Com as reduções do tópico anterior, basta conhecer as funções no 1º quadrante. Uma última simetria — na bissetriz do 1º quadrante — reduz ainda mais o trabalho: basta conhecer os arcos de $0$ a $\frac{\pi}{4}$, isto é, de $0^\circ$ a $45^\circ$.

A história

As primeiras tábuas trigonométricas foram de cordas: Hiparco e Ptolomeu tabelaram a corda de cada arco, de meio em meio grau. Os indianos passaram a tabelar a meia-corda (o seno), e os astrônomos árabes acrescentaram tangentes e cotangentes, ligadas ao comprimento das sombras nos relógios de sol. No século XV, Regiomontanus calculou senos com 7 algarismos, e em 1596 a obra póstuma de Rheticus, completada por Valentin Otho, trazia as seis funções de 10 em 10 segundos de arco, com até 10 algarismos — um trabalho de décadas que as calculadoras tornaram desnecessário, mas que sustentou a navegação e a astronomia por séculos. A simetria deste tópico era o primeiro truque de quem montava uma tábua: calculado o seno até $45^\circ$, o resto vinha de graça.

  1. c. 140 a.C.
    Hiparco faz a primeira tábua de cordas conhecida.
  2. c. 150
    Ptolomeu: cordas de meio em meio grau, em base 60.
  3. 499
    Aryabhata: 24 meias-cordas (senos), de $3^\circ 45'$ em $3^\circ 45'$.
  4. séc. X
    Abu al-Wafa: senos de $15'$ em $15'$, com oito casas.
  5. c. 1464
    Regiomontanus: senos com 7 algarismos.
  6. 1596
    Rheticus e Otho: as seis funções de $10''$ em $10''$, com até 10 algarismos.
  7. 1614
    Napier publica as tábuas de logaritmos dos senos.
  8. 1972
    A calculadora científica de bolso aposenta as tábuas.

Fontes: Regiomontanus (MacTutor) · Rheticus (MacTutor).

No dia a dia

  • Tábuas impressas. As antigas tábuas de navegação traziam só os ângulos de $0^\circ$ a $45^\circ$: lia-se de cima para baixo para esses ângulos e de baixo para cima, com os nomes trocados (seno ↔ cosseno), para os de $45^\circ$ a $90^\circ$.
  • Escada na parede. Se a escada faz um ângulo $\alpha$ com o chão, faz $90^\circ - \alpha$ com a parede; a altura alcançada é $L\operatorname{sen}\alpha = L\cos(90^\circ - \alpha)$.
  • Altura do Sol. Os astrônomos usam tanto a altura do Sol acima do horizonte quanto a distância ao zênite, que é o seu complemento; o seno de uma é o cosseno da outra.
Uma escada faz com a parede o ângulo complementar ao que faz com o chão: o seno de um é o cosseno do outro.

Teoria

Redução de [π/4, π/2] a [0, π/4]

Dado $x$ com $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$, seja $P$ a sua imagem e $P'$ o ponto do ciclo simétrico de $P$ em relação à bissetriz do 1º quadrante. No sentido anti-horário, $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{PB} = \frac{\pi}{2}$; como $\overset{\frown}{PB} = \overset{\frown}{AP'}$, vem $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{AP'} = \frac{\pi}{2}$, então $\overset{\frown}{AP'} = \frac{\pi}{2} - x$.

Arraste $P$: o ponto $P'$ é o seu simétrico em relação à bissetriz do 1º quadrante. O seno de um é o cosseno do outro.

Pela congruência dos triângulos $OPP_2$ e $OP'P_1'$ (simétricos em relação à bissetriz), temos $\overline{OP_2} = \overline{OP_1'}$ e $\overline{P_2P} = \overline{P_1'P'}$, isto é:

PropriedadeArcos complementares

$$\operatorname{sen} x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos x = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$

e, em consequência,

$$\operatorname{tg} x = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} = \operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \operatorname{cotg} x = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$$$\sec x = \operatorname{cossec}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \operatorname{cossec} x = \sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right).$$

Por isso o cosseno, a cotangente e a cossecante se chamam cofunções: cada uma é a função do complemento.

ExemploExemplos

$$\operatorname{sen} 71^\circ = \cos(90^\circ - 71^\circ) = \cos 19^\circ \qquad \cos 60^\circ = \operatorname{sen}(90^\circ - 60^\circ) = \operatorname{sen} 30^\circ \qquad \operatorname{tg} 50^\circ = \operatorname{cotg} 40^\circ$$$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = \cos\frac{\pi}{6} \qquad \cos\frac{5\pi}{12} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{12} \qquad \operatorname{tg}\frac{3\pi}{8} = \operatorname{cotg}\frac{\pi}{8}$$

Tábua de valores das funções trigonométricas

Graças às cofunções, uma única tábua de $0^\circ$ a $45^\circ$ serve para $0^\circ$ a $90^\circ$: para os ângulos de $0^\circ$ a $45^\circ$, leia as colunas de cima para baixo usando o cabeçalho de cima; para os de $45^\circ$ a $90^\circ$, leia de baixo para cima usando o cabeçalho de baixo. Por exemplo, $\operatorname{sen} 60^\circ$ está na linha de $30^\circ$, na coluna cujo rótulo inferior é “seno”: $0{,}8660$.

