Nos exercícios de cálculo, a relação fundamental dá o módulo e o quadrante dá o sinal. Nas identidades, indique qual dos três métodos você usou.

Cálculo das funções a partir de uma delas

73

Sabendo que $\operatorname{sen} x = \dfrac{4}{5}$ e $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi$, calcule as demais funções circulares de $x$.

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Como $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi \Rightarrow \cos x < 0$, temos:

$$\cos x = -\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$$$\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \qquad \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$$$$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = -\frac{5}{3} \qquad \operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}.$$
74

Sabendo que $\operatorname{cossec} x = -\dfrac{25}{24}$ e $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$, calcule as demais funções circulares de $x$.

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$\operatorname{sen} x = -\dfrac{24}{25}$, $\cos x = -\dfrac{7}{25}$, $\operatorname{tg} x = \dfrac{24}{7}$, $\operatorname{cotg} x = \dfrac{7}{24}$, $\sec x = -\dfrac{25}{7}$

75

Sabendo que $\operatorname{tg} x = \dfrac{12}{5}$ e $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$, calcule as demais funções circulares de $x$.

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$$\operatorname{cotg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12}.$$

Como $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2} \Rightarrow \sec x < 0$, temos:

$$\sec x = -\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 x} = -\sqrt{1 + \frac{144}{25}} = -\sqrt{\frac{169}{25}} = -\frac{13}{5} \qquad \cos x = \frac{1}{\sec x} = -\frac{5}{13}$$$$\operatorname{sen} x = \operatorname{tg} x \cdot \cos x = \left(\frac{12}{5}\right)\left(-\frac{5}{13}\right) = -\frac{12}{13} \qquad \operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x} = -\frac{13}{12}.$$
76

Calcule $\cos x$ sabendo que $\operatorname{cotg} x = \dfrac{2\sqrt{m}}{m - 1}$, com $m > 1$.

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$\cos x = \pm\dfrac{2\sqrt{m}}{m + 1}$

77

Calcule $\sec x$ sabendo que $\operatorname{sen} x = \dfrac{2ab}{a^2 + b^2}$, com $a > b > 0$.

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$\sec x = \pm\dfrac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$

78

Sabendo que $\sec x = 3$, calcule o valor da expressão $y = \operatorname{sen}^2 x + 2 \cdot \operatorname{tg}^2 x$.

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$$\cos x = \frac{1}{\sec x} = \frac{1}{3} \qquad \operatorname{sen}^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \qquad \operatorname{tg}^2 x = \sec^2 x - 1 = 9 - 1 = 8$$

então

$$y = \operatorname{sen}^2 x + 2 \cdot \operatorname{tg}^2 x = \frac{8}{9} + 16 = \frac{152}{9}.$$
79

Sendo $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{3}$ e $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, calcule o valor de

$$y = \frac{1}{\operatorname{cossec} x + \operatorname{cotg} x} + \frac{1}{\operatorname{cossec} x - \operatorname{cotg} x}.$$
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$y = 6$

80

Sabendo que $\operatorname{cotg} x = \dfrac{24}{7}$ e $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$, calcule o valor da expressão

$$y = \frac{\operatorname{tg} x \cdot \cos x}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}.$$
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1ª solução. Calculamos $\operatorname{tg} x$, $\cos x$ e finalmente $y$:

$$\operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{cotg} x} = \frac{7}{24} \qquad \cos^2 x = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{576}{625} \;\Rightarrow\; \cos x = -\frac{24}{25}$$$$y = \frac{\left(\frac{7}{24}\right)\left(-\frac{24}{25}\right)}{\left(1 - \frac{24}{25}\right)\left(1 + \frac{24}{25}\right)} = \frac{-\frac{7}{25}}{\frac{49}{625}} = -\frac{25}{7}.$$

