出典： ITA ――第1次試験の問題 と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。

ITA 2026 の第1次試験は選択式48問で、数学12問、物理12問、化学12問、英語12問であった。 本稿では数学の問題を、試験と同じ1番から12番の番号で扱う。

試験の記法。 $i^2 = -1$；$\bar{z}$ は $z$ の共役；$]a, b[$ は開区間 $a < x < b$。

正答一覧

問題 内容 正答
1 複素数：絶対値と偏角 D
2 対数：近似値を使った連立方程式 B
3 行列：対称性、等差数列、正則でないこと E
4 複素数：解がつくる多角形 C
5 平面図形：六芒星 D
6 空間の位置関係 無効
7 回転行列 A
8 多項式：点に関する対称性 B
9 放物線、接線、面積 D
10 三角関数の連立方程式 E
11 全単射の数え上げ A
12 半径が等比数列をなす接する円 B

問題 1：z − w が実数で w の偏角が π/6

問題文

$z, w \in \mathbb{C}$ が $z - w = -2\sqrt{3}$、$w \ne 0$ を満たす。$z$ の絶対値が $2\sqrt{3}$、$w$ の偏角が $\pi/6$ のとき、$z$ の実部は

  • A) $-2\sqrt{3}$。
  • B) $-\sqrt{3}$。
  • C) $0$。
  • D) $\sqrt{3}$。
  • E) $2\sqrt{3}$。

解答

1. $w$ を書く。 $|w| = \rho > 0$、偏角 $\frac{\pi}{6}$ なので $w = \rho\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)$。すると

$$z = w - 2\sqrt{3} = \left(\frac{\rho\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3}\right) + \frac{\rho}{2}\,i$$

2. $|z| = 2\sqrt{3}$ を使う。

$$\left(\frac{\rho\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{3}\right)^2 + \frac{\rho^2}{4} = 12 \quad\Rightarrow\quad \frac{3\rho^2}{4} - 6\rho + 12 + \frac{\rho^2}{4} = 12 \quad\Rightarrow\quad \rho^2 - 6\rho = 0$$

$\rho \ne 0$ なので $\rho = 6$。

3. 実部。 $\operatorname{Re}(z) = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。

確認： $z = \sqrt{3} + 3i$ の絶対値は $\sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3}$ ✔

答え： D（$\sqrt{3}$）。

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問題 2：2つの近似値から log₄₅ 7

問題文

近似値

$$\log_{45} 13.72 = 0.6880, \qquad \log_{45} 6125 = 2.2908$$

を用いるとき、$\log_{45} 7$ の小数表示にもっとも近いものは

  • A) $0.4886$。
  • B) $0.5112$。
  • C) $0.5193$。
  • D) $0.5224$。
  • E) $0.5385$。

解答

1. 素因数分解。 $13.72 = \frac{1372}{100} = \frac{4\cdot 343}{100} = \frac{7^3}{5^2}$、$6125 = 125\cdot 49 = 5^3\cdot 7^2$。

2. 連立方程式。 $u = \log_{45} 7$、$v = \log_{45} 5$ とすると

$$3u - 2v = 0.6880, \qquad 2u + 3v = 2.2908$$

3. 解く。 第1式を3倍、第2式を2倍して足すと

$$9u + 4u = 2.0640 + 4.5816 \quad\Rightarrow\quad 13u = 6.6456 \quad\Rightarrow\quad u = 0.5112$$

確認： $v = \frac{3u - 0.6880}{2} = 0.4228$ で、実際 $\log_{45} 5 = \frac{\ln 5}{\ln 45} \approx 0.4228$ ✔

答え： B（$0.5112$）。

復習は対数の性質を参照。

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問題 3：行列 aᵢⱼ = 1 + (1 − i)(1 − j)

