Euler's Eyes
2026-10-19
Funções circulares: a roda que faz ondas
No livro interativo: capítulo II completo, com todas as demonstrações e exercícios.
A cabine da roda-gigante
Imagine uma roda-gigante com centro na altura zero e raio igual a uma unidade. Conforme a cabine gira, sua altura muda. Sua posição horizontal também muda. Vamos dar nomes a essas duas medidas.
Um ponto do ciclo tem coordenadas $P=(x,y)$. Para o ângulo de giro $\theta$, definimos $\cos\theta=x$ e $\operatorname{sen}\theta=y$. Cosseno é a posição horizontal; seno, a altura com sinal. No lado esquerdo, $x$ é negativo; abaixo do centro, $y$ é negativo.
Uma função é uma regra que associa a cada entrada de seu domínio uma única saída. Para seno e cosseno, qualquer número real pode ser uma entrada em radianos; as saídas estão entre $-1$ e $1$.
Da roda para o gráfico
Faça uma tabela e coloque o ângulo no eixo horizontal e o valor da função no vertical:
| Giro | $0°$ | $90°$ | $180°$ | $270°$ | $360°$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Seno | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
| Cosseno | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 |
Entre esses pontos, os valores mudam continuamente. Desenhe uma curva suave. Depois repita o desenho por mais uma volta. Uma função é periódica quando um mesmo deslocamento positivo na entrada repete todos os valores. O menor desses deslocamentos, quando existe, é o período fundamental.
Demonstração: por que a onda se repete?
Depois de uma volta, a cabine volta ao mesmo ponto. Logo suas duas coordenadas são iguais às anteriores:
$$\operatorname{sen}(\theta+2\pi)=\operatorname{sen}\theta,\qquad \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta.$$Nenhum giro positivo menor que uma volta mantém a posição horizontal de todos os pontos: em particular, o cosseno só volta a 1 após uma volta completa. Para seno, seu máximo 1 só reaparece após uma volta completa. Assim, ambos têm período fundamental $2\pi$.
Outras quatro funções
A tangente compara a altura com a posição horizontal:
$$\tan\theta=\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}.$$Ela não existe quando o cosseno é zero: $\theta=\pi/2+k\pi$. Dividir por zero não produz um número. A tangente tem período $\pi$: após meia-volta, as duas coordenadas trocam de sinal e seu quociente permanece igual.
Três funções completam a família:
| Função | Definição | Quando não existe |
|---|---|---|
| Cotangente | $\cot\theta=\cos\theta/\operatorname{sen}\theta$ | $\theta=k\pi$ |
| Secante | $\sec\theta=1/\cos\theta$ | $\theta=\pi/2+k\pi$ |
| Cossecante | $\csc\theta=1/\operatorname{sen}\theta$ | $\theta=k\pi$ |
Aqui e no restante do livro, $k$ representa qualquer número inteiro. Cotangente tem período $\pi$; secante e cossecante, $2\pi$. Seno e cosseno podem ser zero; suas recíprocas nunca são zero e têm módulo pelo menos 1.
Uma roda maior
Se o raio é 4 m e o centro está a 6 m do chão, a altura da cabine é $h(\theta)=6+4\operatorname{sen}\theta$. O menor valor é $6-4=2$ m e o maior, $6+4=10$ m. O número 4 é a amplitude da oscilação em torno de 6. Em $f(t)=\operatorname{sen}(2t)$, com $t$ em radianos, o período é $\pi$: basta que $2t$ aumente $2\pi$.
No dia a dia
- Rodas-gigantes. A Roda Rico, em São Paulo, tem 91 m de altura; a altura de cada cabine ao longo do passeio é uma senoide.
- Balanço do parquinho. Um balanço vai e volta sempre no mesmo ritmo, e a sua posição se repete como uma função periódica.
- Temperatura do dia. A temperatura sobe e desce num ciclo de 24 horas que, num dia sem frentes frias, se parece com uma onda.
Exercícios
Tente resolver no caderno antes de abrir a resolução. Os exercícios 1 e 2 são de entrada; 3 e 4, de prática; 5 e 6, de aprofundamento.
1. Dê seno e cosseno de $270°$.
Ver resolução 1
O ponto é $(0,-1)$: $\operatorname{sen}270°=-1$ e $\cos270°=0$.
2. Existe $\tan90°$? Explique.
Ver resolução 2
Não. A expressão seria $1/0$, que não é definida.
3. Se seno e cosseno valem $\sqrt2/2$, calcule tangente, cotangente, secante e cossecante.
Ver resolução 3
Os quocientes são 1; os inversos são $2/\sqrt2=\sqrt2$.
4. Qual é o período fundamental de $\cos(3t)$?
Ver resolução 4
$2\pi/3$, pois $3(t+2\pi/3)=3t+2\pi$.
5. Para a roda de centro a 6 m e raio 4 m, qual é a altura em $270°$?
Ver resolução 5
$h=6+4(-1)=2$ m.
6. Em quais ângulos entre $0°$ e $360°$, incluindo as pontas, a cossecante não existe?
Ver resolução 6
$0°$, $180°$ e $360°$, pois nesses ângulos o seno é zero.