2ª solução. Simplificamos $y$ e depois calculamos o que for necessário:

$$y = \frac{\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} \cdot \cos x}{1 - \cos^2 x} = \frac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{sen}^2 x} = \frac{1}{\operatorname{sen} x} = \operatorname{cossec} x = -\sqrt{1 + \operatorname{cotg}^2 x} = -\sqrt{1 + \frac{576}{49}} = -\frac{25}{7}.$$
81

Dado que $\cos x = \dfrac{2}{5}$ e $\dfrac{3\pi}{2} < x < 2\pi$, obtenha o valor de $y = (1 + \operatorname{tg}^2 x)^2 + (1 - \operatorname{tg}^2 x)^2$.

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$y = \dfrac{457}{8}$

82

Calcule $\operatorname{sen} x$ e $\cos x$ sabendo que $3 \cdot \cos x + \operatorname{sen} x = -1$.

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Resolvemos o sistema

$$\begin{cases} 3 \cdot \cos x + \operatorname{sen} x = -1 & (1) \\ \cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x = 1 & (2) \end{cases}$$

De (1) vem $\operatorname{sen} x = -1 - 3 \cdot \cos x$ (1’). Substituindo (1’) em (2):

$$\cos^2 x + (-1 - 3\cos x)^2 = 1 \;\Longrightarrow\; \cos^2 x + 1 + 6\cos x + 9\cos^2 x = 1 \;\Longrightarrow\; 10\cos^2 x + 6\cos x = 0,$$

então $\cos x = 0$ ou $\cos x = -\dfrac{3}{5}$. Substituindo cada alternativa em (1’):

$$\operatorname{sen} x = -1 - 3 \cdot 0 = -1 \qquad\text{ou}\qquad \operatorname{sen} x = -1 - 3\left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}.$$

Há duas soluções: 1ª) $\cos x = 0$ e $\operatorname{sen} x = -1$; 2ª) $\cos x = -\dfrac{3}{5}$ e $\operatorname{sen} x = \dfrac{4}{5}$.

83

Calcule $\operatorname{sen} x$ e $\cos x$ sabendo que $5 \cdot \sec x - 3 \cdot \operatorname{tg}^2 x = 1$.

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$\cos x = \dfrac{1}{2}$ e $\operatorname{sen} x = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

84

Obtenha $\operatorname{tg} x$ sabendo que $\operatorname{sen}^2 x - 5 \cdot \operatorname{sen} x \cdot \cos x + \cos^2 x = 3$.

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$\operatorname{tg} x = -2$ ou $\operatorname{tg} x = -\dfrac{1}{2}$

Condições sobre parâmetros e eliminação

85

Calcule $m$ de modo que se tenha $\operatorname{sen} x = 2m + 1$ e $\cos x = 4m + 1$.

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Como $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$, resulta:

$$(2m + 1)^2 + (4m + 1)^2 = 1 \;\Longrightarrow\; (4m^2 + 4m + 1) + (16m^2 + 8m + 1) = 1 \;\Longrightarrow\; 20m^2 + 12m + 1 = 0$$$$m = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 80}}{40} = \frac{-12 \pm 8}{40} \;\Longrightarrow\; m = -\frac{1}{2} \quad\text{ou}\quad m = -\frac{1}{10}.$$
86

Calcule $m$ de modo que se tenha $\operatorname{tg} x = m - 2$ e $\operatorname{cotg} x = \dfrac{m}{3}$.

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$m = 3$ ou $m = -1$

87

Determine $a$ de modo que se tenha $\cos x = \dfrac{1}{a + 1}$ e $\operatorname{cossec} x = \dfrac{a + 1}{\sqrt{a + 2}}$.

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$a = 1$

88

Determine uma relação entre $x$ e $y$, independente de $t$, sabendo que $x = 3 \cdot \operatorname{sen} t$ e $y = 4 \cdot \cos t$.

