Trigonometria

Resolução de triângulos quaisquer

Resolver um triângulo qualquer significa calcular os seus elementos principais: $a$, $b$, $c$, $\hat{A}$, $\hat{B}$ e $\hat{C}$. Para isso é necessário que sejam dadas três informações sobre o triângulo, sendo pelo menos uma delas a medida de um segmento ligado a ele (lado, altura, mediana etc.). A história O primeiro tratado europeu dedicado inteiramente a resolver triângulos, planos e esféricos, foi o De triangulis omnimodis (“Sobre triângulos de todos os tipos”), escrito por volta de 1464 pelo astrônomo alemão Regiomontanus e publicado só em 1533. Ele organizou os casos de resolução de modo muito parecido com o que faremos aqui, e o livro foi a porta de entrada da trigonometria na Europa do Renascimento.

October 24, 2026 Iniciar leitura

Alturas, medianas, bissetrizes e raios

Vamos deduzir fórmulas que permitem calcular os segmentos notáveis de um triângulo — alturas, medianas, bissetrizes internas, raios das circunferências inscrita e circunscrita — conhecendo apenas as medidas dos lados. Em todas aparece o semiperímetro $p = \frac{a + b + c}{2}$. A história A fórmula da área pelos três lados leva o nome de Heron de Alexandria (século I), que a demonstrou na Métrica, um manual de medições práticas. O matemático persa al-Biruni, porém, atribuiu-a a Arquimedes, dois séculos e meio antes. A demonstração de Heron é puramente geométrica, com a circunferência inscrita; a que faremos aqui é algébrica, partindo da lei dos cossenos.

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Projeções, áreas e lei das tangentes

Quatro teoremas completam as propriedades trigonométricas dos triângulos: um decompõe cada lado nas projeções dos outros dois, dois dão a área e o último, a lei das tangentes, relaciona somas e diferenças de lados com somas e diferenças de ângulos. A história A lei das tangentes foi publicada pelo dinamarquês Thomas Fincke em 1583, no mesmo livro em que ele deu nome à tangente (veja o capítulo VIII), e François Viète também a usava na mesma época. Ela se tornou muito prática na era das tábuas de logaritmos: como só envolve quocientes e produtos, permite resolver um triângulo conhecendo dois lados e o ângulo entre eles sem somar quadrados, o que a lei dos cossenos exigiria. Com logaritmos, cada multiplicação ou divisão virava uma soma ou subtração de números tirados da tábua.

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Lei dos cossenos e lei dos senos

As duas leis deste tópico são as ferramentas principais para trabalhar com triângulos que não são retângulos. Ambas se demonstram reduzindo o problema a triângulos retângulos: traçando uma altura, na primeira, e um diâmetro, na segunda. A história Na forma geométrica, a lei dos cossenos já está nos Elementos de Euclides (livro II, proposições 12 e 13), que comparam o quadrado do lado oposto a um ângulo obtuso ou agudo com a soma dos quadrados dos outros dois — sem falar de cosseno, claro. Na forma trigonométrica, ela aparece no Miftah al-hisab (“A chave da aritmética”, 1427) do astrônomo persa Jamshid al-Kashi, e por isso os franceses a chamam de teorema de Al-Kashi. A lei dos senos para triângulos planos foi enunciada e demonstrada no século XIII por Nasir al-Din al-Tusi, no seu Tratado sobre o quadrilátero, a primeira obra a tratar a trigonometria como disciplina independente da astronomia (veja o capítulo III).

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Exercícios do capítulo IX — Triângulos retângulos

Faça sempre uma figura: marque o ângulo reto, os dados e a incógnita. Em seguida, escolha o triângulo retângulo em que a incógnita e os dados aparecem juntos. Relações métricas 321 Calcule os elementos $a$, $h$, $m$ e $n$ indicados na figura (catetos $b = 4$ e $c = 3$). Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Ver a resoluçãoSendo $c = 3$ e $b = 4$: $$a^2 = b^2 + c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a = 5$$$$h = \frac{bc}{a} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$$$$m = \frac{c^2}{a} = \frac{9}{5}$$$$n = \frac{b^2}{a} = \frac{16}{5}.$$

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Resolução de triângulos retângulos

Resolver um triângulo retângulo significa calcular os seus elementos principais: os ângulos agudos ($\hat{B}$ e $\hat{C}$) e os lados ($a$, $b$, $c$). Para isso é necessário que sejam dadas duas informações sobre o triângulo, sendo pelo menos uma delas a medida de um segmento ligado a ele (lado, altura, mediana, bissetriz etc.) — só com ângulos, conhecemos a forma mas não o tamanho. A história Resolver triângulos retângulos foi, durante séculos, o trabalho diário de agrimensores, navegadores e artilheiros. Para medir ângulos no terreno, o inglês Leonard Digges descreveu um instrumento que chamou de theodelitus — o antepassado do teodolito, que até hoje aparece nas ruas sobre um tripé. A descrição saiu na Pantometria (“Medição universal”), livro que Leonard deixou inacabado e que o filho, Thomas Digges, completou e publicou em 1571. Com um ângulo medido e uma distância conhecida, as tábuas trigonométricas davam o resto.

