ITA 2026 – 第2次試験：数学の解説

出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。 ファイルは ITA の過去問ページにある。

ITA 2026 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は記述式の公式解答を公表していない （第2次試験の公式正答はポルトガル語の選択式問題だけ）。以下の解答は筆者によるもので、各答えは 別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。

答え一覧

問題 01：八面体の中の格子点

問題文

原点を中心とし、3つの頂点が $(5, 0, 0)$、$(0, 5, 0)$、$(0, 0, 5)$ にある正八面体を考える。この 立体の内部と表面にある点のうち、座標がすべて整数のものはいくつあるか。

解答

1. 立体。 頂点 $(\pm 5, 0, 0)$、$(0, \pm 5, 0)$、$(0, 0, \pm 5)$ の八面体は集合 $|x| + |y| + |z| \le 5$ である。

2. $z$ で輪切りにする。 $|z| \le 5$ の各整数 $z$ について、$k = 5 - |z|$ として $|x| + |y| \le k$ を満たす整数の組を数える。この「ひし形」には格子点が $2k^2 + 2k + 1$ 個ある（たとえば $k = 1$ なら5点 $(0,0)$、$(\pm1, 0)$、$(0, \pm1)$）。

3. 合計。

コンピュータで確認： $|x| + |y| + |z| \le 5$ を満たす整数の $(x, y, z)$ をすべて数えると231 ✔

答え： 231個。

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問題 02：Aⁿ の (1, 3) 成分が119を超えるとき

問題文

とする。$A^n$ の第1行第3列の成分が119より大きくなる最小の $n \in \mathbb{N}$ を求めよ。

解答

1. 単位行列を分ける。 $A = I + N$ とすると

2. 二項定理。 $I$ と $N$ は可換なので

で、$(1, 3)$ 成分は $2n + \frac{n(n - 1)}{2} = \frac{n^2 + 3n}{2}$。

3. 不等式。 $\frac{n^2 + 3n}{2} > 119 \iff n^2 + 3n > 238$。$n = 14$ では $196 + 42 = 238$ で、 大きくない。$n = 15$ では $225 + 45 = 270 > 238$。

確認： $(1,3)$ 成分は $A^{14}$ で $119$、$A^{15}$ で $135$ ✔

答え： $n = 15$。

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問題 03：平行四辺形 ABCD の面積

問題文

平行四辺形 $ABCD$ の対角線は直線 $r: 2y - x = 2$ と $s: x + 2y = 8$ 上にある。直線 $r$ と $s$ は点 $X$ で交わる。$C = (8, 5)$ で、三角形 $ABX$ の内接円の方程式が

のとき、$ABCD$ の面積を求めよ。

解答

1. 中心 $X$。 $r$ と $s$ の式を足すと $4y = 10$、$y = \frac{5}{2}$、$x = 3$。よって $X = \left(3, \frac{5}{2}\right)$。

2. 頂点 $A$。 $C = (8, 5)$ は $r$ 上にある（$10 - 8 = 2$）ので、$AC$ は $r$ 上の対角線。対角線は 互いに二等分するので $A = 2X - C = (-2, 0)$。

3. 辺 $AB$。 $B$ は $s$ 上にあり、$AB$ は $A$ を通って中心 $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$、半径 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ の円に接する、$r$ 以外の直線である（$r$ もこの円に接する）。$y = k(x + 2)$ とすると

よって $k = \frac{1}{2}$（直線 $r$）か $k = 2$。したがって $AB: y = 2x + 4$ で、$s$ との交点は $x + 2(2x + 4) = 8 \Rightarrow x = 0$、$B = (0, 4)$。

確認： $A(-2, 0)$、$B(0, 4)$、$X\left(3, \frac52\right)$ の内心を、対辺の長さで重みづけした頂点の平均と して計算すると $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ ✔

4. 面積。 対角線は平行四辺形を面積の等しい4つの三角形に分ける。 $\overrightarrow{AB} = (2, 4)$、$\overrightarrow{AX} = \left(5, \frac{5}{2}\right)$ より

（頂点は $A(-2, 0)$、$B(0, 4)$、$C(8, 5)$、$D = 2X - B = (6, 1)$。）

答え： $ABCD$ の面積は30。

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問題 04：的のどれだけが赤か

問題文

壁に的が描かれている。的は中心の円と、赤と白が交互になった同心円の輪からなる。中心の円は 赤く塗られ、半径は $\alpha$ 単位である。その後の円は前の円より半径が1単位ずつ大きい： $\alpha + 1$、次に $\alpha + 2$、以下同様。的に円が33個あるとき、赤い部分の総面積を $\alpha$ で表せ。