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Como $\operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t = 1$, resulta:

$$\left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = 1 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \;\Longrightarrow\; 16x^2 + 9y^2 = 144.$$
89

Determine uma relação entre $x$ e $y$, independente de $t$, sabendo que $x = 5 \cdot \operatorname{tg} t$ e $y = 3 \cdot \operatorname{cossec} t$.

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Como $\operatorname{cossec}^2 t = \operatorname{cotg}^2 t + 1$ e $\operatorname{cotg} t = \dfrac{1}{\operatorname{tg} t}$, resulta:

$$\left(\frac{y}{3}\right)^2 = \left(\frac{5}{x}\right)^2 + 1 \;\Longrightarrow\; \frac{y^2}{9} = \frac{25}{x^2} + 1 \;\Longrightarrow\; x^2y^2 = 225 + 9x^2 \;\Longrightarrow\; x^2y^2 - 9x^2 = 225.$$
90

Se $\operatorname{sen} x + \cos x = a$ e $\operatorname{sen} x \cdot \cos x = b$, obtenha uma relação entre $a$ e $b$, independente de $x$.

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$a^2 - 2b = 1$

91

Dado que $\operatorname{sen} x \cdot \cos x = m$, calcule o valor de $y = \operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x$ e de $z = \operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x$.

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Como $a^2 + b^2 \equiv (a + b)^2 - 2ab$, temos:

$$y = (\operatorname{sen}^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\operatorname{sen}^2 x \cos^2 x = 1^2 - 2(\operatorname{sen} x \cos x)^2 = 1 - 2m^2.$$

Como $a^3 + b^3 \equiv (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, temos:

$$z = (\operatorname{sen}^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x)(\operatorname{sen}^4 x - \operatorname{sen}^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$$$$= \operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x - \operatorname{sen}^2 x \cos^2 x = y - (\operatorname{sen} x \cos x)^2 = 1 - 2m^2 - m^2 = 1 - 3m^2.$$
92

Sabendo que $\operatorname{sen} x + \cos x = a$ ($a$ dado), calcule $y = \operatorname{sen}^3 x + \cos^3 x$.

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$y = \dfrac{a}{2}(3 - a^2)$

Demonstração de identidades

93

Prove que $(1 + \operatorname{cotg}^2 x)(1 - \cos^2 x) = 1$ para todo $x$ real, $x \ne k\pi$.

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$$f(x) = (1 + \operatorname{cotg}^2 x)(1 - \cos^2 x) = \left(1 + \frac{\cos^2 x}{\operatorname{sen}^2 x}\right) \cdot \operatorname{sen}^2 x = \frac{\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x}{\operatorname{sen}^2 x} \cdot \operatorname{sen}^2 x = 1 = g(x).$$
94

Prove que $2 \cdot \sec x \cdot \operatorname{tg} x = \dfrac{1}{\operatorname{cossec} x - 1} + \dfrac{1}{\operatorname{cossec} x + 1}$ para todo $x$ real, $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ (e $x \ne k\pi$, para que exista $\operatorname{cossec} x$).

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$$g(x) = \frac{1}{\operatorname{cossec} x - 1} + \frac{1}{\operatorname{cossec} x + 1} = \frac{(\operatorname{cossec} x + 1) + (\operatorname{cossec} x - 1)}{(\operatorname{cossec} x - 1)(\operatorname{cossec} x + 1)} = \frac{2\operatorname{cossec} x}{\operatorname{cossec}^2 x - 1} = \frac{2\operatorname{cossec} x}{\operatorname{cotg}^2 x}$$$$= \frac{2}{\operatorname{sen} x} \cdot \frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x} = 2 \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = 2 \cdot \sec x \cdot \operatorname{tg} x = f(x).$$
95

Prove que $(1 - \operatorname{tg} x)^2 + (1 - \operatorname{cotg} x)^2 = (\sec x - \operatorname{cossec} x)^2$ para todo $x$ real, $x \ne \dfrac{k\pi}{2}$.