問題文

$A$ を成分が

$$a_{ij} = 1 + (1 - i)(1 - j)$$

で与えられる $100 \times 100$ 行列とする。次の命題を考える。

  • I. $A$ は対称行列である。
  • II. $A$ の各行は等差数列をなす。
  • III. $A$ は正則でない（特異）行列である。

正しいものは：

  • A) I のみ。
  • B) II のみ。
  • C) I と II のみ。
  • D) I と III のみ。
  • E) I、II、III。

解答

I. 正しい。 $i$ と $j$ を入れ替えても $1 + (1 - i)(1 - j)$ は変わらない。

II. 正しい。 行 $i$ を固定すると $a_{ij} = (2 - i) - (1 - i)\,j$ は $j$ の1次関数で、各項は公差 $i - 1$ の等差数列をなす。

III. 正しい。 II より各行は等差数列なので、第3列は第2列の2倍から第1列を引いたものに 等しい（$a_{i3} = 2a_{i2} - a_{i1}$）。列が1次従属なので行列式は0である。（実際、どの列も最初の 2列の1次結合で、$A$ の階数は2である。）

答え： E（I、II、III）。

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問題 4：iz² = 2z̄ の解がつくる多角形

問題文

ある多角形の頂点は、方程式

$$iz^2 = 2\bar{z}$$

を満たす0でない複素数すべてである。この多角形の面積は

  • A) $\sqrt{3}$。
  • B) $2\sqrt{3}$。
  • C) $3\sqrt{3}$。
  • D) $4\sqrt{3}$。
  • E) $5\sqrt{3}$。

解答

1. 絶対値。 両辺の絶対値をとると $|z|^2 = 2|z|$。$z \ne 0$ なので $|z| = 2$。

2. 偏角。 $z = 2\operatorname{cis}\theta$ とすると $i\cdot 4\operatorname{cis}2\theta = 4\operatorname{cis}(-\theta)$、すなわち

$$\operatorname{cis}\left(2\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \operatorname{cis}(-\theta) \quad\Rightarrow\quad 3\theta = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad\Rightarrow\quad \theta = -\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$$

解は3つ：$\theta = -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}$、すなわち $z = \sqrt{3} - i$、$2i$、$-\sqrt{3} - i$。

3. 面積。 半径2の円に内接する1辺 $2\sqrt{3}$ の正三角形である：

$$S = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$$

$z = 2i$ で確認： $i(2i)^2 = -4i$、$2\overline{2i} = -4i$ ✔

答え： C（$3\sqrt{3}$）。

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問題 5：六芒星から内接正方形へ

問題文

円周が点 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$（この順）で6等分されている。点 $A$、$C$、$E$ は正三角形の 頂点、点 $B$、$D$、$F$ はもう1つの正三角形の頂点である。2つの三角形を重ねると、六芒星と呼ばれる 6つの頂点をもつ星形ができる。この六芒星の面積が $25\sqrt{3}$ cm² のとき、円に内接する正方形の 面積は

  • A) 10 cm²。
  • B) 25 cm²。
  • C) 40 cm²。
  • D) 50 cm²。
  • E) 75 cm²。

解答

1. 星形は三角形1つと3つの角。 三角形 $BDF$ の辺は $ACE$ の各辺を3等分する。星形のうち $ACE$ の外にある各角は、1辺が $ACE$ の $\frac{1}{3}$ の正三角形で、面積は $ACE$ の $\frac{1}{9}$。よって

$$S_{\text{星}} = T + 3\cdot\frac{T}{9} = \frac{4T}{3}$$

ここで $T$ は $ACE$ の面積。

2. 半径で表す。 半径 $R$ の円に内接する正三角形の1辺は $R\sqrt{3}$、面積は $T = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$。よって

$$S_{\text{星}} = \frac{4}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 = \sqrt{3}R^2 = 25\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad R^2 = 25$$

3. 内接正方形の対角線は $2R$ なので、面積は $\frac{(2R)^2}{2} = 2R^2 = 50$ cm²。

答え： D（50 cm²）。

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問題 6：立方体の切り口と平面

ITA により無効とされた問題。 公式の正答によれば、命題 III は正反対の判断を導く 2通りの読み方ができるため、この問題は無効とされた。

問題文

次の命題を考える。

  • I. 立方体には切り口が五角形になる平面がある。
  • II. $\alpha$、$\beta$、$\eta$ を互いに交わる異なる3平面とする。$r$ を $\alpha$ と $\beta$ の交線、$s$ を $\beta$ と $\eta$ の交線、$t$ を $\alpha$ と $\eta$ の交線とする。$r$、$s$、$t$ が互いに異なる平行線ならば、$r$ に平行で $\alpha$、$\beta$、$\eta$ から等距離にある直線がただ1つ存在する。
  • III. 交わる2平面は、一方の平面上のすべての直線が他方の平面に垂直ならば、垂直である。