解答

1. 領域。 33個の円の半径は $\alpha, \alpha + 1, \dots, \alpha + 32$。赤い領域は中心の円と、半径 $\alpha + k$ と $\alpha + k + 1$ の間で $k$ が奇数（$k = 1, 3, \dots, 31$）の輪で、輪は16個ある。

2. 輪1つの面積。

3. 足す。 $k = 2m - 1$、$m = 1, \dots, 16$ とすると $2\alpha + 2k + 1 = 2\alpha + 4m - 1$。よって

全体で確認： 白い面積は $k$ が偶数（$k = 0, 2, \dots, 30$）の輪の和で $\pi(32\alpha + 496)$。 赤 + 白 $= \pi(\alpha^2 + 64\alpha + 1024) = \pi(\alpha + 32)^2$ で、いちばん大きい円の面積になる ✔

答え： $\pi\left(\alpha^2 + 32\alpha + 528\right)$。

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問題 05：球の中の4つの球

問題文

同じ大きさの4つの球が互いに接し、同時に1つの大きな球に内接していて、小さい球の中心は正四面体を なす。大きい球の体積と、4つの小さい球の体積の和との比を求めよ。

解答

1. 中心がつくる四面体。 互いに接する半径 $r$ の球の中心間の距離は $2r$ で、中心は1辺 $2r$ の 正四面体をなす。1辺 $\ell$ の正四面体の外接球の半径は $\frac{\ell\sqrt{6}}{4}$ で、ここでは $\frac{2r\sqrt{6}}{4} = \frac{r\sqrt{6}}{2}$。

2. 大きい球。 大きい球は、全体の中心から小さい球の中心へ向かう延長線上で、小さい球に外側から 接する：

3. 比。

$(\sqrt{6} + 2)^3 = 6\sqrt{6} + 3\cdot 6\cdot 2 + 3\sqrt{6}\cdot 4 + 8 = 44 + 18\sqrt{6}$ なので

答え： $\dfrac{22 + 9\sqrt{6}}{16}$。

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問題 06：三角行列と列の和

問題文

実数 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n-1}$ が与えられたとき、ともに $n \times n$ の行列 $A = (a_{ij})$ と $B = (b_{ij})$ を次で定める。

行列 $AB$ の第 $j$ 列の成分の和が $n - j$ に等しいとする。

• a) $AB$ の行列式を求めよ。
• b) $AB$ のトレースを $n$ で表せ。
• c) $n = 5$ のとき、$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in \mathbb{R}$ のとりうる値をすべて求めよ。

解説

注意： 文字どおりに読むと、この問題文は矛盾している。どのように $\alpha$ を選んでも、 $AB$ の列の和を $n - j$ にすることはできない。その理由を示したうえで、問題が意味をもつ版 （$A$ の列の和）を解く。予備校 Poliedro が公開した解答も同じ矛盾に行き着いている。

1. $A$ の列。 $A$ の第 $j$ 列は $(0, \dots, 0, 1, \alpha_j, \alpha_j^2, \dots, \alpha_j^{\,n-j-1})$ で、1 は第 $j + 1$ 行にある。その和は

2. $AB$ の列。 $B$ の第 $j$ 列は第 $1, \dots, j$ 行が1である。よって $AB$ の第 $j$ 列は $A$ の第 $1, \dots, j$ 列の和で、その成分の和は

3. 矛盾。 $S_n = 0$ なので $c_n = c_{n-1}$。しかし条件は $c_{n-1} = 1$、$c_n = 0$ を要求する。 ありえない。（最後の列を無視しても、$c_1 = n - 1$ と $c_2 = n - 2$ から $S_2 = -1$ が必要になり、 $n = 5$ では $1 + \alpha_2 + \alpha_2^2 = -1$ に実数解はない。）

a) どの読み方でも成り立つ。 $A$ は対角成分が0の下三角行列なので $\det A = 0$ で、

意味の通る版：$A$ の列の和が $n - j$。 すべての $j$ で $S_j = n - j$ とする（$j = n$ では $0 = 0$、$j = n - 1$ では $S_{n-1} = 1$ で、つねに成り立つ）。

b) $AB$ の $(i, i)$ 成分は $\sum_{k \le i} a_{ik}$、すなわち $A$ の第 $i$ 行の和である（$k \ge i$ の 項は0）。よって $AB$ のトレースは $A$ のすべての成分の和：

c) $n = 5$ のとき：

• $S_1 = 1 + \alpha_1 + \alpha_1^2 + \alpha_1^3 = 4 \Rightarrow (\alpha_1 - 1)(\alpha_1^2 + 2\alpha_1 + 3) = 0 \Rightarrow \alpha_1 = 1$（2次の因数は実数解をもたない）；
• $S_2 = 1 + \alpha_2 + \alpha_2^2 = 3 \Rightarrow (\alpha_2 - 1)(\alpha_2 + 2) = 0 \Rightarrow \alpha_2 = 1$ または $\alpha_2 = -2$；
• $S_3 = 1 + \alpha_3 = 2 \Rightarrow \alpha_3 = 1$；
• $S_4 = 1$ はつねに成り立つ：$\alpha_4$ は $\alpha_4^0$ の形でしか現れないので、任意の実数でよい。

