ラテックス

三角比と直角三角形の解き方

角度がサイドの役割を選ぶ直角三角形の鋭角$\alpha$を選択します。それに関連して、一方は反対であり、もう一方は隣接しています。角度を変えると、これらの役割が逆転します。斜辺は変わりません。 2 つの三角形が同じ鋭角であれば、それらは相似です。したがって、対応する辺間の比率は等しいです。 $$\sin\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},\quad \tan\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}.$$最初の商を二番目の商で割ると、$\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ が得られます。鋭角は相補的なので、$\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha$も同様です。 5種類のデータ斜辺を$a$、$\alpha$の反対側を$b$、隣接する側を$c$とします。既知のデータ完了方法斜辺$a$と角度$\alpha$ $b=a\sin\alpha$, $c=a\cos\alpha$ 反対側の足$b$と角度$\alpha$ $a=b/\sin\alpha$, $c=b/\tan\alpha$ 隣接する辺$c$と角度$\alpha$ $a=c/\cos\alpha$, $b=c\tan\alpha$ 斜辺 $a$ と脚 $b

October 22, 2026 読んだ

ピタゴラス、高さと直角三角形の投影

各セグメントに名前を付けます直角三角形では、直角の反対側が斜辺となります。彼女を$a$、男の子たちを$b,c$と呼んでください。他の角度は鋭角であり、合計は $90°$ になります。斜辺までの高さ$h$を描きます。 $a$ を 2 つの投影に分割します。$m$ は辺 $b$ に関連付けられ、$n$ は辺 $c$ に関連付けられます。したがって、$m+n=a$。類似性による実証 2 つの小さな三角形は、元の三角形と同じ直角と鋭角を持っています。彼らは彼に似ています。対応する辺を比較: $$\frac b a=\frac m b\Rightarrow b^2=am,\qquad \frac c a=\frac n c\Rightarrow c^2=an.$$2 つの等式を追加し、$m+n=a$ を使用すると、次のようになります。 $$b^2+c^2=a(m+n)=a^2.$$私たちはピタゴラスの定理を手に入れました。これは、特定の測定例に依存することなく、類似する側面間の関係から推定されました。 2つのパスによる高さ面積は、脚または斜辺とその高さによって計算できます。 $$\frac{bc}{2}=\frac{ah}{2}\Rightarrow ah=bc.$$$b^2=am$ と $c^2=an$ を二乗して代入します。 $$h^2=\frac{b^2c^2}{a^2}=\frac{am\cdot an}{a^2}=mn.$$したがって、$h=\sqrt{mn}$となります。これらの対策はすべて前向きです。中央値から斜辺まで斜辺の中点 M は 3 つの頂点から同じ距離にあります。その理由を確認するには、三角形が長方形になるまで完成させてください。長方形の対角線は等しく、半分に切ります。各半分のサイズは $a/2$ です。したがって、M に対して直角から引いた中央値は $a/2$ になります。これは、中心 M、半径 $a/2$ の円が 3 つの頂点を通過していることも示しています。作業例脚6cm、8cm、$a=\sqrt{36+64}=10$cmの場合。それから： $$h=\frac{6\cdot8}{10}=4{,}8\text{ cm},$$ $$m=\frac{6^2}{10}=3{,}6\text{ cm},\qquad n=\frac{8^2}{10}=6{,}4\text{ cm}.$$投影の合計は 10 cm、中央値は 5 cm であり、関係が確認されます。

October 22, 2026 読んだ

30、45、60度の値のデモンストレーション

2 つの絵が暗記に代わる鋭角の三角比は次のとおりです。 $$\sin\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},$$ $$\tan\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.$$ピタゴラスを使用すると、いくつかの角度について正確に計算できます。定理の証明については、このトラックの計量関係クラスを参照してください。 45 度の三角形辺が1の正方形の対角線は、2つの直角二等辺三角形に分割します。鋭角は等しく、合計は $90°$ になります。それぞれ$45°$を測定します。ピタゴラスの定理によれば、対角線の長さは $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ です。ロゴ： $$\sin45°=\cos45°=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad\tan45°=1.$$30 度および 60 度の三角形 1辺の高さ正三角形2をプロットします。底辺を長さ 1 の 2 つの部分に分割し、頂角を長さ $30°$ の 2 つの部分に分割します。高さ$h$は$h^2+1^2=2^2$を満たし、次に$h=\sqrt3$を満たします。反対側および隣接する脚を読み取る: 角度正弦余弦正接 $30°$ $1/2$ $\sqrt3/2$ $\sqrt3/3$ $45°$ $\sqrt2/2$ $\sqrt2/2$ $1$ $60°$ $\sqrt3/2$ $1/2$ $\sqrt3$ $30°$ と $60°$ では、猫が役割を交代します。これは、一方のサインが他方のコサインと一致する理由を説明します。正確な値と近似値 $\sqrt3/2$ は正確な値です。小数点$0{,}866$は近似値です。計算中は根号を維持し、測定値を解釈する必要がある場合にのみ丸めます。日常生活での応用正方形。学校の正方形には $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$ の角度があります。屋根。 $30^\circ$ と $45^\circ$ の屋根は共通です。半幅が 4 m で、$45^\circ$ の屋根は 4 m 上がります。蜂の巣ミツバチは、内三角形が等辺で角度が $60^\circ$ の六角形を作ります。ケースとツールボックスの注目すべき角度は、2 つのスクールスクエアと正六角形の六角ナットです。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ

