多項式 | Euler's Eyes

ITA 2026 – 第2次試験：数学の解説

出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2026 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は記述式の公式解答を公表していない（第2次試験の公式正答はポルトガル語の選択式問題だけ）。以下の解答は筆者によるもので、各答えは別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。答え一覧問題内容答え 01 八面体の中の格子点 231 02 三角行列のべき $n = 15$ 03 平行四辺形と内接円 30 04 的の赤い部分の面積 $\pi(\alpha^2 + 32\alpha + 528)$ 05 大きな球の中の4つの球 $\frac{22 + 9\sqrt{6}}{16}$ 06 三角行列（問題文が矛盾）解説を参照 07 4次多項式と割り算の余り $-1$、$\frac{1}{2}$、$1 \pm 2i$ 08 和が100の増加する3数 784 09 1点から双曲線へ引いた接線 $y = \pm 2\sqrt{6}\,x - 8$；$(\pm\sqrt{6}, 4)$ 10 交わる2円と共通部分の面積半径 $2\sqrt{3}$ と $6$；面積 $10\pi - 12\sqrt{3}$ 問題 01：八面体の中の格子点問題文原点を中心とし、3つの頂点が $(5, 0, 0)$、$(0, 5, 0)$、$(0, 0, 5)$ にある正八面体を考える。この立体の内部と表面にある点のうち、座標がすべて整数のものはいくつあるか。

October 28, 2026 読んだ

ITA 2026 – 第1次試験：数学の解説

出典： ITA ――第1次試験の問題と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2026 の第1次試験は選択式48問で、数学12問、物理12問、化学12問、英語12問であった。本稿では数学の問題を、試験と同じ1番から12番の番号で扱う。試験の記法。 $i^2 = -1$；$\bar{z}$ は $z$ の共役；$]a, b[$ は開区間 $a < x < b$。正答一覧問題内容正答 1 複素数：絶対値と偏角 D 2 対数：近似値を使った連立方程式 B 3 行列：対称性、等差数列、正則でないこと E 4 複素数：解がつくる多角形 C 5 平面図形：六芒星 D 6 空間の位置関係無効 7 回転行列 A 8 多項式：点に関する対称性 B 9 放物線、接線、面積 D 10 三角関数の連立方程式 E 11 全単射の数え上げ A 12 半径が等比数列をなす接する円 B 問題 1：z − w が実数で w の偏角が π/6 問題文 $z, w \in \mathbb{C}$ が $z - w = -2\sqrt{3}$、$w \ne 0$ を満たす。$z$ の絶対値が $2\sqrt{3}$、$w$ の偏角が $\pi/6$ のとき、$z$ の実部は

October 28, 2026 読んだ

ITA 2025 – 第2次試験：数学の解説

出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2025 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は記述式の公式解答を公表していない（第2次試験の公式正答はポルトガル語の選択式問題だけ）。以下の解答は筆者によるもので、各答えは別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。答え一覧問題内容答え 1 $x^2 - x + 1$ で割った余り $a = -1$、$b = 3$ 2 楕円：$y/x$ の最大値 $r = \sqrt{3}$ 3 三角関数の連立方程式 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$ 4 傍接円 $15\sqrt{3}$ 5 $3^{100}$ の最高位の数字 5 6 確率：$n$ 回目に4回目の表 $n = 6$ と $n = 7$ 7 重根をもつ多項式と直角三角形 $a = \pm\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}$、$b = \mp\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ 8 行列式の和 1013 9 $A^{-1} = A^T$ を満たす整数行列 3840 10 対角線に垂直な面への立方体の射影 $4\sqrt{3}$ 問題 1：x² − x + 1 で割った余り問題文多項式 $p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りが $2x + 1$ になるような実数 $a$、$b$ を求めよ。

