出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。 ファイルは ITA の過去問ページにある。

ITA 2024 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は第2次試験の公式解答を公表していない。 以下の解答は筆者によるもので、各答えは別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。

答え一覧

問題 内容 答え
1 等差数列と等比数列 $n = 4$
2 橋を渡る道順（オイラー路） 32（各向きに16）
3 対数の絶対値を含む不等式 $-4 < x < -\frac14$ または $\frac14 < x < 4$
4 正定値行列 $-1 < b < 1$
5 $x = 1$ に関して対称な多項式 $1 \pm \sqrt{3}$ と $1 \pm i\sqrt{6}$
6 立体の中の最長の線分 $\frac{4\sqrt{161}}{5}$
7 $y$ 軸に接する円 $(x - 4 - \sqrt{6})^2 + (y - 3 + \sqrt{6})^2 = (4 + \sqrt{6})^2$
8 放物線上に頂点をもつ台形 $\frac{483}{64}$
9 複素数の根と面積 $4\sqrt{5}$
10 半角の正接 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{5}$、$\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$

問題 1：等比数列の何項までの和が −80 か

問題文

$(a_n)$ を等差数列、$(b_n)$ を等比数列とする。$(a_n)$ の公差が $r$（$r \ne 0$）、$(b_n)$ の公比が $q = 1/r$、$a_1 = b_1 = 4$ で、

$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = \frac{50}{3}$$

のとき、等比数列の初項から第 $n$ 項までの和が $-80$ になる $n$ を求めよ。

解答

1. 公差。 $a_1 + \dots + a_5 = 5a_1 + 10r = 20 + 10r = \frac{50}{3}$ より $r = -\frac{1}{3}$、 $q = \frac{1}{r} = -3$。

2. 等比数列の和。 $b_1 = 4$、$q = -3$ で

$$S_n = \frac{4\left((-3)^n - 1\right)}{-3 - 1} = 1 - (-3)^n$$

3. 解く。 $1 - (-3)^n = -80 \Rightarrow (-3)^n = 81 = (-3)^4 \Rightarrow n = 4$。

確認： $4 - 12 + 36 - 108 = -80$ ✔

答え： $n = 4$。

復習は等差数列を参照。

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問題 2：どの橋もちょうど1回渡る

問題文

4つの都市 $A$、$B$、$C$、$D$ が、6本の異なる橋で次のように結ばれている。

  • 1本の橋が $A$ と $B$ を結ぶ；
  • 1本の橋が $A$ と $C$ を結ぶ；
  • 1本の橋が $B$ と $C$ を結ぶ；
  • 2本の橋が $B$ と $D$ を結ぶ；
  • 1本の橋が $C$ と $D$ を結ぶ。

同じ都市を何度通ってもよいとき、すべての都市を結び、すべての橋をちょうど1回ずつ渡る 道順は何通りあるか。

解答

ケーニヒスベルクの橋の問題の縮小版で、求めるのはオイラー路である。

1. 次数。 各都市の橋の本数は $A$ が2、$B$ が4、$C$ が3、$D$ が3。各橋を1回ずつ渡る道順では、 途中の都市には入る回数と出る回数が等しいので、次数が奇数の都市がちょうど出発点と終点に なる。道順は $C$ から出て $D$ で終わるか、その逆である。

2. $A$ を簡単にする。 $A$ には橋 $AB$ と $AC$ しかなく、これらは続けて使われる （$B \to A \to C$ または $C \to A \to B$）。この区間を $B$ と $C$ を結ぶ1本の「橋」$e$ とみなせる。 残るのは、$B$–$C$ を結ぶ2本（$e$ と橋 $f = BC$）、橋 $g = CD$、$B$–$D$ を結ぶ2本の橋 $h_1, h_2$。

3. $C$ から $D$ への道順を数える。

  • $g$ から始める（$C \to D$）。 $D$ から $h_1$ か $h_2$ で $B$ へ（2通り）。$B$ から $D$ には戻れない（$B$–$C$ の2本が使えなくなる）ので、$e$ か $f$ で $C$ へ行き（2通り）、もう一方で $B$ に戻り、残った $h$ で $D$ に着く。計 $2 \cdot 2 = 4$。