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Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Vamos provar três propriedades que relacionam as medidas dos lados com as medidas dos ângulos de um triângulo retângulo. Elas ligam a trigonometria do ciclo, que estudamos até aqui, à trigonometria dos triângulos, de onde tudo começou. A história Conta-se que Tales de Mileto (século VI a.C.) mediu a altura da Grande Pirâmide do Egito comparando a sua sombra com a sombra de uma vara: no mesmo instante, o Sol forma o mesmo ângulo com os dois objetos, e a razão entre altura e sombra é a mesma para ambos. É exatamente a ideia deste capítulo — fixado um ângulo, a razão entre dois lados do triângulo retângulo é fixa — embora, para Tales, ainda não houvesse nomes nem tabelas para essas razões. A história chegou até nós por autores muito posteriores, como Diógenes Laércio e Plutarco.

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Elementos e relações métricas

Sabemos que um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto. Neste capítulo vamos desenvolver uma teoria geométrico-trigonométrica que permite calcular as medidas de segmentos e ângulos de um triângulo retângulo partindo de um número mínimo de dados. A história As relações métricas do triângulo retângulo são das mais antigas da matemática. Tabletes babilônicos de cerca de 1800 a.C., como o famoso Plimpton 322, listam ternos de números que satisfazem $a^2 = b^2 + c^2$, e o tablete YBC 7289 traz uma excelente aproximação de $\sqrt{2}$, a diagonal do quadrado de lado 1. A primeira demonstração conhecida do teorema, porém, é grega: ela aparece como a proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides (cerca de 300 a.C.), e a tradição a atribui à escola de Pitágoras.

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Exercícios do capítulo VIII — Inequações

Em cada inequação, desenhe o ciclo: marque a reta auxiliar, destaque o arco que convém e só então escreva os intervalos, partindo de $A$. Pontos que não satisfazem a desigualdade estrita ficam abertos. Inequações em seno 271 Resolva a inequação $0 \le \operatorname{sen} x < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Ver a resoluçãoA imagem de $x$ deve ficar na interseção do ciclo com a faixa do plano compreendida entre as retas $r$ ($v = 0$) e $s$ ($v = \frac{\sqrt{3}}{2}$), incluída $r$ e excluída $s$: Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. $$2k\pi \le x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x \le \pi + 2k\pi.$$

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Inequações em tangente

Para a tangente, a fronteira não é mais uma reta paralela a um eixo, mas a reta $OT$ que passa pelo centro: ela corta o ciclo em dois pontos diametralmente opostos, e as soluções vêm sempre em pares de arcos simétricos em relação a $O$ — o reflexo de a tangente ter período $\pi$. A história O nome tangente vem do eixo que usamos para medi-la: o segmento $\overline{AT}$ está sobre a reta tangente ao ciclo em $A$. A palavra, em latim tangens, foi introduzida pelo matemático dinamarquês Thomas Fincke no livro Geometria rotundi (1583), junto com secans. Antes, os árabes já tabelavam essa grandeza como a “sombra” de uma vara vertical iluminada pelo Sol, num estudo ligado aos relógios de sol (veja o capítulo II).

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Inequações em cosseno

Para o cosseno, a reta auxiliar é vertical: as soluções de $\cos x > m$ ficam à direita dela, e as de $\cos x < m$, à esquerda. A história A notação de intervalos que usamos neste livro, com colchetes “virados” para indicar um extremo excluído — $\left]a, b\right[$ —, é tradição francesa; ela foi difundida no século XX pelo grupo Nicolas Bourbaki, pseudônimo coletivo de matemáticos franceses que reescreveram os fundamentos da matemática numa série de livros. Nos países de língua inglesa é mais comum a notação com parênteses, $(a, b)$.

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Inequações em seno

Sejam $f$ e $g$ duas funções trigonométricas da variável $x$. Resolver a inequação $f(x) < g(x)$ é obter o conjunto $S$ — o conjunto-solução ou conjunto-verdade — dos números $r$ para os quais $f(r) < g(r)$ é uma sentença verdadeira. A história Os sinais $<$ e $>$ apareceram impressos em 1631, no livro Artis analyticae praxis, publicado dez anos depois da morte do matemático inglês Thomas Harriot, que também foi astrônomo e navegador. Os sinais $\le$ e $\ge$ (com um traço sob o sinal) foram introduzidos em 1734 pelo francês Pierre Bouguer, matemático e hidrógrafo. Antes disso, as desigualdades eram escritas por extenso — “é maior que”, “é menor que”.

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