Trigonometria

Radianos, comprimento de arco e ciclo trigonométrico

Comparar um arco com seu raio Se um arco tem comprimento $s$ em uma circunferência de raio $R>0$, sua medida em radianos é: $$\theta=\frac{s}{R}.$$Um radiano é o ângulo central que recorta um arco tão comprido quanto o raio. Como o comprimento de uma circunferência é $2\pi R$, uma volta mede $2\pi$ radianos. Segue que: $$360°=2\pi\text{ rad},\qquad180°=\pi\text{ rad}.$$As conversões são $\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{graus}}\pi/180$ e $\theta_{\mathrm{graus}}=\theta_{\mathrm{rad}}180/\pi$. Por exemplo, $75°=5\pi/12$ rad. Demonstrar a fórmula do comprimento Um arco de $\alpha$ graus ocupa a fração $\alpha/360$ da volta. Seu comprimento é:

October 20, 2026 Iniciar leitura

Triangulação: medindo uma distância sem atravessar

Imagine uma bola parada do outro lado de um riacho. Você quer saber a distância até ela, mas não pode atravessar nem esticar uma fita métrica sobre a água. Um triângulo pode ajudar: em vez de medir o caminho inteiro, medimos um trecho seguro e observamos dois ângulos. Um triângulo que revela uma medida Vamos chamar de P o ponto que queremos alcançar. Na margem, encontre um ponto A de modo que o segmento de A até P forme um ângulo reto com a margem. Marque outro ponto B na margem, a alguma distância de A.

October 20, 2026 Iniciar leitura

Triângulos quaisquer: a caixa de ferramentas completa

No livro interativo: capítulo X completo, com todas as demonstrações e exercícios. Uma ponte vista da margem Dois pontos A e B estão na mesma margem de um rio, separados por uma distância conhecida. Um ponto C está na outra margem. Ao medir os ângulos em A e B, podemos calcular AC e BC sem atravessar. O triângulo formado pode não ter nenhum ângulo reto. Vamos chamar os ângulos de $A,B,C$ e os lados opostos de $a,b,c$. Sempre $A+B+C=180°$. Os lados de um triângulo não degenerado são positivos e cada um é menor que a soma dos outros dois.

October 20, 2026 Iniciar leitura

Triângulos retângulos: medindo sem alcançar

No livro interativo: capítulo IX completo, com todas as demonstrações e exercícios. A altura da árvore Você está a 6 m de uma árvore, em terreno horizontal, e vê seu topo com ângulo de elevação de $45°$. É possível descobrir a altura sem subir nela. Precisamos montar um triângulo e dizer exatamente de onde observamos. Um triângulo retângulo tem um ângulo de $90°$. O lado oposto a ele é a hipotenusa; os outros são os catetos. Em relação a um ângulo agudo escolhido, um cateto é oposto e o outro, adjacente.

October 20, 2026 Iniciar leitura

Inequações: escolhendo pedaços da volta

No livro interativo: capítulo VIII completo, com todas as demonstrações e exercícios. Mais alto que uma linha A pergunta $\operatorname{sen} x>1/2$ pede todas as posições em que a cabine está acima da linha de altura $1/2$. Em uma volta, a cabine cruza essa linha em $30°$ e $150°$. Entre eles, passa por $90°$, onde a altura é 1. Portanto, em $[0°,360°)$: $$30°

October 20, 2026 Iniciar leitura

Equações: procurando os ângulos escondidos

No livro interativo: capítulo VII completo, com todas as demonstrações e exercícios. Quando a cabine chega à mesma altura? Procurar $\operatorname{sen} x=1/2$ é perguntar em quais posições a cabine está à altura $1/2$. Uma linha horizontal corta o ciclo em dois pontos: um no primeiro quadrante e outro no segundo. Em uma volta, são $30°$ e $150°$. Neste capítulo, os exemplos principais usam graus. Quando aparecer $\pi$, o ângulo estará em radianos.

