Euler's Eyes
2026-10-20
Inequações: escolhendo pedaços da volta
No livro interativo: capítulo VIII completo, com todas as demonstrações e exercícios.
Mais alto que uma linha
A pergunta $\operatorname{sen} x>1/2$ pede todas as posições em que a cabine está acima da linha de altura $1/2$. Em uma volta, a cabine cruza essa linha em $30°$ e $150°$. Entre eles, passa por $90°$, onde a altura é 1. Portanto, em $[0°,360°)$:
$$30°Demonstração pelo desenho
No semicírculo superior, as alturas sobem de 0 até 1 e depois descem até 0. A linha horizontal de altura $1/2$ corta esse caminho em dois pontos. O arco entre eles fica acima da linha; o restante fica abaixo. Isso justifica escolher o intervalo entre os cruzamentos.
Se a condição fosse $\operatorname{sen} x\ge1/2$, incluiríamos os dois cruzamentos: $[30°,150°]$. Para $\operatorname{sen} x<1/2$, no intervalo $[0°,360°)$, teríamos $[0°,30°)\cup(150°,360°)$. O símbolo $\cup$ significa reunir os dois conjuntos.
Uma receita que também funciona para cosseno
Primeiro escolha o intervalo de estudo. Depois encontre os pontos de igualdade. Desenhe a reta horizontal para seno ou vertical para cosseno. Escolha os arcos que satisfazem a comparação e verifique se as pontas entram.
Por exemplo, $\cos x>1/2$ pede pontos à direita da reta vertical $x=1/2$ do plano. Para evitar confundir a coordenada com o ângulo, pense em “posição horizontal maior que $1/2$”. No intervalo de ângulos $[0°,360°)$, a resposta é:
$$[0°,60°)\cup(300°,360°).$$Em toda a reta real, a mesma solução pode ser escrita como $-60°+360°k Em cada intervalo $(-90°+180°k,90°+180°k)$, a tangente cresce de valores negativos sem limite até valores positivos sem limite. Ela não existe nas pontas. Assim:Tangente: cuidado com as interrupções
Não multiplique uma desigualdade por $\cos x$ sem saber seu sinal. Multiplicar por um número negativo inverte o sentido; multiplicar por zero pode destruir a equivalência. Separar os intervalos pelo sinal evita esse erro.
Antes de calcular, olhe os limites
Como $-1\le\operatorname{sen} x\le1$, a condição $\operatorname{sen} x>2$ nunca acontece. Já $\operatorname{sen} x<2$ vale para todos os reais. Para $\cos x\ge1$, apenas os ângulos de voltas completas servem: $x=360°k$.
Brincadeira com o disco
Pinte os arcos com seno positivo de azul e os com cosseno negativo com listras. A parte que recebe as duas marcas é o segundo quadrante: $90°
No dia a dia
- Tempo lá no alto. Quanto tempo de cada volta a cabine passa acima de certa altura é uma inequação em seno.
- Painel solar. Um painel só gera energia útil enquanto o Sol está acima de certo ângulo: um intervalo de horas, solução de uma inequação.
- Câmeras de segurança. Um objeto aparece na imagem quando o ângulo com o eixo da câmera é menor que metade da abertura — uma inequação em cosseno.
Exercícios
Tente resolver no caderno antes de abrir a resolução. Os exercícios 1 e 2 são de entrada; 3 e 4, de prática; 5 e 6, de aprofundamento.
1. Resolva $\operatorname{sen} x\le0$ em $[0°,360°)$.
Ver resolução 1
$\{0°\}\cup[180°,360°)$. O zero inicial também tem seno zero e deve aparecer.
2. Resolva $\cos x<0$ em $[0°,360°)$.
Ver resolução 2
$(90°,270°)$, o semicírculo esquerdo sem os extremos.
3. Resolva $\operatorname{sen} x\ge1/2$ em $[0°,360°)$.
Ver resolução 3
$[30°,150°]$. A igualdade inclui as pontas.
4. Resolva $\tan x\ge0$ em $[0°,180°)$.
Ver resolução 4
$[0°,90°)$. Em $90°$ a tangente não existe e depois é negativa até $180°$, que está fora do intervalo.
5. Resolva $\cos x>3/2$ para $x$ real.
Ver resolução 5
Não há solução: o cosseno nunca ultrapassa 1.
6. Resolva simultaneamente $\operatorname{sen} x>0$ e $\cos x>0$ em $[0°,360°)$.
Ver resolução 6
A primeira condição dá $(0°,180°)$ e a segunda, $[0°,90°)\cup(270°,360°)$. A parte comum é $(0°,90°)$.