正しいものは：

  • A) I のみ。
  • B) I と II のみ。
  • C) I と III のみ。
  • D) II と III のみ。
  • E) どれも正しくない。

解説

I. 正しい。 立方体の6面のうち5面と交わる平面の切り口は五角形になる。たとえば立方体 $[0, 1]^3$ で、平面 $x + y + 2z = 2.5$ は面 $x = 1$、$y = 1$、$z = 1$、$x = 0$、$y = 0$ と交わる （面 $z = 0$ とは交わらない。そこでは $x + y = 2.5$ が必要になるから）。

II. 誤り。 3平面は「無限に長い三角柱」をつくる。$r$ に垂直な断面では、3平面は三角形の 3辺を含む3直線に、$r$ に平行な直線は1点になる。3直線から等距離の点は内心と3つの傍心で、 そのような直線は1本ではなく4本ある。

III. あいまい。 「一方の平面上のすべての直線が他方の平面に垂直」を文字どおりに読むと、 この仮定は決して成り立たない（交線は両方の平面に含まれる）。そのため読み方によって、命題は 空虚に真とも、判定基準としては偽ともいえる。III が正しければ答えは C、誤りなら A である。 このあいまいさが無効の理由である。

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問題 7：ベクトルを31回回す

問題文

行列

$$A = \begin{bmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 \end{bmatrix}$$

を考える。行列 $A^{31} \times B$ は

  • A) $\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} - 1) \\ -\frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3}) \end{bmatrix}$。
  • B) $\begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{4}(1 - \sqrt{3}) \\ -\frac{\sqrt{2}}{4}(1 + \sqrt{3}) \end{bmatrix}$。
  • C) $\begin{bmatrix} \frac{1 - \sqrt{6}}{2\sqrt{2}} \\ \frac{1 + \sqrt{6}}{2\sqrt{2}} \end{bmatrix}$。
  • D) $\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{6} - 1}{2\sqrt{2}} \\ \frac{1 + \sqrt{6}}{2\sqrt{2}} \end{bmatrix}$。
  • E) 上のどれでもない。

解答

1. 回転。 $A = \begin{bmatrix} \cos 30^\circ & -\sin30^\circ \\ \sin30^\circ & \cos 30^\circ \end{bmatrix}$ はベクトルを $30^\circ$ 回転させる。よって $A^{31}$ は $31\cdot 30^\circ = 930^\circ$ の回転で、これは $930^\circ - 720^\circ = 210^\circ$ と同じである。

2. ベクトル。 $B = (\cos 45^\circ, \sin45^\circ)$。$210^\circ$ 回すと $(\cos 255^\circ, \sin255^\circ)$ になる。

3. 値。 $255^\circ = 180^\circ + 75^\circ$ なので

$$\cos 255^\circ = -\cos 75^\circ = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} - 1)$$$$\sin255^\circ = -\sin75^\circ = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3} + 1)$$

答え： A。

復習は加法定理を参照。

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問題 8：点 (2, 0) に関して対称な多項式

問題文

$p(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ を実数係数の多項式とする。$p(x)$ の根がすべて実数で、すべての $x \in \mathbb{R}$ について

$$p(2 + x) = -p(2 - x)$$

が成り立つとき、$p(0)$ のとりうる最小値は

  • A) $-10$。
  • B) $-8$。
  • C) $-6$。
  • D) $-4$。
  • E) $-2$。

解答

1. 対称性。 $q(t) = p(2 + t)$ とすると、条件は $q(t) = -q(-t)$、すなわち $q$ は奇関数である。 最高次の係数が1の3次の奇多項式は $q(t) = t^3 + kt$。よって

$$p(x) = (x - 2)^3 + k(x - 2) = (x - 2)\left[(x - 2)^2 + k\right]$$

2. 実数の根。 $x = 2$ は根で、残りは $(x - 2)^2 = -k$ から得られる。これらが実数になるのは $k \le 0$ のときに限る。

3. $p(0)$ の値。

$$p(0) = (-2)^3 + k(-2) = -8 - 2k$$

$k \le 0$ なら $-2k \ge 0$ で、$p(0) \ge -8$。等号は $k = 0$、すなわち $p(x) = (x - 2)^3$（3重根2）のとき。