  • $e$ か $f$ から始める（$C \to B$、2通り）。 $B$ で：

    • もう一方の連結で $C$ に戻る。$C$ からは $g$ で $D$ へ行くしかなく、$D$ から $h_1, h_2$ をどちらかの順で使って $D \to B \to D$：2通り；
    • どれかの $h$ で $D$ へ行く（2通り）。$D$ から、$g$ で $C$ へ行って $C \to B \to D$ とするか、もう一方の $h$ で $B$ へ行って $B \to C \to D$ とする：2通り。小計 $2 \cdot 2 = 4$。

    最初の選択1つにつき $2 + 4 = 6$、2つの選択で12通り。

$C$ から $D$ へ：$4 + 12 = 16$ 通り。

4. 2つの向き。 $C$ から $D$ への道順を逆にたどれば $D$ から $C$ への道順になる。 合計 $16 + 16 = 32$ 通り。

6本の橋を1回ずつ使う道順をコンピュータですべて列挙して確認した：16通りが $C$ から、 16通りが $D$ から出発し、$A$ や $B$ から出発するものはない。

答え： 32通り（$C$ から $D$ へ16、$D$ から $C$ へ16。道順とその逆を同じとみなすなら16通り）。

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問題 3：対数の絶対値の和

問題文

次を満たす実数 $x$ をすべて求めよ。

$$\left|\log_{1/2}|x|\right| + \left|\log_2|x|\right| < 4$$

解答

1. 底をそろえる。 $\log_{1/2} u = -\log_2 u$ なので $\left|\log_{1/2}|x|\right| = \left|\log_2|x|\right|$ で、 不等式は

$$2\left|\log_2|x|\right| < 4 \quad\Longleftrightarrow\quad -2 < \log_2|x| < 2 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{4} < |x| < 4$$

（対数が定義されるには $x \ne 0$ が必要だが、これはすでに満たされている。）

確認： $x = 1$ では $0 + 0 < 4$ ✔。$x = 4$ では $2 + 2 = 4$ で「より小さい」を満たさず、確かに除かれる。

答え： $x \in \left]-4, -\frac{1}{4}\right[ \;\cup\; \left]\frac{1}{4}, 4\right[$。

復習は対数の性質を参照。

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問題 4：行列が正定値になるとき

問題文

対称行列 $A \in M_n(\mathbb{R})$ が、少なくとも1つの成分が0でないすべての $X \in M_{n,1}(\mathbb{R})$ に対して

$$X^T A X = [y], \quad y > 0$$

を満たすとき、$A$ は正定値であるという。行列

$$A = \begin{pmatrix} 1 & b \\ b & 1 \end{pmatrix}$$

が正定値になる $b \in \mathbb{R}$ をすべて求めよ。

解答

1. 2次形式。 $X = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$ とすると

$$X^T A X = u^2 + 2buv + v^2 = (u + bv)^2 + (1 - b^2)v^2$$

2. $|b| < 1$ のとき： 2つの項はどちらも $\ge 0$。和が0になるのは $v = 0$ かつ $u + bv = 0$、 すなわち $u = v = 0$ のときだけ。よってすべての $X \ne 0$ で正 ✔

3. $|b| \ge 1$ のとき： $u = -b$、$v = 1$ とすると $X^T A X = 1 - b^2 \le 0$ で、$A$ は正定値でない。

答え： $-1 < b < 1$。

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問題 5：1 に関して対称な多項式の根

問題文

すべての $x \in \mathbb{C}$ で $p(1 + x) = p(1 - x)$ が成り立つとき、多項式 $p(x) = x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 10x - 14$ の根を求めよ。

解答

1. 変数を変える。 この関係は $p(1 + t)$ が $t$ の偶関数、つまり偶数次の項しかもたないことを 意味する。計算すると

$$p(1 + t) = (1 + t)^4 - 4(1 + t)^3 + 9(1 + t)^2 - 10(1 + t) - 14 = t^4 + 3t^2 - 18$$

（$t^3$ と $t$ の項は消える：$4 - 4 = 0$、$4 - 12 + 18 - 10 = 0$。）

2. 複2次方程式。 $t^4 + 3t^2 - 18 = (t^2 + 6)(t^2 - 3) = 0$ より $t = \pm\sqrt{3}$ または $t = \pm i\sqrt{6}$。

