どのようなデータが三角形を決定するのでしょうか?

三角形を解くには、十分なデータからその辺と角度を取得します。常に、$a,b,c$ の反対側に $A,B,C$ という規則を使用してください。非縮退三角形は、0 と $\pi$ の間に正の辺と角度があります。

1 つの側面と 2 つの角度

$a,B,C$がわかったら、$A=\pi-B-C$を計算します。 $B+C<\pi$は必須です。正弦の法則は次のようになります。

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A},\qquad c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$

データは三角形、マイナスの位置、反射を決定します。

2 つの辺とそれらの間の角度

$b,c,A$ と $0 $$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}.$$

次に、例えば$B$を余弦定理で求めて$C=\pi-A-B$とします。角度に逆余弦を使用すると、同じ正弦の 2 つの角度のどちらかを選択する必要がなくなります。

三面

まず$a $$A=\arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$$

たとえば、辺 3、4、および 5 は、辺 5 の反対側の直角を決定します。

2つの側面と角度がわかりません

$a,b,A$ を知ると、正弦の法則は次のことを必要とします。

$$\sin B=q,\qquad q=\frac{b\sin A}{a}.$$

$q>1$の場合は解決策がありません。 $q=1$の場合、候補は$B=\pi/2$のみとなります。 $0 $$B_1=\arcsin q,\qquad B_2=\pi-B_1.$$

各候補は $A+B_i<\pi$ の場合にのみ受け入れられます。それぞれ $C_i=\pi-A-B_i$ と $c_i=a\sin C_i/\sin A$ が受け入れられます。正の三角フィルターは必須です。

完全な幾何学的分類

$0

データ 三角形の数
$a 0
$a=h$ 1、$B=\pi/2$付き
$h 2
$a\ge b$ 1

$\pi/2\le A<\pi$の場合、$a>b$の場合は解があり、$a\le b$の場合は解がありません。直角または鈍角の反対側の辺は、指定された 2 つの辺のうち大きい方でなければなりません。

答えが 2 つあるケース

$A=30°$、$a=5$、$b=8$には$h=4<5<8$があります。方程式は $\sin B=4/5$ となります。候補はおよそ$53{,}13°$と$126{,}87°$です。両方を合計すると、$180°$ 未満の $A$ になります。

3 番目の角度はおよそ $96{,}87°$ と $23{,}13°$ です。データを満たす 2 つの異なる三角形があります。メイン逆正弦のみを返す計算機は、それ自体で議論全体を解決することはできません。

日常生活での応用

  • 川の幅 一方の岸に基準を置き、反対側の岸までの距離を知るには 2 つの角度で十分です。
  • 航空。 地面に対する速度と横風時の飛行機の進路の偏差は、三角形の解像度から得られます。
  • 複数の答え。 法医学や航海では曖昧なケースが発生します。つまり、2 つの側面と理解されていない角度があるため、考えられる位置が 2 つある可能性があり、決定するには別の測定が必要です。
1 つの側面と 2 つの角度で十分です。川を渡らずに川の幅を確保できます。

決意を持って練習する

1. $A=30°$、$a=4$、$b=10$ の場合、三角形はありますか?

解像度確認1

いいえ、$\sin B=10\cdot(1/2)/4=5/4>1$ が必要です。

2. $A=120°$、$a=10$、$b=6$ の場合、三角形はいくつありますか?

解像度確認2

1 つは、A が鈍角で $a>b$ であるためです。計算すると、$q=3\sqrt3/10$; $B_1=\arcsin q$ だけで $C>0$ が残ります。

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