内接多角形と中心半角の正弦

2 本のスポーク間のロープ半径$R$の円に辺が$n\ge3$の正多角形を内接します。隣接する 2 つの頂点を中心 O に接続します。形成される三角形は、多角形の $R$ に等しい 2 つの辺と、辺 $\ell$ に等しい底辺を持ちます。 $n$ 個の等しい中心角で 1 回転が完了します。それぞれ$360°/n$を測定します。この三角形の高さを O から描きます。対称にするために、底辺と中心角を半分にカットします。サインとの関係のデモンストレーション半分の 1 つに直角三角形が表示されます。 Oの角度は$180°/n$、斜辺は$R$、反対側は$\ell/2$です。鋭角の正弦を斜辺に対する反対側の比率として定義します。したがって： $$\sin\frac{180°}{n}=\frac{\ell/2}{R}=\frac{\ell}{2R}.$$絶縁側の長さ: $$\ell=2R\sin\frac{180°}{n}.$$半径1の円周上では、関係は$\sin(180°/n)=\ell/2$に減少します。高校では、同じ角度の単位を $\pi/n$ ラジアンと書きます。六角形への応用正六角形は半径によって 6 つの正三角形に分割できます。それぞれの中心角は $360°/6=60°$ になります。したがって、六角形の辺は $R$ になります。 $n=6$ と $\ell=R$ を置き換えます: $$\sin30°=\frac{R}{2R}=\frac12.$$サインには単位がありません。同じ単位で測定された長さの比率です。半径を 2 倍にすると辺も 2 倍になりますが、商は変わりません。日常生活での応用六角ナットネジの頭が正六角形で、ネジの頭部分が正六角形になっています。中央の半角正弦は側面を半径に接続します。 STOP 標識。標識は正八角形で、中心角が $45^\circ$ 8 つあります。スポークホイール。自転車の車輪では、隣り合う 2 つのスポークの端の間の距離が弦となり、半角の正弦で計算されます。日常のポリゴン: 8 辺、STOP 標識。 6は六角ナットです。文字列は$2r\operatorname{sen}\frac{\theta}{2}$です。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ

度、分、秒での角度の測定

スピンを比較するユニットターンを360 等分することで次数が定義されます。 1 回転すると $360°$ になります。半回転、$180°$;部屋、$90°$。 $0°$ と $90°$ の間の角度は鋭角です。 $90°$ と $180°$ の間、鈍角。円上では、円弧の度単位の測定値が、対応する中心角の測定値となります。同じ端点を持つ 2 つの円弧を区別するには、どちらが測定されているかを示します。学位の小さな部分度には 60 秒角があり、各分には 60 秒角があります。 $$1°=60',\qquad1'=60'',\qquad1°=3600''.$$これらの単位は角度を測定します。名前は角度を時間を測定するものではありません。 $27°18'$ を 10 進度に変換するには: $$27°18'=\left(27+\frac{18}{60}\right)°=27{,}3°.$$逆に、$42{,}25°$ では、$0{,}25°$ の部分が $0{,}25\cdot60=15'$ に対応します。したがって、$42{,}25°=42°15'$。デモ: なぜ再編成する必要があるのでしょうか? 同じタイプのユニットを追加すると、次のようになります。 $$18°45'+7°30'=25°75'.$$$75'=60'+15'=1°15'$ と同様に、分が 60 より小さい形式は次のとおりです。 $$25°75'=26°15'.$$変換により、合計の測定値が維持されたまま、合計の一部の単位が変更されます。減算する場合は、その逆、$30°=29°60'$ を行うことができます。補完的かつ補足的 2 つの角度を合計すると $90°$ になると相補し、合計すると $180°$ になると相補となります。 $34°$ の補数は $56°$ です。補足は$146°$です。これらの関係は、直角三角形の 2 つの鋭角と三角関数のサイクルの対称性を研究すると再び現れます。日常生活での応用座標。緯度と経度は度、分、秒で表示されます。サンパウロは$23^\circ 33'$ Sの近くにあります。海里。緯度 1 分は約 1852 m に相当し、船や飛行機が使用する海里です。 1秒、約31メートル。携帯電話の GPS。アプリケーションでは、座標も 10 進数で表示されます: $23{,}55^\circ = 23^\circ 33'$。緯度は度、分、秒で表示され、赤道までの距離は海里でカウントされます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ

円弧、弦、光線、角度

図面から始めます円上の別の点 A と B をマークします。それを 2 つの円弧に分割し、どちらも A と B を含みます。弦 AB は点間の直線部分です。円弧はセグメントではありません。両端が一致する場合、点まで縮小されたヌル円弧と、全周をカバーするターンの円弧が区別されます。この区別は、最終的な位置と実行されたターンを比較するときに重要になります。角度とは何ですか? セミストレートは原点があり、一方向に無限に進みます。原点 O を持つ 2 本の光線は、平面の 2 つの角度領域を決定します。最小の絞りを使用するときは、これを示す必要があります。反対側の開口部も存在します。光線が反対の場合、各領域は $180°$ の浅い角度に対応します。それらが一致する場合、$0°$ のヌル角度、または $360°$ のターンのヌル角度を考慮できます。同じ開口部、異なるアーチ同じ中心を持つ 2 つの円を描きます。1 つは半径 2 cm、もう 1 つは半径 4 cm です。中央を残した 2 本の半直線は両方とも円弧を描きます。中心角は同じですが、大きい方の円の弧の長さは 2 倍になります。半径間の比率は次のとおりです。 $$\frac42=2.$$係数 2 を拡大すると、すべての長さが 2 倍になり、角度が維持されます。したがって、円弧の角度の測定値とその長さは異なる情報です。作業例 2 本の光線が 4 分の 1 回転を区切ります。中心角の測定値は次のとおりです。 $$\alpha=\frac{360°}{4}=90°.$$この中心を持つ円上では、選択した円弧が円の 4 分の 1 を占めます。円弧の長さは半径に応じて変化しますが、角度の測定値は $90°$ です。日常生活での応用建築。古いドアや窓の上のアーチは円弧です。それを横切る真っ直ぐな梁はロープです。コンパスコンパスの開口部は角度であり、コンパスが描く線は円弧です。ファン。ファンの羽根は軸の周りに等しい角度になっています。つまり、羽根の間に $120^\circ$ の 3 枚の羽根があります。アーチ型の窓：上部が円形のアーチで、それを横切る梁がロープになっています。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ

形を変えずに成長する三角形

漫画で描かれたランプメッシュ上で、右に 3 コミック、上に 4 コミックのパスを描きます。始まりと終わりをセグメントで結びます。角がまっすぐな三角形、つまり直角三角形ができました。次に、すべての長さを折りたたんでコピーを作成します。水平パスには 6 個のコミックが含まれます。縦、8。長さは変わりましたが、コーナーの開口部は同じままでした。 $$3\cdot2=6,\qquad4\cdot2=8.$$なぜ片方だけを曲げると形が変わるのでしょうか？ 2 つのコピーを比較します。最初のコピーでは、水平方向と垂直方向のパスを折ります。 2番目では、水平方向のみを折ります。 2 番目のコピーでは、ランプはより寝かせられています。形を変えずに成長するには、全方向に同じ割合で拡大する必要があります。この経験は、基礎 II で実証するアイデアを準備します。つまり、同じ角度を持つ三角形には対応する比例辺があります。折り目の等しい 2 つの辺正方形を対角線に折ります。直線コーナーの両側は曲げる前も同じ長さであり、同じ長さのままです。 2 つの小さな角も同じです。この図は、2 つの等しい辺を持つ直角三角形のモデルです。これらの辺の一方の寸法が 5 cm である場合、もう一方の辺の寸法も 5 cm になります。 $$a=b=5\text{ cm}.$$文字は測定値の単なる名前です。対角線は別の側面です。上記の等式は、それがどの程度の量であるかを示していません。日常生活での応用拡大コピー。コピー機で図を拡大すると、すべての辺が同じ比率で拡大されます。形状は変わりません。地図。地図は場所の縮小コピーです。したがって、通りの間の角度は、都市の地図上の角度と同じになります。モデル。建築家は、すべての寸法を同じ数値で割って、屋根の傾斜が同じになるようにモデルを作成します。拡大されたコピーコピーはすべての面が曲がりますが、角度は維持されます。つまり、コピーのランプはオリジナルと同じ傾斜を持ちます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ

ホイール上のコーナー、スポーク、およびパス

同じ点間の 2 つのパス車輪を描いてその上にAとBの2点を印し、それを直線で結ぶとロープになります。ホイールの端に沿って A から B まで進みます。円弧をカバーしたことになります。エッジの周囲には 2 つのパスが考えられます。どちらを使用しているかを示してください。中心はホイールの中央にある点です。中心から端までの線分が半径です。同じホイールのスポークはすべて同じ長さです。僕らが持ち運べる歌シートを半分に折り、最初の折り目と直角にもう一つ折ります。形成されたコーナーは直角モデルで、寸法は$90°$です。この角をドア、テーブル、図面に対して配置します。どの開口部がそれと同じですか? 2 つの隣接する直角は半回転を形成します。 $$90°+90°=180°.$$4 人が 1 周を完了します。 $$90°+90°+90°+90°=360°.$$腕の長さによって歌が変わらないのはなぜですか? 同じ点から出ている 2 本の矢印を描きます。 2 つの矢印の方向を変えずに伸ばします。オープニングはそのままです。したがって、角度は腕のデザインのサイズではなく、方向によって決まります。ホイールが大きいほど、同じスピンでも円弧が長くなる場合があります。 $90°$ のコーナーは同じままです。彼は大きなホイールの 4 分の 1 を占め、小さなホイールの 4 分の 1 も占めています。日常生活での応用ドア。開いたドアは壁と角を形成します。開口部は、小さなクローゼットのドアと大きなリビングルームのドアで同じです。ピザ。ピザが大きくても小さくても、均等に切られたピザはすべて中央に同じ角があります。はさみ。はさみを開くと、サイズではなく、刃の間の角が多少なりとも変化します。スライスの数を変更します。各スライスの角は、ピザのサイズではなく、スライスの数によってのみ決まります。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。試してみてください 2 本の鉛筆を角度のアームとして使用します。端を合わせておきます。鉛筆を多少開いて、ページの隅と比較してください。各開口部を直角以下、直角以上、または直角以上として説明します。決意を持って練習する 1. ホイールの半径は 3 cm です。同じホイールの別のスポークの長さはどれくらいですか? 解像度確認1こちらも3cm。半径が等しいことは、円周の定義の一部です。 2. 2 点間のエッジパスと直線パスには同じ名前が付けられていますか?

October 21, 2026 読んだ

全回転、半回転、および 4 分の 1 回転

体を使って回転してみよう壁を見てください。後ろの壁が見えるまで回転するとU ターンになります。さらに半回転するとスタートに戻ります。次に、同じスピンを 4 つの等しい部分に分けて実行してみます。各パートは4 分の 1 回転です。ラップはいくつかの方法で分割できます。 2 つのハーフと 4 つのクォーターが同じラップを完了します。 $$\frac12+\frac12=1,\qquad \frac14+\frac14+\frac14+\frac14=1.$$ここで、数字 1 は 1 回転を表します。私たちは足が移動する経路の長さを測定しているのではなく、方向の回転を測定しています。なぜ4分の2が半分になるのでしょうか？円を描いて4等分に折ります。隣接する 2 つのパーツをペイントします。ペイントされた領域はディスクの半分を占めます。それが理由です： $$\frac14+\frac14=\frac24=\frac12.$$これは配分によるデモンストレーションです。同じ部品を 4 分の 1 または 2 分の 1 に数えることができます。メジャーの名前大人はよく「ターンには $360°$ がある」と言い、「360 度」と読みます。それから： $$360°\div2=180°,\qquad360°\div4=90°.$$スピンを認識する前に数字を覚える必要はありません。 1回転半、4分の1回転してください。その後のみ、名前を測定値に関連付けます。日常生活での応用団結命令学校でも軍隊でも「振り向いて、振り向いて！」。彼は半回転して、「右、曲がって！」と 4 分の 1 回転と言います。ハンドルとタップ蛇口を「4 分の 1 回転」開くか、ハンドルを「半回転」回すと回転の測定となります。時計。 15 分で大きな針が 4 分の 1 回転します。 30 分で半回転します。時計では、15分が大針の4分の1回転、30分が半回転となります。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。活動ディスク上に矢印のマーカーを作成します。一番上の位置からスタートして、一度に 4 分の 1 回転ずつ進みます。スタート地点に戻る前に、4 つの方向を訪れます。各段階で、どれだけ回転したかを言います: 1/4、2/4、3/4、1 回転です。