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Transformamos separadamente os dois membros até a mesma expressão $h(x)$:

$$f(x) = \left(1 - \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\right)^2 + \left(1 - \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)^2 = \left(\frac{\cos x - \operatorname{sen} x}{\cos x}\right)^2 + \left(\frac{\operatorname{sen} x - \cos x}{\operatorname{sen} x}\right)^2$$$$= \frac{1 - 2\operatorname{sen} x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{1 - 2\operatorname{sen} x \cos x}{\operatorname{sen}^2 x} = (1 - 2\operatorname{sen} x \cos x)\left(\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\operatorname{sen}^2 x}\right) = \frac{1 - 2\operatorname{sen} x \cos x}{\cos^2 x \operatorname{sen}^2 x} = h(x)$$$$g(x) = \left(\frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\operatorname{sen} x}\right)^2 = \left(\frac{\operatorname{sen} x - \cos x}{\cos x \operatorname{sen} x}\right)^2 = \frac{1 - 2\operatorname{sen} x \cos x}{\cos^2 x \operatorname{sen}^2 x} = h(x).$$
96

Prove que $\dfrac{1 - \cos x}{\operatorname{sen} x \cdot \cos x} + \operatorname{sen} x = \dfrac{1 - \cos x}{\operatorname{tg} x} + \operatorname{tg} x$ para todo $x$ real, $x \ne \dfrac{k\pi}{2}$.

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Mostramos que $f(x) - g(x) = 0$:

$$f(x) - g(x) = \frac{1 - \cos x}{\operatorname{sen} x \cos x} + \operatorname{sen} x - \frac{\cos x(1 - \cos x)}{\operatorname{sen} x} - \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$$$$= \frac{1 - \cos x + \operatorname{sen}^2 x \cos x - \cos^2 x(1 - \cos x) - \operatorname{sen}^2 x}{\operatorname{sen} x \cos x}$$$$= \frac{1 - \cos x + (1 - \cos^2 x)\cos x - \cos^2 x(1 - \cos x) - (1 - \cos^2 x)}{\operatorname{sen} x \cos x}$$$$= \frac{1 - \cos x + \cos x - \cos^3 x - \cos^2 x + \cos^3 x - 1 + \cos^2 x}{\operatorname{sen} x \cos x} = 0.$$

Nos exercícios 97 a 116, demonstre as identidades (nos valores de $x$ e $y$ em que todas as funções envolvidas estão definidas). Para abreviar as demonstrações, escrevemos $s = \operatorname{sen} x$ e $c = \cos x$.

97

$\cos^4 x + \operatorname{sen}^4 x + 2(\operatorname{sen} x \cdot \cos x)^2 = 1$

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O primeiro membro é o quadrado perfeito $(c^2 + s^2)^2 = 1^2 = 1$.

98

$\dfrac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{cossec} x} + \dfrac{\cos x}{\sec x} = 1$

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$\dfrac{s}{1/s} + \dfrac{c}{1/c} = s^2 + c^2 = 1$.

99

$\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = \sec x \cdot \operatorname{cossec} x$

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$\dfrac{s}{c} + \dfrac{c}{s} = \dfrac{s^2 + c^2}{sc} = \dfrac{1}{sc} = \dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{1}{s} = \sec x \cdot \operatorname{cossec} x$.

100

$(\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x)(\sec x - \cos x)(\operatorname{cossec} x - \operatorname{sen} x) = 1$

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Pelo exercício anterior, $\operatorname{tg} x + \operatorname{cotg} x = \dfrac{1}{sc}$. Além disso, $\sec x - c = \dfrac{1 - c^2}{c} = \dfrac{s^2}{c}$ e $\operatorname{cossec} x - s = \dfrac{1 - s^2}{s} = \dfrac{c^2}{s}$. O produto é $\dfrac{1}{sc} \cdot \dfrac{s^2}{c} \cdot \dfrac{c^2}{s} = 1$.