October 20, 2026 Iniciar leitura

Transformações: construindo novas fórmulas

No livro interativo: capítulo VI completo, com todas as demonstrações e exercícios. Somar giros não é somar alturas Um giro de $30°$ seguido de outro de $30°$ resulta em $60°$. Mas $\operatorname{sen}30°+\operatorname{sen}30°=1$, enquanto $\operatorname{sen}60°=\sqrt3/2$. Precisamos descobrir como as coordenadas mudam ao girar. Esta é uma etapa avançada. Se as contas com letras ainda forem novas, acompanhe primeiro o exemplo de $75°$ e volte à demonstração com um adulto. Demonstração das fórmulas de adição Depois de um giro de ângulo $a$, o vetor horizontal de comprimento 1 aponta para $(\cos a,\operatorname{sen} a)$. O vetor vertical, perpendicular a ele e também de comprimento 1, aponta para $(-\operatorname{sen} a,\cos a)$. É o primeiro vetor girado mais $90°$.

October 20, 2026 Iniciar leitura

Ângulos notáveis: dobrando triângulos e polígonos

No livro interativo: capítulo V completo, com todas as demonstrações e exercícios. Faça um quadrado Desenhe um quadrado de lado 1 e trace uma diagonal. Ela divide dois ângulos retos ao meio: aparecem dois triângulos com ângulos de $45°$, $45°$ e $90°$. Pelo teorema de Pitágoras, a diagonal mede $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$. Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, seno é o cateto oposto dividido pela hipotenusa; cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Essas razões coincidem com as coordenadas do ciclo: basta reduzir a hipotenusa à medida 1, sem alterar os ângulos.

October 19, 2026 Iniciar leitura

Simetrias: uma tabela serve para a volta inteira

No livro interativo: capítulo IV completo, com todas as demonstrações e exercícios. O espelho da roda Desenhe um ponto no primeiro quadrante e seu reflexo no segundo. A altura é a mesma, mas a posição horizontal muda de sinal. A simetria nos permite calcular valores de uma volta inteira conhecendo apenas o primeiro quadrante. Se $\alpha$ está entre $0°$ e $90°$, o ponto correspondente é $(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)$. Reflita-o nos eixos e no centro:

October 19, 2026 Iniciar leitura

Relações fundamentais: as peças se encaixam

No livro interativo: capítulo III completo, com todas as demonstrações e exercícios. Duas medidas que combinam Marque no primeiro quadrante um ponto de coordenadas $(3/5,4/5)$. Seus deslocamentos horizontal e vertical formam os catetos de um triângulo retângulo. A distância ao centro vale 1. Esse é um ponto do ciclo porque $(3/5)^2+(4/5)^2=9/25+16/25=1$. Demonstração: a identidade fundamental O teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Para um ponto do ciclo, os comprimentos dos catetos são $|\cos\theta|$ e $|\operatorname{sen}\theta|$, e a hipotenusa mede 1. Elevar ao quadrado elimina os sinais. Por isso, em qualquer quadrante:

October 19, 2026 Iniciar leitura

Funções circulares: a roda que faz ondas

No livro interativo: capítulo II completo, com todas as demonstrações e exercícios. A cabine da roda-gigante Imagine uma roda-gigante com centro na altura zero e raio igual a uma unidade. Conforme a cabine gira, sua altura muda. Sua posição horizontal também muda. Vamos dar nomes a essas duas medidas. Um ponto do ciclo tem coordenadas $P=(x,y)$. Para o ângulo de giro $\theta$, definimos $\cos\theta=x$ e $\operatorname{sen}\theta=y$. Cosseno é a posição horizontal; seno, a altura com sinal. No lado esquerdo, $x$ é negativo; abaixo do centro, $y$ é negativo.

October 19, 2026 Iniciar leitura

Arcos e ângulos: a matemática dos giros

No livro interativo: capítulo I completo, com todas as demonstrações e exercícios. Comece com uma volta Fique de frente para uma parede e gire até olhar para a parede oposta. Você fez meia-volta. Mais meia-volta e está na posição inicial. Um ângulo mede a abertura entre duas semirretas de mesma origem. Também podemos acompanhar o giro que leva uma delas até a outra. Pegue um disco de papel. Marque o centro O e dois pontos A e B na borda. Os segmentos OA e OB são raios. O caminho curvo de A até B é um arco. Existem dois caminhos pela borda entre pontos distintos: diga qual deles está usando. O segmento reto AB é uma corda, diferente do arco.

October 19, 2026 Iniciar leitura