ピタゴラス、高さと直角三角形の投影

各セグメントに名前を付けます

直角三角形では、直角の反対側が斜辺となります。彼女を$a$、男の子たちを$b,c$と呼んでください。他の角度は鋭角であり、合計は $90°$ になります。

斜辺までの高さ$h$を描きます。 $a$ を 2 つの投影に分割します。$m$ は辺 $b$ に関連付けられ、$n$ は辺 $c$ に関連付けられます。したがって、$m+n=a$。

2 つの小さな三角形は、元の三角形と同じ直角と鋭角を持っています。彼らは彼に似ています。対応する辺を比較:

$$\frac b a=\frac m b\Rightarrow b^2=am,\qquad \frac c a=\frac n c\Rightarrow c^2=an.$$

2 つの等式を追加し、$m+n=a$ を使用すると、次のようになります。

$$b^2+c^2=a(m+n)=a^2.$$

私たちはピタゴラスの定理を手に入れました。これは、特定の測定例に依存することなく、類似する側面間の関係から推定されました。

面積は、脚または斜辺とその高さによって計算できます。

$$\frac{bc}{2}=\frac{ah}{2}\Rightarrow ah=bc.$$

$b^2=am$ と $c^2=an$ を二乗して代入します。

$$h^2=\frac{b^2c^2}{a^2}=\frac{am\cdot an}{a^2}=mn.$$

したがって、$h=\sqrt{mn}$となります。これらの対策はすべて前向きです。

斜辺の中点 M は 3 つの頂点から同じ距離にあります。その理由を確認するには、三角形が長方形になるまで完成させてください。長方形の対角線は等しく、半分に切ります。各半分のサイズは $a/2$ です。

したがって、M に対して直角から引いた中央値は $a/2$ になります。これは、中心 M、半径 $a/2$ の円が 3 つの頂点を通過していることも示しています。

脚6cm、8cm、$a=\sqrt{36+64}=10$cmの場合。それから：

$$h=\frac{6\cdot8}{10}=4{,}8\text{ cm},$$

$$m=\frac{6^2}{10}=3{,}6\text{ cm},\qquad n=\frac{8^2}{10}=6{,}4\text{ cm}.$$

投影の合計は 10 cm、中央値は 5 cm であり、関係が確認されます。

レンガ職人の広場: 一方の壁は 3 m、もう一方の壁は 4 m。対角線が 5 m の場合、$3^2 + 4^2 = 5^2$ なので角は直線になります。

1. 高さは斜辺を 4 cm と 9 cm に分割します。斜辺と高さを計算します。

解像度確認1

$a=4+9=13$cmと$h=\sqrt{4\cdot9}=6$cm。

2. 斜辺の長さは 26 cm です。直角から始まる中央線の長さはどれくらいですか?

解像度確認2

斜辺の半分: $26/2=13$ cm。

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