101

$\sec^2 x + \operatorname{cossec}^2 x = \sec^2 x \cdot \operatorname{cossec}^2 x$

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$\dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{s^2} = \dfrac{s^2 + c^2}{c^2 s^2} = \dfrac{1}{c^2} \cdot \dfrac{1}{s^2}$.

102

$\dfrac{\operatorname{cotg}^2 x}{1 + \operatorname{cotg}^2 x} = \cos^2 x$

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$1 + \operatorname{cotg}^2 x = \operatorname{cossec}^2 x = \dfrac{1}{s^2}$, logo o primeiro membro é $\dfrac{c^2}{s^2} \cdot s^2 = c^2$.

103

$\dfrac{\operatorname{sen}^3 x - \cos^3 x}{\operatorname{sen} x - \cos x} = 1 + \operatorname{sen} x \cdot \cos x$

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Como $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, o primeiro membro é $s^2 + sc + c^2 = 1 + sc$.

104

$\operatorname{cossec}^2 x + \operatorname{tg}^2 x = \sec^2 x + \operatorname{cotg}^2 x$

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$\operatorname{cossec}^2 x + \operatorname{tg}^2 x = (1 + \operatorname{cotg}^2 x) + (\sec^2 x - 1) = \sec^2 x + \operatorname{cotg}^2 x$.

105

$2(\operatorname{sen} x + \operatorname{tg} x)(\cos x + \operatorname{cotg} x) = (1 + \operatorname{sen} x + \cos x)^2$

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$$2\left(s + \frac{s}{c}\right)\left(c + \frac{c}{s}\right) = 2 \cdot \frac{s(c + 1)}{c} \cdot \frac{c(s + 1)}{s} = 2(1 + c)(1 + s) = 2 + 2s + 2c + 2sc$$$$(1 + s + c)^2 = 1 + s^2 + c^2 + 2s + 2c + 2sc = 2 + 2s + 2c + 2sc.$$
106

$(1 + \operatorname{cotg} x)^2 + (1 - \operatorname{cotg} x)^2 = 2 \cdot \operatorname{cossec}^2 x$

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Desenvolvendo os quadrados, os termos $\pm 2\operatorname{cotg} x$ se cancelam: $2 + 2\operatorname{cotg}^2 x = 2(1 + \operatorname{cotg}^2 x) = 2\operatorname{cossec}^2 x$.

Observação: na edição impressa, o primeiro parêntese aparece sem o expoente 2; sem ele, a igualdade não vale (por exemplo, para $x = \frac{\pi}{4}$, o primeiro membro dá 2 e o segundo, 4).

107

$\dfrac{1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x}{1 - 2\operatorname{sen}^2 x + \operatorname{sen}^4 x} = \operatorname{tg}^4 x$

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Numerador e denominador são quadrados perfeitos: $\dfrac{(1 - c^2)^2}{(1 - s^2)^2} = \dfrac{(s^2)^2}{(c^2)^2} = \dfrac{s^4}{c^4} = \operatorname{tg}^4 x$.

108

$(\operatorname{cotg} x - \cos x)^2 + (1 - \operatorname{sen} x)^2 = (1 - \operatorname{cossec} x)^2$

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$\operatorname{cotg} x - c = \dfrac{c - sc}{s} = \dfrac{c(1 - s)}{s}$. Então

$$\frac{c^2(1 - s)^2}{s^2} + (1 - s)^2 = (1 - s)^2 \cdot \frac{c^2 + s^2}{s^2} = \left(\frac{1 - s}{s}\right)^2 = (\operatorname{cossec} x - 1)^2 = (1 - \operatorname{cossec} x)^2.$$
109

$\dfrac{\cos x + \cos y}{\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} y} = \dfrac{\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} y}{\cos y - \cos x}$