3. $x = 1 + t$ に戻す。

$$x = 1 \pm \sqrt{3}, \qquad x = 1 \pm i\sqrt{6}$$

解と係数の関係で確認： 根の和は $4$（係数 $-(-4)$）✔、積は $(1 - 3)(1 + 6) = -14$ ✔

答え： $1 + \sqrt{3}$、$1 - \sqrt{3}$、$1 + i\sqrt{6}$、$1 - i\sqrt{6}$。

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問題 6：L字形の立体の中の最長の線分

問題文

立体 $S$ は合同な2つの直方体の和集合で、位置と寸法は図のとおりである（vista frontal = 正面図、vista superior = 上面図）。

$\overline{AB}$ を $S$ に完全に含まれ、$S$ の頂点の1つを含む線分とする。$m(\overline{AB})$ の とりうる最大値を求めよ。

解答

1. 座標。 2つの直方体はどちらも $3 \times 4 \times 5$。次のようにおく。

  • 高い直方体：$0 \le x \le 3$、$0 \le y \le 4$、$0 \le z \le 5$；
  • 低い直方体：$3 \le x \le 8$、$0 \le y \le 4$、$0 \le z \le 3$。

最長の線分は「L」の一端から他端へ向かうはずである。右下の角、たとえば $V = (8, 0, 0)$ から 面 $x = 0$ まで、辺 $x = 3$、$z = 3$ を「突き抜け」ない範囲でできるだけ高く上る。

2. 制約。 もう一方の端点を $E = (0, y, z)$ とする。$VE$ に沿って高さは $x$ 方向に進んだ 距離に比例して増える。$x = 3$ の地点（$x$ 方向に8のうち5進んだところ）で高さは $\frac{5}{8}z$ で、 そこではまだ低い直方体の中にあるから

$$\frac{5}{8}z \le 3 \quad\Rightarrow\quad z \le \frac{24}{5}$$

それより手前（$x > 3$）では高さはさらに低く、その先（$x < 3$）は $z = 5$ まである高い直方体の 中である。また $y \le 4$。

3. 最大化。 $m(\overline{VE})^2 = 8^2 + y^2 + z^2$ は $y = 4$、$z = \frac{24}{5}$ で最大：

$$m(\overline{VE})^2 = 64 + 16 + \frac{576}{25} = \frac{2576}{25} \quad\Rightarrow\quad m(\overline{VE}) = \frac{\sqrt{2576}}{5} = \frac{4\sqrt{161}}{5} \approx 10.15$$

この線分は内側の辺 $x = 3$、$z = 3$ に（$y = 2.5$ の点で）触れるが、立体は境界を含むので許される。

4. ほかの試みはもっと短い。 高い直方体の上の角から出発すると、少ししか上らずに右側へ届く ことはできない。$(0,0,0)$ から $(8,4,3)$ のような「まっすぐな」結び方は $\sqrt{89} \approx 9.43$。 内側の角 $(3, 0, 3)$ を通る線分は平面 $y = 0$ に留まる必要があり、長さは高々 $\sqrt{64 + \frac{576}{25}} \approx 9.33$。12個の頂点それぞれから数千の方向をコンピュータで調べても、 $\frac{4\sqrt{161}}{5}$ より長いものは見つからなかった。

答え： $m(\overline{AB})_{\max} = \dfrac{4\sqrt{161}}{5} \approx 10.15$。

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問題 7：y 軸に接する大きいほうの円

問題文

$y$ 軸に接し、点 $(1, 4)$ と $(3, 6)$ を通る円のうち、半径が最大のものの方程式を求めよ。

解答

1. 中心の形。 $y$ 軸に接し、$x > 0$ の点を通るので、中心は $(r, k)$（$r > 0$）、半径は $r$。

2. 2点を通る。

$$(1 - r)^2 + (4 - k)^2 = r^2 \quad\Rightarrow\quad 1 - 2r + (4 - k)^2 = 0$$$$(3 - r)^2 + (6 - k)^2 = r^2 \quad\Rightarrow\quad 9 - 6r + (6 - k)^2 = 0$$

第1式より $2r = 1 + (4 - k)^2$。$6r = 3 + 3(4 - k)^2$ を第2式に代入すると

$$6 - 3(16 - 8k + k^2) + 36 - 12k + k^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2k^2 + 12k - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad k = 3 \pm \sqrt{6}$$

3. 2つの半径。

  • $k = 3 - \sqrt{6}$：$4 - k = 1 + \sqrt{6}$、$r = \frac{1 + 7 + 2\sqrt{6}}{2} = 4 + \sqrt{6}$。
  • $k = 3 + \sqrt{6}$：$4 - k = 1 - \sqrt{6}$、$r = 4 - \sqrt{6}$。

