0 = \pi$, e $\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$.

Fazemos $t = \frac{x}{2}$, isto é, $x = 2t$:

É imediato que $\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 4\pi$.

Com $t = 3x$, isto é, $x = \frac{t}{3}$:

É imediato que $\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = \dfrac{2\pi}{3}$.

$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 6\pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [-3, 3]$ e $p(f) = \dfrac{\pi}{2}$.

Para cada $x$, a ordenada é o seno de $x$ mais uma unidade. Se cada seno sofre um acréscimo de 1, a senoide sofre uma translação de uma unidade para cima. É imediato que $\operatorname{Im}(f) = [0, 2]$ e $p(f) = 2\pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [-3, -1]$ e $p(f) = 2\pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$ e $p(f) = 2\pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [1, 3]$ e $p(f) = 2\pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [-2, 0]$ e $p(f) = \pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [-2, 4]$ e $p(f) = 4\pi$.

Com $t = x - \frac{\pi}{4}$, isto é, $x = t + \frac{\pi}{4}$:

Para $\operatorname{sen} t$ completar um período, $t$ deve percorrer $[0, 2\pi]$, isto é, $x$ deve percorrer $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}\right]$. Então

O gráfico é a senoide deslocada de $\frac{\pi}{4}$ para a direita.

$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 2\pi$; um período vai de $-\frac{\pi}{3}$ a $\frac{5\pi}{3}$.

$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = \pi$; um período vai de $\frac{\pi}{6}$ a $\frac{7\pi}{6}$.

$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$ e $p(f) = 4\pi$; um período vai de $\frac{\pi}{3}$ a $\frac{13\pi}{3}$.

Façamos $cx + d = t$. Quando $x$ percorre $\mathbb{R}$, $t$ também percorre $\mathbb{R}$ (a função afim $t = cx + d$ é sobrejetora). Em consequência, $\operatorname{sen} t$ percorre o intervalo $[-1, 1]$, $b \cdot \operatorname{sen} t$ percorre $[-b, b]$ e $y = a + b \cdot \operatorname{sen} t$ percorre $[a - b, a + b]$, que é a imagem de $f$.

Para $f$ completar um período, $t$ deve variar de $0$ a $2\pi$:

portanto

$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$ e $p(f) = \pi$; um período vai de $\frac{\pi}{6}$ a $\frac{7\pi}{6}$.

Para existir $x$ satisfazendo a igualdade, devemos ter

$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 2\pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$ e $p(f) = 2\pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [-3, 3]$ e $p(f) = 2\pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [0, 1]$ e $p(f) = \pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = \pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 4\pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [0, 2]$ e $p(f) = 2\pi$.

$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$ e $p(f) = \dfrac{2\pi}{3}$.

$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 2\pi$; um período vai de $\frac{\pi}{4}$ a $\frac{9\pi}{4}$.

$\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$ e $p(f) = 2\pi$; um período vai de $\frac{\pi}{3}$ a $\frac{7\pi}{3}$.

$\operatorname{Im}(f) = [-3, 1]$ e $p(f) = \dfrac{2\pi}{3}$; um período vai de $\frac{\pi}{12}$ a $\frac{3\pi}{4}$.

Examinando o ciclo, notamos que $|\operatorname{sen} 135^\circ| = |\cos 135^\circ|$ e que

pois nesse arco o ponto $P$ está mais longe do eixo $u$ do que do eixo $v$.

Como $\operatorname{sen} 107^\circ > 0$, $\cos 107^\circ < 0$ e $|\operatorname{sen} 107^\circ| > |\cos 107^\circ|$, decorre

Para cada $x$, esta função associa um $y$ que é a soma do seno com o cosseno de $x$. Colocamos num mesmo diagrama a senoide e a cossenoide e, para cada $x$, somamos as ordenadas dos pontos encontrados em cada curva.

Veremos mais adiante que $\operatorname{Im}(f) = \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$ e $p(f) = 2\pi$.

Seja $P$ a imagem de $x$, no interior do arco $\overset{\frown}{AB}$, e sejam $P_1$ e $P_2$ as suas projeções nos eixos: $OP_2 = \cos x$ e $P_2P = OP_1 = \operatorname{sen} x$, ambos positivos. No triângulo $OP_2P$ (retângulo em $P_2$), a desigualdade triangular dá

A desigualdade é estrita porque $O$, $P_2$ e $P$ não estão alinhados quando $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

Façamos $2x = t$. Existe $\operatorname{tg} t$ se, e somente se, $t \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Então

Façamos $x - \frac{\pi}{4} = t$. Temos:

Para $\operatorname{tg} t$ descrever um período completo devemos ter

então $p(f) = \dfrac{3\pi}{4} - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \pi$.

Como a função associa a cada $x$ o valor $\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, o gráfico é (por analogia com as funções já vistas) a tangentoide deslocada de $\frac{\pi}{4}$ para a direita.

$D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$ e $p(f) = \dfrac{\pi}{2}$; um ramo vai de $-\frac{\pi}{3}$ a $\frac{\pi}{6}$ e corta o eixo $x$ em $-\frac{\pi}{12}$.