Euler's Eyes
2026-10-19
第四维：画出看不见的东西
本章所有的图都有一个优势：所表示的对象总能以某种方式放到纸上。但数学谈论四维、十维甚至一百万维的空间时，毫不费力。代数没有任何困难：四维空间中的一个点，只是四个数的一张清单 $(x,y,z,w)$。然而眼睛生活在三维里。怎样画出看不见的东西？
平面国
1884 年，伦敦一所学校的校长埃德温·艾勃特以一个正方形为笔名，出版了一部名为《平面国》的小说。叙述者是一个生活在二维世界里的正方形，那里住着三角形、正方形、五边形和圆。居民们只能看见线段：从侧面看，每个多边形都是一条线。
有一天，一个球来到平面国。正方形看见一个点出现，长成一个圆，又缩小、消失：那是球穿过平面时的一个个截面。他无法理解球是什么，直到他被带离平面，从上方看见自己的世界。回去之后，他试图谈论第三维，结果因异端罪被关进了监狱。
艾勃特的教训是一种方法：用类比推理。我们就是面对球的那个正方形。一个穿过我们空间的四维物体，会显现为一连串先长大后缩小的三维截面。我们无法看见它的全貌，但可以问：比它低一维的居民会怎样看见它？
不用看也能数
用数字，类比更有效。看看各个维度中的“立方体”序列：
| 维数 | 对象 | 顶点 | 棱 |
|---|---|---|---|
| 0 | 点 | 1 | 0 |
| 1 | 线段 | 2 | 1 |
| 2 | 正方形 | 4 | 4 |
| 3 | 立方体 | 8 | 12 |
| 4 | 超立方体 | 16 | 32 |
要从一个维度到下一个维度，就把对象复制一份，把每个顶点与它的副本连起来。顶点数加倍：$2^n$。棱数是原来的棱、副本的棱和新的连线：$2E+V$。从立方体到超立方体：$2\cdot12+8=32$。没有人看见过超立方体的 32 条棱，但这个计数是确定的。记号和推理到达了眼睛到不了的地方。超立方体的另一个名字四维立方体（tesseract），是英国数学家查尔斯·霍华德·辛顿在 1888 年创造的。
超立方体的影子
能画出来的是影子。立方体在纸上的影子是两个顶点相连的正方形。超立方体在我们空间里的影子是两个立方体，顶点相连，一个套在另一个里面。而这个影子在纸上的影子，就是下面这张图。
让超立方体在 $xw$ 平面上旋转。这个平面混合了我们空间的一个方向和第四个方向，对我们来说并不存在。结果看起来不可思议：里面的立方体变大，外面的变小，两者互相穿过、交换位置。对平面国的居民来说，一个转出平面的立方体同样会像是在里外翻转。这张图展示的不是超立方体本身，而是我们用现有的眼睛能知道的关于它的东西。
练习：五维立方体
五维立方体有多少个顶点和多少条棱？
顶点：$2^5=32$。棱：超立方体的棱算两次，再加上每个顶点一条连线：$2\cdot32+16=80$。一般地，$n$ 维立方体有 $n\cdot2^{n-1}$ 条棱：$n=5$ 时，$5\cdot16=80$。
练习：平面国里的球
一个半径为 $5$ 的球穿过平面国。当球心离平面 $3$ 个单位时，正方形看到的圆半径是多少？
由勾股定理，截面的半径是 $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。球心在平面上时，半径是 $5$；离平面 $5$ 个单位时，截面变成一个点。正方形看见一个半径从 $0$ 长到 $5$ 又回到 $0$ 的圆。