No livro interativo: capítulo III completo, com todas as demonstrações e exercícios.

Duas medidas que combinam

Marque no primeiro quadrante um ponto de coordenadas $(3/5,4/5)$. Seus deslocamentos horizontal e vertical formam os catetos de um triângulo retângulo. A distância ao centro vale 1. Esse é um ponto do ciclo porque $(3/5)^2+(4/5)^2=9/25+16/25=1$.

Demonstração: a identidade fundamental

O teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Para um ponto do ciclo, os comprimentos dos catetos são $|\cos\theta|$ e $|\operatorname{sen}\theta|$, e a hipotenusa mede 1. Elevar ao quadrado elimina os sinais. Por isso, em qualquer quadrante:

$$\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1.$$

A escrita $\operatorname{sen}^2\theta$ significa $(\operatorname{sen}\theta)^2$. Nos pontos dos eixos, a igualdade também vale diretamente: uma coordenada é zero e a outra é 1 ou −1.

Chamamos essa igualdade de identidade: ela vale para todo ângulo de seu domínio. Já $\operatorname{sen}\theta=1/2$ é uma equação que só vale para certos ângulos.

Duas novas identidades

Se $\cos\theta\ne0$, divida cada termo da identidade por $\cos^2\theta$:

$$\frac{\operatorname{sen}^2\theta}{\cos^2\theta}+1 =\frac1{\cos^2\theta}.$$

Pelas definições, $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$. Se $\operatorname{sen}\theta\ne0$, a divisão por $\operatorname{sen}^2\theta$ fornece $1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$.

As condições acompanham a fórmula. Uma igualdade com frações só pode ser usada onde todas as frações existem.

Exemplo: o sinal que o quadrado esconde

Sabemos que $\operatorname{sen}\theta=3/5$. Então:

$$\cos^2\theta=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}.$$

Assim, $\cos\theta=4/5$ ou $-4/5$. Se o ponto estiver no segundo quadrante, escolhemos $-4/5$, pois fica à esquerda do centro. Nesse caso, $\tan\theta=(3/5)/(-4/5)=-3/4$.

Como demonstrar uma identidade

Comece por um dos lados e use igualdades já conhecidas até chegar ao outro. Não basta testar um ângulo: uma afirmação sobre todos os ângulos exige um argumento geral.

Por exemplo, para $\cos\theta\ne0$:

$$\begin{aligned} (1-\operatorname{sen}\theta)(1+\operatorname{sen}\theta) &=1-\operatorname{sen}^2\theta\\ &=\cos^2\theta. \end{aligned}$$

A igualdade obtida vale até quando o cosseno é zero, pois nenhuma divisão foi feita. Se dividirmos os dois lados por $\cos^2\theta$ para obter 1, passamos a exigir $\cos\theta\ne0$. Simplificar uma expressão não devolve pontos que estavam proibidos no começo.

Laboratório de erros

Alguém escreveu $\operatorname{sen}\theta+\cos\theta=1$, porque a soma dos quadrados vale 1. Experimente $\theta=45°$: a soma é $\sqrt2$, diferente de 1. Um único contraexemplo derruba uma afirmação universal. Guardar essa diferença ajuda em toda a matemática.

No dia a dia

  • Carrinho na rampa. O peso $P$ de um carrinho numa rampa de inclinação $\alpha$ se divide em $P\operatorname{sen}\alpha$, que o faz descer, e $P\cos\alpha$, que o aperta contra a rampa; e $(P\operatorname{sen}\alpha)^2 + (P\cos\alpha)^2 = P^2$.
  • Tamanho de tela. Largura e altura de uma tela são o cosseno e o seno da diagonal, e por isso $\text{largura}^2 + \text{altura}^2 = \text{diagonal}^2$.
  • Contas de energia. Indústrias pagam multa quando o “fator de potência” $\cos\varphi$ fica baixo; o seno correspondente sai da relação fundamental.
Largura² + altura² = diagonal²: a relação fundamental numa tela de TV.

Exercícios

Tente resolver no caderno antes de abrir a resolução. Os exercícios 1 e 2 são de entrada; 3 e 4, de prática; 5 e 6, de aprofundamento.

1. Se $\cos\theta=5/13$ e $\theta$ está no primeiro quadrante, encontre o seno.

Ver resolução 1

$\operatorname{sen}^2\theta=1-25/169=144/169$. Como é positivo, $\operatorname{sen}\theta=12/13$.

2. Se $\tan\theta=2$, quanto vale $\sec^2\theta$?

Ver resolução 2

$1+2^2=5$. Isso determina o quadrado da secante, sem determinar seu sinal.

3. Demonstre $\operatorname{sen}\theta\,\csc\theta=1$. Qual é a condição?

Ver resolução 3

Pela definição, $\operatorname{sen}\theta\cdot(1/\operatorname{sen}\theta)=1$, desde que $\operatorname{sen}\theta\ne0$.

4. Simplifique $(1-\cos^2\theta)/\operatorname{sen}\theta$.

Ver resolução 4

O numerador é $\operatorname{sen}^2\theta$. O resultado é $\operatorname{sen}\theta$, com a condição original $\operatorname{sen}\theta\ne0$.

5. Se $\operatorname{sen}\theta=-8/17$ e o ponto está no terceiro quadrante, encontre o cosseno.

Ver resolução 5

$\cos^2\theta=225/289$ e o cosseno é negativo: $-15/17$.

6. A igualdade $\tan\theta=\operatorname{sen}\theta$ é uma identidade?

Ver resolução 6

Não: em $45°$, a tangente é 1 e o seno é $\sqrt2/2$. Basta esse contraexemplo.

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