Abrir a tábua (0° a 90°)
graus radianos seno tangente cotangente cosseno radianos graus
0° 0,0000 0,0000 0,0000 — 1,0000 1,5708 90°
1° 0,0175 0,0175 0,0175 57,290 0,9998 1,5533 89°
2° 0,0349 0,0349 0,0349 28,636 0,9994 1,5359 88°
3° 0,0524 0,0523 0,0524 19,081 0,9986 1,5184 87°
4° 0,0698 0,0698 0,0699 14,301 0,9976 1,5010 86°
5° 0,0873 0,0872 0,0875 11,430 0,9962 1,4835 85°
6° 0,1047 0,1045 0,1051 9,5144 0,9945 1,4661 84°
7° 0,1222 0,1219 0,1228 8,1443 0,9925 1,4486 83°
8° 0,1396 0,1392 0,1405 7,1154 0,9903 1,4312 82°
9° 0,1571 0,1564 0,1584 6,3138 0,9877 1,4137 81°
10° 0,1745 0,1736 0,1763 5,6713 0,9848 1,3963 80°
11° 0,1920 0,1908 0,1944 5,1446 0,9816 1,3788 79°
12° 0,2094 0,2079 0,2126 4,7046 0,9781 1,3614 78°
13° 0,2269 0,2250 0,2309 4,3315 0,9744 1,3439 77°
14° 0,2443 0,2419 0,2493 4,0108 0,9703 1,3265 76°
15° 0,2618 0,2588 0,2679 3,7321 0,9659 1,3090 75°
16° 0,2793 0,2756 0,2867 3,4874 0,9613 1,2915 74°
17° 0,2967 0,2924 0,3057 3,2709 0,9563 1,2741 73°
18° 0,3142 0,3090 0,3249 3,0777 0,9511 1,2566 72°
19° 0,3316 0,3256 0,3443 2,9042 0,9455 1,2392 71°
20° 0,3491 0,3420 0,3640 2,7475 0,9397 1,2217 70°
21° 0,3665 0,3584 0,3839 2,6051 0,9336 1,2043 69°
22° 0,3840 0,3746 0,4040 2,4751 0,9272 1,1868 68°
23° 0,4014 0,3907 0,4245 2,3559 0,9205 1,1694 67°
24° 0,4189 0,4067 0,4452 2,2460 0,9135 1,1519 66°
25° 0,4363 0,4226 0,4663 2,1445 0,9063 1,1345 65°
26° 0,4538 0,4384 0,4877 2,0503 0,8988 1,1170 64°
27° 0,4712 0,4540 0,5095 1,9626 0,8910 1,0996 63°
28° 0,4887 0,4695 0,5317 1,8807 0,8829 1,0821 62°
29° 0,5061 0,4848 0,5543 1,8040 0,8746 1,0647 61°
30° 0,5236 0,5000 0,5774 1,7321 0,8660 1,0472 60°
31° 0,5411 0,5150 0,6009 1,6643 0,8572 1,0297 59°
32° 0,5585 0,5299 0,6249 1,6003 0,8480 1,0123 58°
33° 0,5760 0,5446 0,6494 1,5399 0,8387 0,9948 57°
34° 0,5934 0,5592 0,6745 1,4826 0,8290 0,9774 56°
35° 0,6109 0,5736 0,7002 1,4281 0,8192 0,9599 55°
36° 0,6283 0,5878 0,7265 1,3764 0,8090 0,9425 54°
37° 0,6458 0,6018 0,7536 1,3270 0,7986 0,9250 53°
38° 0,6632 0,6157 0,7813 1,2799 0,7880 0,9076 52°
39° 0,6807 0,6293 0,8098 1,2349 0,7771 0,8901 51°
40° 0,6981 0,6428 0,8391 1,1918 0,7660 0,8727 50°
41° 0,7156 0,6561 0,8693 1,1504 0,7547 0,8552 49°
42° 0,7330 0,6691 0,9004 1,1106 0,7431 0,8378 48°
43° 0,7505 0,6820 0,9325 1,0724 0,7314 0,8203 47°
44° 0,7679 0,6947 0,9657 1,0355 0,7193 0,8029 46°
45° 0,7854 0,7071 1,0000 1,0000 0,7071 0,7854 45°
cosseno cotangente tangente seno radianos graus

AtençãoUsando a tábua com as reduções

Para calcular $\cos 2861^\circ$: $2861^\circ - 7 \cdot 360^\circ = 341^\circ$ (4º quadrante), $\cos 341^\circ = \cos(360^\circ - 341^\circ) = \cos 19^\circ \approx 0{,}9455$.

O exercício desta seção é o de número 118 da lista do capítulo.