October 28, 2026 読んだ

ITA 2025 – 第1次試験：数学の解説

出典： ITA ――第1次試験の問題と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2025 の第1次試験は選択式48問で、数学12問、物理12問、化学12問、英語12問であった。本稿では数学の問題を、試験と同じ1番から12番の番号で扱う。試験の記法。横軸と縦軸を $O_x$、$O_y$、原点を $O$ と書く；$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$； $i^2 = -1$；$\overline{AB}$ は線分、$AB$ は $A$ と $B$ を通る直線。正答一覧問題内容正答 1 複素数：三角形 $1$、$z$、$z^2$ の面積 B 2 多面体：存在するか E 3 二項定理：定数項 C 4 関数：単射と全射 D 5 数列、等差数列と等比数列 D 6 パラメータを含む指数方程式 B 7 同値な連立一次方程式 A 8 三角関数の定義域 E 9 回転体無効 10 2つの多項式の共通の根 D 11 焦点を共有する楕円と双曲線 A 12 約数の個数 C 問題 1：頂点 1、z、z² の三角形問題文 $z = a + 2i$ を複素数とする（$a \in \mathbb{R}$ は正）。ガウス平面上で $1$、$z$、$z^2$ を表す点が面積200の三角形をつくるような $a$ の値は

October 28, 2026 読んだ

ITA 2024 – 第2次試験：数学の解説

出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2024 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は第2次試験の公式解答を公表していない。以下の解答は筆者によるもので、各答えは別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。答え一覧問題内容答え 1 等差数列と等比数列 $n = 4$ 2 橋を渡る道順（オイラー路） 32（各向きに16） 3 対数の絶対値を含む不等式 $-4 < x < -\frac14$ または $\frac14 < x < 4$ 4 正定値行列 $-1 < b < 1$ 5 $x = 1$ に関して対称な多項式 $1 \pm \sqrt{3}$ と $1 \pm i\sqrt{6}$ 6 立体の中の最長の線分 $\frac{4\sqrt{161}}{5}$ 7 $y$ 軸に接する円 $(x - 4 - \sqrt{6})^2 + (y - 3 + \sqrt{6})^2 = (4 + \sqrt{6})^2$ 8 放物線上に頂点をもつ台形 $\frac{483}{64}$ 9 複素数の根と面積 $4\sqrt{5}$ 10 半角の正接 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{5}$、$\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ 問題 1：等比数列の何項までの和が −80 か問題文 $(a_n)$ を等差数列、$(b_n)$ を等比数列とする。$(a_n)$ の公差が $r$（$r \ne 0$）、$(b_n)$ の公比が $q = 1/r$、$a_1 = b_1 = 4$ で、

October 28, 2026 読んだ

ITA 2024 – 第1次試験：数学の解説

出典： ITA ――第1次試験の問題と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2024 の第1次試験は選択式60問で、各科目12問（物理、ポルトガル語、英語、数学、化学）であった。本稿では数学の問題を、試験と同じ37番から48番の番号で扱う。試験の記法。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$A - B$ は集合 $A$ と $B$ の差；$i^2 = -1$； $M_n(\mathbb{R})$ は実数成分の $n \times n$ 行列全体；$\overline{AB}$ は線分、$AB$ は $A$ と $B$ を通る直線；$m(\overline{AB})$ は $\overline{AB}$ の長さ；$A\hat{B}C$ は頂点 $B$ の角；$\det A$ は $A$ の行列式、$A^T$ は転置行列。正答一覧問題内容正答 37 集合の演算 B 38 行列の連立方程式 E 39 逆正接と2倍角 A 40 数え上げ：鳩の巣原理 B 41 多項式：120個の多項式の根の和 D 42 等比数列をなす根 C 43 円柱と等比数列 E 44 多面体：オイラーの関係式 D 45 平面図形：四角形の面積 C 46 複素数：$a^m = b^m$ D 47 座標幾何：外角の二等分線 A 48 円を含む楕円 C 問題 37：集合の3つの等式問題文 $A, B, C \subseteq \mathbb{R}$、$C \subseteq A$ とする。次の命題を考える。

