Trigonometria

Fórmulas de divisão e tangente do arco metade

Isolar os quadrados Partimos das identidades $\cos2u=1-2\sin^2u$ e $\cos2u=2\cos^2u-1$. Fazendo $u=x/2$ e isolando: $$\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2},\qquad \cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}{2}.$$Consequentemente: $$\sin\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}},\qquad \cos\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$$Os sinais não são uma escolha livre: são determinados pelo quadrante da imagem de $x/2$. Se $0

October 21, 2026 Iniciar leitura

Seno, cosseno e tangente do arco duplo e triplo

Uma fórmula de adição aplicada a si mesma Substitua $b=a$ nas fórmulas de adição: $$\sin2a=2\sin a\cos a,$$ $$\cos2a=\cos^2a-\sin^2a.$$A identidade fundamental permite duas outras formas para o cosseno: $$\cos2a=1-2\sin^2a=2\cos^2a-1.$$A escolha depende do dado disponível. Se conhecemos apenas o seno, a primeira expressão alternativa evita calcular o cosseno e escolher seu sinal. Se as tangentes existem: $$\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}.$$A forma com $\tan a$ exige $\cos a\ne0$ e $1-\tan^2a\ne0$; não cobre todos os casos em que $\tan2a$ existe.

October 21, 2026 Iniciar leitura

Fórmulas de adição e subtração de arcos

Girar um vetor Considere os vetores unitários horizontal e vertical. Depois de um giro de $a$, eles passam a apontar, respectivamente, para $(\cos a,\sin a)$ e $(-\sin a,\cos a)$. O segundo é perpendicular ao primeiro, no sentido positivo. O ponto correspondente a $b$ é a soma de $\cos b$ vezes o vetor horizontal com $\sin b$ vezes o vertical. A rotação conserva essa decomposição. Depois de girar $a$: $$\begin{aligned} (\cos(a+b),\sin(a+b)) &=\cos b(\cos a,\sin a)\\ &\quad+\sin b(-\sin a,\cos a). \end{aligned}$$Demonstrar e reunir as fórmulas Comparando as coordenadas, obtemos as fórmulas da soma. Substituir $b$ por $-b$ e usar a paridade dá as da diferença:

October 20, 2026 Iniciar leitura

Complementos, identidades de redução e paridade

Reduzir ainda mais a tabela Em um triângulo retângulo, os ângulos agudos são complementares. O cateto oposto a um é o adjacente ao outro. Assim: $$\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x,\qquad \cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin x.$$Para $\pi/4\le x\le\pi/2$, o complemento $\pi/2-x$ pertence a $[0,\pi/4]$. Desse modo, valores na segunda metade do primeiro quadrante podem ser calculados a partir dos da primeira metade, trocando seno por cosseno. Também: $$\tan\left(\frac\pi2-x\right)=\cot x,$$ $$\sec\left(\frac\pi2-x\right)=\csc x,$$nos respectivos domínios. A interpretação geométrica pela troca dos catetos demonstra as relações para ângulos agudos; a leitura das coordenadas do ciclo estende as identidades aos demais valores permitidos.

October 20, 2026 Iniciar leitura

Redução do segundo, terceiro e quarto quadrantes

Um ponto e seus reflexos Escolha $0<\alpha<\pi/2$, cuja imagem é $(\cos\alpha,\sin\alpha)$. Uma reflexão no eixo vertical troca o sinal da primeira coordenada; uma reflexão no eixo horizontal troca o da segunda; a simetria em relação à origem troca ambos. Essas três operações geram os pontos de $\pi-\alpha$, $\pi+\alpha$ e $2\pi-\alpha$. Logo: Ângulo Seno Cosseno Tangente $\pi-\alpha$ $\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $-\tan\alpha$ $\pi+\alpha$ $-\sin\alpha$ $-\cos\alpha$ $\tan\alpha$ $2\pi-\alpha$ $-\sin\alpha$ $\cos\alpha$ $-\tan\alpha$ Demonstração para o segundo quadrante O reflexo de $P=(u,v)$ no eixo vertical é $P'=(-u,v)$. A altura permanece a mesma, mas a posição horizontal fica negativa. Como $P'$ corresponde ao ângulo $\pi-\alpha$:

October 20, 2026 Iniciar leitura

Identidades e três caminhos de demonstração

Uma igualdade entre funções Uma identidade trigonométrica é uma igualdade válida para todas as entradas de um domínio declarado. É preciso conferir tanto os valores quanto os pontos em que as expressões existem. Por exemplo, $\sec^2x-\tan^2x=1$ vale quando $\cos x\ne0$. O lado direito também existe nos pontos excluídos, mas isso não amplia o domínio da expressão à esquerda. Primeiro caminho: transformar um dos membros Para demonstrar $\sin x\tan x+\cos x=\sec x$, com $\cos x\ne0$, começamos pela esquerda:

October 20, 2026 Iniciar leitura

Relações fundamentais demonstradas

Pitágoras no círculo O ponto $P=(\cos x,\sin x)$ está a uma unidade da origem. As projeções nos eixos formam um triângulo retângulo com catetos $|\cos x|$ e $|\sin x|$. Aplicando Pitágoras, obtemos: $$\sin^2x+\cos^2x=1.$$Nos eixos, a igualdade se verifica diretamente: uma coordenada é zero e a outra tem módulo 1. Portanto, a identidade vale para todo real $x$. Reunir as relações As definições e a identidade anterior fornecem: $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x},$$

October 20, 2026 Iniciar leitura

Cotangente, secante e cossecante

Três quocientes, três domínios As funções recíprocas ampliam a família circular: $$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\qquad \sec x=\frac1{\cos x},\qquad\csc x=\frac1{\sin x}.$$ Função Pontos excluídos Imagem Período fundamental $\cot x$ $x=k\pi$ $\mathbb R$ $\pi$ $\sec x$ $x=\pi/2+k\pi$ $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ $2\pi$ $\csc x$ $x=k\pi$ $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ $2\pi$ Em toda a tabela, $k\in\mathbb Z$. A cotangente não é definida por $1/\tan x$ em todo o seu domínio: em $x=\pi/2$, a cotangente vale 0, enquanto a tangente não existe. A identidade $\cot x=1/\tan x$ exige que ambas as expressões existam.

October 20, 2026 Iniciar leitura

Função tangente: inclinação, domínio e gráfico

Comparar as coordenadas No primeiro quadrante, a reta do raio que passa por $P=(\cos x,\sin x)$ tem inclinação igual a altura dividida pelo deslocamento horizontal. Estendemos essa razão a todos os ângulos em que o denominador não é zero: $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$Logo: $$\operatorname{Dom}(\tan)=\mathbb R\setminus \left\{\frac\pi2+k\pi:k\in\mathbb Z\right\}.$$A imagem é $\mathbb R$. A tangente é positiva nos quadrantes I e III e negativa nos quadrantes II e IV. Seus zeros são $x=k\pi$.

October 20, 2026 Iniciar leitura

Função cosseno: coordenada horizontal e gráfico

A largura com sinal Para $P=(u,v)$ no ciclo, definimos $\cos x=u$. O cosseno é positivo no semicírculo direito e negativo no esquerdo. Seu domínio é $\mathbb R$ e sua imagem é $[-1,1]$. Os pontos dos eixos fornecem: $x$ $0$ $\pi/2$ $\pi$ $3\pi/2$ $2\pi$ $\cos x$ $1$ $0$ $-1$ $0$ $1$ Os zeros são $x=\pi/2+k\pi$. Os máximos ocorrem em $x=2k\pi$ e os mínimos em $x=\pi+2k\pi$, com $k\in\mathbb Z$. Demonstração da paridade e do período Os pontos de $x$ e $-x$ são reflexos no eixo horizontal. Sua coordenada horizontal é igual:

October 20, 2026 Iniciar leitura

Função seno: definição, sinais e gráfico

A altura do ponto Se a imagem do real $x$ no ciclo é $P=(u,v)$, definimos $\sin x=v$. O seno é a coordenada vertical, com sinal, e não a distância sem sinal até o eixo horizontal. Qualquer real possui imagem no ciclo. A altura varia de $-1$ a 1, incluindo os extremos. Portanto: $$\operatorname{Dom}(\sin)=\mathbb R,\qquad\operatorname{Im}(\sin)=[-1,1].$$Em cada volta, o seno é positivo no semicírculo superior e negativo no inferior. Seus zeros são $x=k\pi$, para $k\in\mathbb Z$.

October 20, 2026 Iniciar leitura

Funções circulares e periodicidade

Do movimento para uma função Uma função associa a cada entrada do domínio uma única saída. Ao fazer um ponto percorrer o ciclo trigonométrico, podemos observar sua altura, sua posição horizontal ou outras grandezas construídas geometricamente. Cada escolha produz uma função circular. A entrada será, em geral, um número real que representa o giro em radianos. Mesmo que duas entradas diferentes levem ao mesmo ponto, cada uma tem uma única imagem pela função. Uma função pode repetir saídas.

October 20, 2026 Iniciar leitura