答え： B（$-8$）。

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問題 9：三角形 ABV

問題文

直線 $r: 3x + 4y = -15$ と、頂点 $V$ をもつ放物線 $P: y = x^2 + x + 6$ を考える。$t$ を $P$ の接線の うち、傾きが負で $r$ と $45^\circ$ の角をなすものとする。$A$ を $t$ と $P$ の接点、$B$ を $r$ と $t$ の 交点とするとき、三角形 $ABV$ の面積は

  • A) $\frac{13}{500}$。
  • B) $\frac{25}{4}$。
  • C) $\frac{105}{8}$。
  • D) $\frac{147}{8}$。
  • E) $\frac{126}{5}$。

解答

1. 頂点。 $x_V = -\frac{1}{2}$、$y_V = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 6 = \frac{23}{4}$。

2. $t$ の傾き。 直線 $r$ の傾きは $-\frac{3}{4}$。$r$ と $45^\circ$ をなすには

$$\left|\frac{m + \frac{3}{4}}{1 - \frac{3m}{4}}\right| = 1 \quad\Rightarrow\quad m = \frac{1}{7} \quad\text{または}\quad m = -7$$

$m < 0$ なので $m = -7$。

3. 接点。 放物線の導関数は $2x + 1 = -7 \Rightarrow x = -4$、$y = 16 - 4 + 6 = 18$：$A = (-4, 18)$。 接線は $y = -7x - 10$。

4. 点 $B$。 $3x + 4(-7x - 10) = -15 \Rightarrow -25x = 25 \Rightarrow x = -1$、$y = -3$：$B = (-1, -3)$。

5. 面積。 $\overrightarrow{BA} = (-3, 21)$、$\overrightarrow{BV} = \left(\frac{1}{2}, \frac{35}{4}\right)$ より

$$S = \frac{1}{2}\left|(-3)\cdot\frac{35}{4} - 21\cdot\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2}\cdot\frac{105 + 42}{4} = \frac{147}{8}$$

接することの確認： $x^2 + x + 6 = -7x - 10 \Rightarrow x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 = 0$、重解 ✔

答え： D（$\frac{147}{8}$）。

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問題 10：正接と正割を含む連立方程式

問題文

$x, y \in \left]0, \pi/2\right[$ が連立方程式

$$\begin{cases} \tan(y)\tan\left(\dfrac{y}{2}\right) = \cos(2x)\sec(y), \\[2mm] \dfrac{\sin(y)}{\cos(x)} + \dfrac{\cos(x)}{\sin(y)} = 2 \end{cases}$$

を満たす。この連立方程式を解く $x$ と $y$ のすべての値の積は

  • A) $\frac{\pi^2}{24}$。
  • B) $\frac{\pi^4}{324}$。
  • C) $\frac{\pi^2}{50}$。
  • D) $\frac{\pi^2}{16}$。
  • E) $\frac{\pi^2}{18}$。

解答

1. 第2式。 $u = \frac{\sin y}{\cos x} > 0$ とすると $u + \frac{1}{u} = 2 \iff (u - 1)^2 = 0 \iff u = 1$。 よって $\sin y = \cos x$ で、与えられた区間では $y = \frac{\pi}{2} - x$。

2. 第1式を簡単にする。 $\tan\frac{y}{2} = \frac{1 - \cos y}{\sin y}$ を使うと

$$\tan y\tan\frac{y}{2} = \frac{\sin y}{\cos y}\cdot\frac{1 - \cos y}{\sin y} = \frac{1 - \cos y}{\cos y}$$

方程式は $\frac{1 - \cos y}{\cos y} = \frac{\cos 2x}{\cos y}$、すなわち $1 - \cos y = \cos 2x$ になる。