October 28, 2026 読んだ

ITA 2023 – 第2次試験：数学の解説

出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2023 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は第2次試験の公式解答を公表していない。以下の解答は筆者によるもので、各答えは別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。答え一覧問題内容答え 1 同次連立一次方程式 $b = 2a$；$\{(-15t, -16t, 17t) : t \in \mathbb{R}\}$ 2 行列：$M$ が正則になるとき $\alpha \notin \{0, 2, 3 - \sqrt{15}, 3 + \sqrt{15}\}$ 3 底に変数を含む対数不等式 $]-2, 0[$ 4 多項式の割り算と根 $q = x^6 + x^5 - x - 1$、$r = 0$；根は $\operatorname{cis}\frac{\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{3\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{7\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{9\pi}{5}$ 5 三角法：和を積に $\sin(\alpha - \beta) = \frac{2AB}{A^2 + B^2}$ 6 内接円の半径 $\frac{6\sqrt{7} - 3\sqrt{3}}{10}$ 7 楕円：焦点への2線分が 60° をなす点 $\left(\pm\frac{4\sqrt{2}}{3}, \pm\frac{1}{3}\right)$ 8 正円柱と球 $400\pi$ cm² と $\frac{4000\pi}{3}$ cm³ 9 正弦定理：三角形の辺 $6 + \sqrt{11}$ と $6 - \sqrt{11}$ 10 数え上げ：十角形の対角線の組 175 問題 1：同次連立方程式が自明でない解をもつとき問題文 $a$、$b$ を正の実数とする。未知数 $x$、$y$、$z$ の連立一次方程式

October 28, 2026 読んだ

ITA 2023 – 第1次試験：数学の解説

出典： ITA ――第1次試験の問題と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2023 の第1次試験は選択式60問で、各科目12問（物理、ポルトガル語、英語、数学、化学）であった。本稿では数学の問題を、試験と同じ37番から48番の番号で扱う。試験の記法。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i^2 = -1$；$M_n(\mathbb{R})$ は実数成分の $n \times n$ 行列全体；$\overline{AB}$ は線分、$AB$ は $A$ と $B$ を通る直線；$m(\overline{AB})$ は $\overline{AB}$ の長さ；$A\hat{O}B$ は頂点 $O$ の角；$\det A$ は $A$ の行列式。正答一覧問題内容正答 37 行列式と解がただ1つの方程式 C 38 複素数：$f(z) = z^2 + i$ の反復 E 39 凸多角形と等差数列 B 40 多項式：根の調和平均 C 41 指数関数：不等式 B 42 平面図形：三角形に入る長方形 D 43 複素数：べきの和 D 44 双曲線：焦点とつくる三角形 A 45 確率：硬貨のゲーム B 46 回転体：2つの円錐 E 47 三角方程式 A 48 多項式：次数が3の倍数の項の係数 C 問題 37：行列式を含み解がただ1つの方程式問題文 $A \in M_3(\mathbb{R})$ を、方程式 $\det(\sqrt[3]{2}\,x^2 A) + \det(xA^3) = \det A^2$ を満たす実数 $x$ がただ1つ存在するような行列とする。このとき $x + \det A$ は

October 28, 2026 読んだ

FUVEST 2022 – 第 1 フェーズ: 数学の解決

出典: FUVEST – 一般知識テスト、バージョン V および修正された公式テンプレート第1フェーズの(12/12/2021で適用)。 FUVEST の第 1 フェーズ 2022 には、すべての被験者から 90 件の質問がありました。この投稿により、 12 数学の問題。テスト V では 30 ～ 41 の問題です。その他ではバージョン (K、Q、X、Z) では、同じ問題が異なる番号と異なる順序で表示されます。代替手段があるため、常にテストのバージョンを確認してください。テンプレート質問主題テンプレート 30 乗法原理: ナンバープレート C 31 位置番号体系 A 32 比率: 速度と時間 C 33 割合と表 C 34 2次方程式: 贈り物の割り算 D 35 等差数列: 井戸のコスト B 36 多面体: オイラー関係式 E 37 三角法: 余弦の法則 A 38 多項式: ジラール関係式 E 39 フラットな形状: タンクの周囲にテープを貼り付ける B 40 大きさと単位 D 41 対数: グラフの読み取り D 問題 30: メルコスールプレート × 以前のシステム (乗法原理) 声明現在、ブラジルでは 2 つの識別プレートシステムが共存しています。自動車: メルコスール規格 (最新) と 1990 で始まった規格 (以前のシステム。現在も流通しているほとんどの自動車で使用されています)。いいえ以前のシステムでは、3 文字 (26 文字のアルファベット) が使用されていました。 4 桁 (0 ～ 9)。ブラジルで自動車に採用されているメルコスール規格には、 4 文字と 3 数字が使用され、3 文字が最初の 3 位置と 4 番目に使用されます。文字は 5 番目にあり、文字または数字が繰り返される場合があります。フィギュアに 2 種類のプレートを示します。

September 27, 2026 読んだ