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Duas frações são iguais quando os “produtos cruzados” são iguais (denominadores não nulos):

$$(\cos x + \cos y)(\cos y - \cos x) = \cos^2 y - \cos^2 x \qquad (\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} y)(\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} y) = \operatorname{sen}^2 x - \operatorname{sen}^2 y = (1 - \cos^2 x) - (1 - \cos^2 y) = \cos^2 y - \cos^2 x.$$
110

$\dfrac{\cos x + \operatorname{cotg} x}{\operatorname{tg} x + \sec x} = \cos x \cdot \operatorname{cotg} x$

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$$\frac{c + \frac{c}{s}}{\frac{s}{c} + \frac{1}{c}} = \frac{\frac{c(s + 1)}{s}}{\frac{s + 1}{c}} = \frac{c^2}{s} = c \cdot \frac{c}{s} = \cos x \cdot \operatorname{cotg} x.$$
111

$\dfrac{\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 y}{\cos^2 x \cdot \cos^2 y} + 1 = \operatorname{tg}^2 x \cdot \operatorname{tg}^2 y$

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$$\frac{\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 y + \cos^2 x \cos^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y} = \frac{\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 y(1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x \cos^2 y} = \frac{\operatorname{sen}^2 x(1 - \cos^2 y)}{\cos^2 x \cos^2 y} = \frac{\operatorname{sen}^2 x \operatorname{sen}^2 y}{\cos^2 x \cos^2 y}.$$
112

$\dfrac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = (\operatorname{cossec} x - \operatorname{cotg} x)^2$

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$$(\operatorname{cossec} x - \operatorname{cotg} x)^2 = \left(\frac{1 - c}{s}\right)^2 = \frac{(1 - c)^2}{1 - c^2} = \frac{(1 - c)^2}{(1 - c)(1 + c)} = \frac{1 - c}{1 + c}.$$
113

$\dfrac{\operatorname{cotg} x + \operatorname{cotg} y}{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y} = \operatorname{cotg} x \cdot \operatorname{cotg} y$

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$$\frac{\frac{1}{\operatorname{tg} x} + \frac{1}{\operatorname{tg} y}}{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y} = \frac{\frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y}{\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y}}{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y} = \frac{1}{\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y} = \operatorname{cotg} x \operatorname{cotg} y.$$
114

$(\sec x \cdot \sec y + \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y)^2 = 1 + (\sec x \cdot \operatorname{tg} y + \sec y \cdot \operatorname{tg} x)^2$

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Usamos o 3º método: a diferença entre os quadrados é um produto de soma por diferença.

$$(\sec x \sec y + \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y)^2 - (\sec x \operatorname{tg} y + \sec y \operatorname{tg} x)^2$$$$= (\sec x - \operatorname{tg} x)(\sec y - \operatorname{tg} y) \cdot (\sec x + \operatorname{tg} x)(\sec y + \operatorname{tg} y) = (\sec^2 x - \operatorname{tg}^2 x)(\sec^2 y - \operatorname{tg}^2 y) = 1 \cdot 1 = 1.$$
115

$\sec x - \operatorname{tg} x = \dfrac{1}{\sec x + \operatorname{tg} x}$

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$(\sec x - \operatorname{tg} x)(\sec x + \operatorname{tg} x) = \sec^2 x - \operatorname{tg}^2 x = 1$; basta dividir por $\sec x + \operatorname{tg} x$ (que não se anula, pois o produto vale 1).

116

$\operatorname{cossec}^6 x - \operatorname{cotg}^6 x = 1 + 3 \cdot \operatorname{cotg}^2 x \cdot \operatorname{cossec}^2 x$

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Sejam $a = \operatorname{cossec}^2 x$ e $b = \operatorname{cotg}^2 x$, com $a - b = 1$. Então

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 1 \cdot \big[(a - b)^2 + 3ab\big] = 1 + 3ab = 1 + 3\operatorname{cotg}^2 x \operatorname{cossec}^2 x.$$