October 21, 2026 読んだ

三角形を解決し、曖昧なケースについて議論する

どのようなデータが三角形を決定するのでしょうか? 三角形を解くには、十分なデータからその辺と角度を取得します。常に、$a,b,c$ の反対側に $A,B,C$ という規則を使用してください。非縮退三角形は、0 と $\pi$ の間に正の辺と角度があります。 1 つの側面と 2 つの角度 $a,B,C$がわかったら、$A=\pi-B-C$を計算します。 $B+C<\pi$は必須です。正弦の法則は次のようになります。 $$b=\frac{a\sin B}{\sin A},\qquad c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$データは三角形、マイナスの位置、反射を決定します。 2 つの辺とそれらの間の角度 $b,c,A$ と $0

October 21, 2026 読んだ

高さ、サギ、中央値、角の二等分線、および半径

側面から特別な寸法を取得します辺 $a,b,c$、面積 $K$、半周 $s=(a+b+c)/2$ を考えてみましょう。縮退していない三角形、つまり正の辺があり、各辺が他の 2 つの合計より小さいことが必要です。ヘロンの公式を実証する余弦の法則より、$\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$。 $K=bc\sin A/2$ では、$\sin^2A=1-\cos^2A$ を使用します。 $$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$面積は正であるため、次のようになります。 $$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$ハイツ $K=ah_a/2=bh_b/2=ch_c/2$として: $$h_a=\frac{2K}{a},\qquad h_b=\frac{2K}{b},\qquad h_c=\frac{2K}{c}.$$Heron の式を代入すると、各高さが側面のみの関数として得られます。 $h_a=b\sin C=c\sin B$ とその順列も有効です。中央値中央値 $m_a$ は、A と BC の中点を接続します。 $(-a/2,0)$と$(a/2,0)$に基端を配置し、$(u,v)$にAを配置します。端点に二乗距離を追加すると、次のようになります。 $$b^2+c^2=2(u^2+v^2)+\frac{a^2}{2}.$$$m_a^2=u^2+v^2$ として、次の結果が得られます。 $$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$インデックスを入れ替えると $m_b$ と $m_c$ になります。角の二等分線内部 A の角の二等分線は D の BC と出会い、角度を 2 等分します。 ABD と ACD の面積は、直線 BC に対して同じ高さを持ち、$A/2$ の正弦を使用して計算できるため、比率は $c:b$ になります。ロゴ： $$BD=\frac{ac}{b+c},\qquad DC=\frac{ab}{b+c}.$$角の二等分線 $t_a=AD$ の辺によって計算される面積の合計は次のようになります。

October 21, 2026 読んだ

サイン、コサイン、射影、面積の法則

表記を修正非縮退三角形では、角度 $A,B,C$ はそれぞれ辺 $a,b,c$ の反対側になります。すべての面がプラスで $A+B+C=\pi$ です。余弦の法則のデモンストレーション頂点 A を原点に、B を $(c,0)$ に、C を $(b\cos A,b\sin A)$ に配置します。 BとCの間の距離は$a$です。ピタゴラスの定理を座標の差に適用すると、次のようになります。 $$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$この議論は鈍角にも当てはまります。 $A=\pi/2$ の場合、コサイン項はゼロとなり、ピタゴラスが再び見つかります。文字を並べ替えると、他の 2 つのコサイン法則が得られます。正弦の法則の領域とデモンストレーション足がベース延長部分に落ちた場合でも、$c$ に対する高さは $b\sin A$ になります。エリア$K$は次のとおりです。 $$K=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}.$$3 つの式を等しくして $abc/2>0$ で割ると、次のようになります。 $$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}.$$外接円の半径を$R$とすると、内接角$A$をなす弦は$a=2R\sin A$を満たす。高い $A$ の場合、これは文字列と 2 つの半径によって形成される三角形を半分に分割することによって得られます。 $A$ 鈍角の場合は、同じ正弦の補足を使用してください。ストレートの場合、弦は直径です。したがって： $$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,$$ $$K=\frac{abc}{4R}.$$射影関係片側方向に関する変位は、符号付きで合計されます。辺 $c$ と $b$ を $a$ の直線に投影する:

October 21, 2026 読んだ