Euler's Eyes
2026-10-20
Equações: procurando os ângulos escondidos
No livro interativo: capítulo VII completo, com todas as demonstrações e exercícios.
Quando a cabine chega à mesma altura?
Procurar $\operatorname{sen} x=1/2$ é perguntar em quais posições a cabine está à altura $1/2$. Uma linha horizontal corta o ciclo em dois pontos: um no primeiro quadrante e outro no segundo. Em uma volta, são $30°$ e $150°$.
Neste capítulo, os exemplos principais usam graus. Quando aparecer $\pi$, o ângulo estará em radianos.
Demonstração: duas famílias de respostas
O ponto de $\alpha$ e o de $180°-\alpha$ têm a mesma altura. Além disso, voltas completas mantêm o ponto. Essas são todas as possibilidades porque uma reta horizontal corta uma circunferência em no máximo dois pontos. Logo:
$$\operatorname{sen} x=\operatorname{sen}\alpha\iff \begin{cases} x=\alpha+360°k,\ \text{ou}\\ x=180°-\alpha+360°k. \end{cases}$$Para o cosseno, uma reta vertical dá os pontos de $\alpha$ e $-\alpha$:
$$\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+360°k.$$Para a tangente, direções opostas têm o mesmo quociente de coordenadas:
$$\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+180°k,$$com as tangentes definidas. Aqui $k$ é inteiro. Para usar radianos, troque $360°$ por $2\pi$ e $180°$ por $\pi$.
Exemplo com intervalo
Resolva $\operatorname{sen} x=1/2$ em $0°\le x<720°$. Da primeira família saem $30°$ e $390°$; da segunda, $150°$ e $510°$. O intervalo permite duas voltas. Uma resposta completa respeita as pontas do intervalo.
Se o valor pedido para seno ou cosseno estiver fora de $[-1,1]$, não há solução real. Por exemplo, $\cos x=2$ é impossível.
Equações que mudam de roupa
Considere $2\operatorname{sen}^2x-\operatorname{sen} x=0$. Coloque $\operatorname{sen} x$ em evidência:
$$\operatorname{sen} x(2\operatorname{sen} x-1)=0.$$Um produto é zero quando pelo menos um fator é zero. Assim, $\operatorname{sen} x=0$ ou $\operatorname{sen} x=1/2$. Em $[0°,360°)$, as soluções são $0°$, $30°$, $150°$ e $180°$.
Se dividíssemos a equação por $\operatorname{sen} x$ logo de início, perderíamos as soluções de seno zero. Fatorar mantém as possibilidades visíveis. Depois de elevar uma equação ao quadrado, confira cada resposta na equação inicial, pois o quadrado pode acrescentar soluções.
Funções inversas: escolher uma resposta principal
Seno não tem uma inversa em toda a reta, pois várias entradas produzem a mesma saída. Para definir arco seno, restringimos o ângulo a $[-90°,90°]$. Nessa faixa, cada valor de $[-1,1]$ aparece uma única vez.
| Função inversa | Entrada | Saída principal |
|---|---|---|
| $\arcsin y$ | $-1\le y\le1$ | $[-90°,90°]$ |
| $\arccos y$ | $-1\le y\le1$ | $[0°,180°]$ |
| $\arctan y$ | qualquer real | $(-90°,90°)$ |
Assim, $\arcsin(1/2)=30°$, mas a equação $\operatorname{sen} x=1/2$ tem infinitas soluções. A inversa fornece o valor principal, que serve para construir as famílias. $\arcsin$ também não significa $1/\operatorname{sen}$: esse inverso multiplicativo é a cossecante.
Para obter $\arcsin(\operatorname{sen}150°)$, primeiro calculamos $\operatorname{sen}150°=1/2$. A saída principal é $30°$, e não $150°$.
No dia a dia
- Quando a cabine chega lá? Perguntar em que momento a cabine de uma roda-gigante atinge certa altura é resolver uma equação em seno.
- Marés. Os horários de maré cheia e de maré baixa saem de equações trigonométricas, e se repetem com período de cerca de 12 h 25 min.
- Luz do dia. Os dias do ano com exatamente 12 h de claridade (os equinócios) são as soluções de uma equação periódica.
Exercícios
Tente resolver no caderno antes de abrir a resolução. Os exercícios 1 e 2 são de entrada; 3 e 4, de prática; 5 e 6, de aprofundamento.
1. Resolva $\cos x=1/2$ em $[0°,360°)$.
Ver resolução 1
$60°$ e $300°$, pois são os dois pontos de coordenada horizontal $1/2$.
2. Resolva $\tan x=-1$ em $[0°,360°)$.
Ver resolução 2
$135°$ e $315°$, que diferem por $180°$.
3. Dê todas as soluções reais de $\operatorname{sen} x=0$ em radianos.
Ver resolução 3
$x=k\pi$, com $k$ inteiro. São os pontos dos dois extremos do eixo horizontal.
4. Resolva $\operatorname{sen}(2x)=0$ em $[0°,360°)$.
Ver resolução 4
$2x=180°k$, então $x=90°k$. No intervalo: $0°$, $90°$, $180°$ e $270°$.
5. Calcule $\arccos(-1/2)$ em graus.
Ver resolução 5
$120°$, que está na faixa principal $[0°,180°]$.
6. Resolva $2\cos^2x-1=0$ em $[0°,360°)$.
Ver resolução 6
$\cos^2x=1/2$, logo $\cos x=\pm\sqrt2/2$. Soluções: $45°$, $135°$, $225°$ e $315°$.