答え（意味の通る読み方で）： a) $\det(AB) = 0$；b) $\operatorname{tr}(AB) = \frac{n(n-1)}{2}$； c) $\alpha_1 = 1$、$\alpha_2 \in \{1, -2\}$、$\alpha_3 = 1$、$\alpha_4 \in \mathbb{R}$ は任意。 文字どおりの読み方では条件を満たす $\alpha$ は存在せず、成り立つのは a) だけである。

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問題 07：余りから根を求める

問題文

$p(x)$ を実数係数の4次多項式とする。$p(x)$ の根の和は $\frac{3}{2}$、積は $-\frac{5}{2}$ である。 $p(x)$ を $x^3 - x + 4$ で割った余りが $9x^2 - 4x + 7$ のとき、$p(x)$ の $\mathbb{C}$ におけるすべての 根を求めよ。

解答

1. $p$ の形。 3次式で割った商は1次式である：

2. 解と係数の関係。 根の和：$-\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$ より $b = -\frac{3a}{2}$。積： $\frac{4b + 7}{a} = -\frac{5}{2}$ より $-6a + 7 = -\frac{5a}{2}$、$a = 2$、$b = -3$。

3. 根。 有理数の根を試すと $p(-1) = 2 + 3 + 7 - 7 - 5 = 0$、 $p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2} - 5 = 0$。割ると

で、$x^2 - 2x + 5 = 0$ から $x = 1 \pm 2i$。

確認： 和 $-1 + \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$ ✔、積 $(-1)\cdot\frac{1}{2}\cdot 5 = -\frac{5}{2}$ ✔、 $p$ を $x^3 - x + 4$ で割った余りは $9x^2 - 4x + 7$ ✔（コンピュータで確認）。

答え： $-1$、$\dfrac{1}{2}$、$1 + 2i$、$1 - 2i$。

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問題 08：和が100になる増加する3つの自然数

問題文

3つの数の和が100になる、3つの自然数からなる狭義増加の数列はいくつつくれるか。

解答

$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ の $a < b < c$ で $a + b + c = 100$ となるものを求める。

1. 狭義の不等号をなくす。 $a = x$、$b = x + y$、$c = x + y + z$（$x, y, z \ge 1$）と書くと

で、各解はちょうど1つの数列に対応する。

2. 数える。 $3x + 2y \le 99$ を満たす $x$、$y$ ごとに、$z \ge 1$ はただ1つ決まる。$x$ を固定すると $y$ は1から $\left\lfloor\frac{99 - 3x}{2}\right\rfloor$ まで：

（$x = 33$ では $y \ge 1$ の余地がないので、$x$ は32まで。）$x$ が奇数の項（$48, 45, \dots, 3$：16項、 公差 $-3$ の等差数列）と偶数の項（$46, 43, \dots, 1$：16項、公差 $-3$）に分けると

コンピュータで確認： 和が100の3つ組 $a < b < c$ を直接数えると784 ✔。（古典的な公式とも一致 する：$m$ を3つの部分に分割する方法の数は $\frac{m^2}{12}$ にもっとも近い整数で、ここでは $m = 100 - 3 = 97$、$\frac{97^2}{12} \approx 784.1$。）

答え： 784個。

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問題 09：(0, −8) から双曲線へ引いた接線

問題文

$H$ を焦点 $A = (-6, 0)$、$B = (6, 0)$、離心率3の双曲線とする。

• a) $C = (0, -8)$ を通り $H$ に接する直線の方程式をすべて求めよ。
• b) 前問の各直線について、接点を求めよ。

解答

1. 双曲線。 $c = 6$、$e = \frac{c}{a} = 3$ より $a = 2$、$b^2 = c^2 - a^2 = 32$：

2. $C$ を通る直線。 縦の直線 $x = 0$ は $H$ と交わらない。ほかの直線は $y = mx - 8$。代入すると

$m^2 = 8$（漸近線に平行な直線）では交点は1つだが、接線ではなく割線である。$m^2 \ne 8$ では、 接する条件は判別式が0：

3. 接点。 重解は $x = \frac{-16m}{2(8 - m^2)} = \frac{-16m}{-32} = \frac{m}{2}$、$y = m\cdot\frac{m}{2} - 8 = 12 - 8 = 4$。

