Euler's Eyes
2026-10-22
三角比と直角三角形の解き方
角度がサイドの役割を選ぶ
直角三角形の鋭角$\alpha$を選択します。それに関連して、一方は反対であり、もう一方は隣接しています。角度を変えると、これらの役割が逆転します。斜辺は変わりません。
2 つの三角形が同じ鋭角であれば、それらは相似です。したがって、対応する辺間の比率は等しいです。
$$\sin\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},\quad \tan\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}.$$最初の商を二番目の商で割ると、$\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ が得られます。鋭角は相補的なので、$\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha$も同様です。
5種類のデータ
斜辺を$a$、$\alpha$の反対側を$b$、隣接する側を$c$とします。
| 既知のデータ | 完了方法 |
|---|---|
| 斜辺$a$と角度$\alpha$ | $b=a\sin\alpha$, $c=a\cos\alpha$ |
| 反対側の足$b$と角度$\alpha$ | $a=b/\sin\alpha$, $c=b/\tan\alpha$ |
| 隣接する辺$c$と角度$\alpha$ | $a=c/\cos\alpha$, $b=c\tan\alpha$ |
斜辺 $a$ と脚 $b| $c=\sqrt{a^2-b^2}$、次に $\sin\alpha=b/a$ |
|
| カテトス $b,c$ | $a=\sqrt{b^2+c^2}$、次に $\tan\alpha=b/c$ |
最後の 2 つのケースでは、度単位の表または計算機が角度を取得するのに役立ちます。もう 1 つの高音は $90°-\alpha$ の価値があります。逆関数は高校で勉強します。
加工例：はしご
5 m の梯子は $60°$ を地面にします。壁からの高さは反対側です。
$$h=5\sin60°=\frac{5\sqrt3}{2}\text{ m}.$$ベースから壁までの距離は、隣接する脚です。
$$d=5\cos60°=\frac52=2{,}5\text{ m}.$$ピタゴラスによるチェック、$h^2+d^2=75/4+25/4=25=5^2$。
観察された高さでの適用
目から木までの高さを測定すると、目と頂上の差が計算されます。目の高さを加算して、木の合計の高さを取得します。水平距離と角度は同じ三角形を参照する必要があります。
日常生活での応用
- 携帯電話で高さを測定します。 アプリケーションが建物の頂上までの角度を測定し、接線によって距離が高さに変換されます。
- スロープ アクセシビリティ基準によりスロープの勾配が制限され、三角比によって必要な長さが決まります。
- 消防士のはしご。 はしごの角度の正弦は、どれくらいの高さに到達するかを示します。
決意を持って練習する
1. 太陽の高度が $45°$ のとき、街灯は 6 m の影を落とします。あなたの身長は？
解像度確認1
$h=6\tan45°=6$ m、垂直極と水平地形を想定。
2. 13 m のはしごは垂直の壁では 12 m の高さに達します。その根元は壁からどれくらい離れていますか？
解像度確認2
$d=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$ m.
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