大きいほうは $r = 4 + \sqrt{6}$ で、中心は $(4 + \sqrt{6},\ 3 - \sqrt{6})$。

$(3, 6)$ で確認： $(3 - r)^2 + (6 - k)^2 = (1 + \sqrt{6})^2 + (3 + \sqrt{6})^2 = 7 + 2\sqrt{6} + 15 + 6\sqrt{6} = 22 + 8\sqrt{6} = (4 + \sqrt{6})^2$ ✔

答え： $(x - 4 - \sqrt{6})^2 + (y - 3 + \sqrt{6})^2 = (4 + \sqrt{6})^2 = 22 + 8\sqrt{6}$。

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問題 8：放物線の下の台形 PABV

問題文

放物線 $y = 4x - x^2$ と、その頂点 $V$ を考える。$T$ を台形 $PABV$ とする。ただし $P = (0, 0)$、 $A$ は $x$ 座標が区間 $[2, 4]$ にあり $y$ 座標が0の点、$B$ は放物線上で $y$ 座標が正の点である。 $m(\overline{AB}) = \frac{7}{8}\sqrt{5}$ のとき、$T$ の面積を求めよ。

解答

1. 頂点。 $y = 4 - (x - 2)^2$ なので $V = (2, 4)$。

2. どの辺が平行か。 $PA \parallel BV$ なら線分 $BV$ は水平で、$B$ の $y$ 座標は4、つまり $B = V$ になってしまう。よって平行な辺は $AB$ と $VP$。直線 $PV$ の傾きは $\frac{4}{2} = 2$。

3. $A$ と $B$ を求める。 傾き2、長さ $\frac{7\sqrt{5}}{8}$ の線分 $AB$ は、$x$ 方向に $\frac{7}{8}$、 $y$ 方向に $\frac{7}{4}$ 進む（$\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ だから）。$A$ は $x$ 軸上、$B$ の $y$ 座標は正なので $B = \left(a + \frac{7}{8}, \frac{7}{4}\right)$。放物線上にあるから

$$4b - b^2 = \frac{7}{4} \quad\Rightarrow\quad 4b^2 - 16b + 7 = 0 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{7}{2} \text{ または } b = \frac{1}{2}$$

すると $a = b - \frac{7}{8} = \frac{21}{8}$ または $-\frac{3}{8}$。$[2, 4]$ にあるのは $a = \frac{21}{8}$ だけ。 $A = \left(\frac{21}{8}, 0\right)$、$B = \left(\frac{7}{2}, \frac{7}{4}\right)$。

4. 面積。 2つの底辺は $m(\overline{PV}) = 2\sqrt{5}$ と $m(\overline{AB}) = \frac{7\sqrt{5}}{8}$。高さは $A$ から直線 $PV$：$2x - y = 0$ までの距離：

$$h = \frac{|2\cdot\frac{21}{8} - 0|}{\sqrt{5}} = \frac{21}{4\sqrt{5}}$$$$S = \frac{1}{2}\left(2\sqrt{5} + \frac{7\sqrt{5}}{8}\right)\cdot\frac{21}{4\sqrt{5}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{23}{8}\cdot\frac{21}{4} = \frac{483}{64}$$

靴ひも公式で確認（$P(0,0)$、$A\left(\frac{21}{8},0\right)$、$B\left(\frac72,\frac74\right)$、$V(2,4)$）： $\frac{1}{2}\left(\frac{21}{8}\cdot\frac{7}{4} + \frac{7}{2}\cdot 4 - 2\cdot\frac{7}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{147}{32} + \frac{21}{2}\right) = \frac{483}{64}$ ✔

答え： $S = \dfrac{483}{64} \approx 7.55$。

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問題 9：4つの根がつくる四角形

問題文

$z = 1 + ai$ を多項式 $p(x) = x^4 + 10x^2 + mx + 29$ の根とする（$a$、$m$ は実数）。 複素平面（ガウス平面）上で、$p(x)$ の4つの複素数の根を頂点とする四角形の面積を求めよ。