3. 合わせる。 $\cos y = \sin x$、$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ より

$$1 - \sin x = 1 - 2\sin^2 x \quad\Rightarrow\quad \sin x\,(2\sin x - 1) = 0$$

区間内では $\sin x = \frac{1}{2}$：$x = \frac{\pi}{6}$、$y = \frac{\pi}{3}$。

4. 積。 $x\cdot y = \frac{\pi}{6}\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{18}$。

確認： $\tan 60^\circ\tan 30^\circ = 1$、$\cos 60^\circ\sec 60^\circ = 1$ ✔； $\frac{\sin60^\circ}{\cos 30^\circ} = 1$ で $1 + 1 = 2$ ✔

答え： E（$\frac{\pi^2}{18}$）。

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問題 11：順序の制約がある全単射

問題文

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ とする。$F(1) < F(5) < F(3)$ かつ $F(7) < F(2)$ を満たす全単射 $F: A \to A$ の個数は

  • A) 3360。
  • B) 4200。
  • C) 5040。
  • D) 5880。
  • E) 6720。

解答

1. 全体。 $A$ から $A$ への全単射は $8! = 40320$ 個ある。

2. 対称性で。 3つの値 $F(1)$、$F(5)$、$F(3)$ は異なり、その $3! = 6$ 通りの並び方のうち $F(1) < F(5) < F(3)$ は1通りだけ。この3つの位置の間で値を入れ替えると全単射は6個ずつの組に 分かれ、各組でちょうど1つが条件を満たす。$F(7) < F(2)$ も同様で、因数は2。位置 $\{1, 5, 3\}$ と $\{7, 2\}$ は重ならないので、2つの因数を合わせて

$$\frac{8!}{3!\cdot 2!} = \frac{40320}{12} = 3360$$

3. 直接数える。 位置1、5、3の値3つを選び（$\binom{8}{3} = 56$、並べ方は1通り）、残り5つから 位置7、2の値2つを選び（$\binom{5}{2} = 10$、並べ方は1通り）、残り3つの値を配る（$3! = 6$）： $56\cdot 10\cdot 6 = 3360$ ✔

答え： A（3360）。

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問題 12：半径が等比数列をなす接する円

問題文

$m \in \mathbb{R}$ を正とする。数列 $r_k$ は公比 $q$、初項 $r_1 = q$ の、正の項からなる増加等比数列 である。円

$$C_k: (x - r_k)^2 + (y - mr_k)^2 = r_k^2$$

はこの順に隣どうしが外接する。$q$ を $m$ で表した式は

  • A) $\frac{\sqrt{m^2 + 1} + 1}{m}$。
  • B) $\left(\frac{\sqrt{m^2 + 1} + 1}{m}\right)^2$。
  • C) $\frac{\sqrt{m^2 + 1} - 1}{m}$。
  • D) $\left(\frac{\sqrt{m^2 + 1} - 1}{m}\right)^2$。
  • E) $\frac{m^2 + 1}{m}$。

解答

1. 中心。 $C_k$ の中心は直線 $y = mx$ 上の点 $(r_k, mr_k)$ で、半径は $r_k$。$C_k$ と $C_{k+1}$ の 中心間の距離は

$$\sqrt{(r_{k+1} - r_k)^2 + m^2(r_{k+1} - r_k)^2} = (r_{k+1} - r_k)\sqrt{1 + m^2}$$

2. 外接。 中心間の距離 = 半径の和：

$$(r_{k+1} - r_k)\sqrt{1 + m^2} = r_{k+1} + r_k$$

$r_k$ で割る（$r_{k+1} = q\,r_k$ を使う）と $(q - 1)\sqrt{1 + m^2} = q + 1$。この条件は $k$ によらない ので、隣り合うすべての組で成り立つ。

3. $q$ を求める。 $s = \sqrt{1 + m^2}$ とすると

$$q = \frac{s + 1}{s - 1} = \frac{(s + 1)^2}{s^2 - 1} = \frac{(s + 1)^2}{m^2} = \left(\frac{\sqrt{m^2 + 1} + 1}{m}\right)^2$$

$m = \frac{4}{3}$ で確認： $s = \frac{5}{3}$、$q = \frac{8/3}{2/3} = 4$ で、公式も $\left(\frac{8/3}{4/3}\right)^2 = 4$ を与える ✔

答え： B。

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