• $m = 2\sqrt{6}$：接点 $(\sqrt{6}, 4)$。
• $m = -2\sqrt{6}$：接点 $(-\sqrt{6}, 4)$。

確認： $\frac{6}{4} - \frac{16}{32} = 1$ ✔。また $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{32} = 1$ の $(\sqrt{6}, 4)$ における接線は $\frac{\sqrt{6}\,x}{4} - \frac{4y}{32} = 1$、すなわち $y = 2\sqrt{6}\,x - 8$ で、$(0, -8)$ を通る ✔

答え： a) $y = 2\sqrt{6}\,x - 8$ と $y = -2\sqrt{6}\,x - 8$。b) それぞれ $(\sqrt{6}, 4)$ と $(-\sqrt{6}, 4)$。

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問題 10：2つの円とその間のレンズ形

問題文

点 $A$ と $B$ は $m(\overline{AB}) = 6(1 + \sqrt{3})$ cm の線分をつくる。点 $C$ と $D$ は線分 $\overline{AB}$ 上にある。$C$ を中心とし $A$ を通る円と、$D$ を中心とし $B$ を通る円は点 $P$、$Q$ で 交わり、次を満たす。

• a) それぞれの円の半径を求めよ。
• b) 2つの円の内部の共通部分の面積を求めよ。

解答

1. 座標。 $A = (0, 0)$、$B = (L, 0)$、$L = 6(1 + \sqrt{3})$ とする。中心は $x$ 軸上にあるので $P$ と $Q$ は対称：$P = (u, h)$、$Q = (u, -h)$ で、$m(\overline{PQ}) = 2h$。

2. 条件を使う。

• $AP = 2h$：$u^2 + h^2 = 4h^2 \Rightarrow u = \sqrt{3}\,h$（$u > 0$。$u < 0$ だと中心 $C$ が線分の外に出る）。
• $BP = 2h\sqrt{2 + \sqrt{3}}$：$(L - u)^2 + h^2 = 4h^2(2 + \sqrt{3})$ より $(L - u)^2 = h^2(7 + 4\sqrt{3}) = h^2(2 + \sqrt{3})^2$、$L - u = h(2 + \sqrt{3})$。

足すと $L = h(2 + 2\sqrt{3}) = 2h(1 + \sqrt{3})$、よって $h = 3$、$u = 3\sqrt{3}$、$P = (3\sqrt{3}, 3)$。

3. a) 半径。

• 中心 $C = (R_1, 0)$ で $A$ と $P$ を通る：$(3\sqrt{3} - R_1)^2 + 9 = R_1^2 \Rightarrow 36 = 6\sqrt{3}\,R_1 \Rightarrow R_1 = 2\sqrt{3}$ cm。
• 中心 $D = (L - R_2, 0)$ で $B$ と $P$ を通る：$w = L - u = 3(2 + \sqrt{3})$ として $(w - R_2)^2 + 9 = R_2^2 \Rightarrow R_2 = \frac{w^2 + 9}{2w} = \frac{36(2 + \sqrt{3})}{6(2 + \sqrt{3})} = 6$ cm。

（$w^2 = 9(7 + 4\sqrt{3})$、したがって $w^2 + 9 = 36(2 + \sqrt{3})$ を使った。）中心 $C = (2\sqrt{3}, 0) \approx (3.46,\ 0)$ と $D = (6\sqrt{3}, 0) \approx (10.39,\ 0)$ は線分上にある ✔

4. b) レンズ形。 共通弦 $\overline{PQ}$ の長さは6で、直線 $x = 3\sqrt{3}$ 上にある。共通部分は2つの 弓形の和である：

• 中心 $C$ の円： 弦は中心から $3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$ の距離にある。中心角の半分の余弦は $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ なので、中心角は $120^\circ$。弓形の面積：$\frac{R_1^2}{2}\left(\frac{2\pi}{3} - \sin120^\circ\right) = 6\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4\pi - 3\sqrt{3}$。
• 中心 $D$ の円： 弦は中心から $6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ の距離にある。半角の余弦は $\frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ で、中心角は $60^\circ$。弓形の面積：$\frac{36}{2}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 6\pi - 9\sqrt{3}$。

数値で確認： $AP = 6 = PQ$、$BP \approx 11.591 = 6\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ ✔。共通部分を数値積分すると $\approx 10.632$ cm² ✔

答え： a) $2\sqrt{3}$ cm（中心 $C$）と $6$ cm（中心 $D$）。b) $10\pi - 12\sqrt{3}$ cm²。

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