解答

1. 因数分解。 係数が実数なので $1 - ai$ も根であり、$(x - 1)^2 + a^2 = x^2 - 2x + 1 + a^2$ は $p$ を割り切る。$x^3$ の項がないので根の和は0で、残りの2根の和は $-2$：

$$p(x) = (x^2 - 2x + 1 + a^2)(x^2 + 2x + c)$$

2. 係数を比べる。 展開すると

  • $x^2$：$c - 4 + 1 + a^2 = 10 \Rightarrow c = 13 - a^2$；
  • 定数項：$c(1 + a^2) = 29$。

$s = a^2$ とおくと $(13 - s)(1 + s) = 29 \Rightarrow s^2 - 12s + 16 = 0 \Rightarrow s = 6 \pm 2\sqrt{5}$。

3. 残りの根。 $x^2 + 2x + c = 0$ から $x = -1 \pm i\sqrt{c - 1}$、ただし $c - 1 = 12 - s = 6 \mp 2\sqrt{5} > 0$。$6 \pm 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} \pm 1)^2$ に注意すると、どちらの場合も 高さは $\sqrt{5} + 1$ と $\sqrt{5} - 1$（順序は入れ替わる）：

根 $s = 6 + 2\sqrt{5}$ $s = 6 - 2\sqrt{5}$
$1 \pm ai$ $1 \pm (\sqrt{5} + 1)i$ $1 \pm (\sqrt{5} - 1)i$
$-1 \pm i\sqrt{c - 1}$ $-1 \pm (\sqrt{5} - 1)i$ $-1 \pm (\sqrt{5} + 1)i$

4. 面積。 頂点は、$x = 1$ と $x = -1$（間隔2）に縦の底辺をもつ等脚台形をなし、底辺の長さは $2(\sqrt{5} + 1)$ と $2(\sqrt{5} - 1)$：

$$S = \frac{2(\sqrt{5} + 1) + 2(\sqrt{5} - 1)}{2}\cdot 2 = 4\sqrt{5}$$

2つの場合の面積は同じである（一方は他方を虚軸に関して鏡映したもので、$m = \pm 8\sqrt{5}$）。

注： $a \ne 0$ と仮定した。$a = 0$ なら $z = 1$ は実数の根で $m = -40$ となり、4つの根 （$1$、$\approx 1.81$、$\approx -1.40 \pm 3.75i$）は凸四角形をつくらない。点 $1$ は残り3点がつくる 三角形の内部にある。

答え： $4\sqrt{5}$。

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問題 10：半角の正接

問題文

$\alpha, \beta \in (0, \pi/2)$ に対して $\tan(\alpha + \beta) = -2$、 $\sin(\alpha) = (4 - \sqrt{5})\sin(\beta)$ のとき、

$$\tan\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right), \quad \tan\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right), \quad \frac{\tan\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{\tan\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}$$

を求めよ。

解答

1. $\frac{\alpha + \beta}{2}$ の正接。 $T = \tan\frac{\alpha + \beta}{2}$ とおくと、2倍角の公式より

$$\frac{2T}{1 - T^2} = -2 \quad\Rightarrow\quad T^2 - T - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad T = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

$0 < \frac{\alpha + \beta}{2} < \frac{\pi}{2}$ なので $T > 0$：$T = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。

2. 比。 和を積に直すと

$$\frac{\sin\alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta} = \frac{2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}}{2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}} = \frac{\tan\frac{\alpha - \beta}{2}}{\tan\frac{\alpha + \beta}{2}}$$

分子と分母を $\sin\beta$ で割ると

$$\frac{(4 - \sqrt{5}) - 1}{(4 - \sqrt{5}) + 1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}} = \frac{(3 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})}{20} = \frac{10 - 2\sqrt{5}}{20} = \frac{5 - \sqrt{5}}{10}$$

3. $\frac{\alpha - \beta}{2}$ の正接。

$$\tan\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{10}\cdot\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{5 + 5\sqrt{5} - \sqrt{5} - 5}{20} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

数値で確認： $\alpha + \beta = 2\arctan\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.035$、 $\alpha - \beta = 2\arctan\frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.841$ から $\alpha \approx 1.438$、 $\beta \approx 0.597$ で、どちらも $(0, \pi/2)$ にあり、$\tan(\alpha + \beta) = -2$、 $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} \approx 1.764 = 4 - \sqrt{5}$ ✔

答え： $\tan\dfrac{\alpha + \beta}{2} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$、$\tan\dfrac{\alpha - \beta}{2} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$、比は $\dfrac{5 - \sqrt{5}}{10}$。

復習は半角の公式を参照。

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