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手と耳で読む：点字とネメス・コード

ふつうの数学の書きものは二次元である。$\frac{x+1}{2}$ では、横線の上にあるものが下にあるもので割られる。$x^2$ では $2$ が高いところにあるので指数である。$\sqrt{x+1}$ では、根号の線が中にあるものをちょうどおおっている。位置は記号の一部であり、数の中の数字の位置と同じである。目はこれらすべてを一度に読む。では、目で読まない人はどうするのか。 ブライユの点 1829 年、五歳から目が見えず、パリの王立盲青少年学院で教えていたフランスのルイ・ブライユは、六つの浮き出た点を三つずつ二列に並べた書き方の体系を発表した。点の組み合わせのひとつひとつが記号である。少なくともひとつの点をもつ組み合わせは $2^6 - 1 = 63$ 通りあり、文字、句読点、数を表すのに十分だった。数については、ブライユは経済的な工夫をした。最初の十文字の前に数符を置くと、$a$ が $1$、$b$ が $2$、そして $j$ が $0$ を表すのである。 点字は線形の書きものである。記号がひとつずつ、一列に並ぶ。それで数学を書くには、ふつうの書きものが位置で言っていることを記号で言わなければならない。分数がどこで始まりどこで終わるか、指数がどこで終わるか、根号がどこまでかかるか。 キュバリトム 計算のためには、盲学校で長いあいだキュバリトム（cubarithme）が使われた。正方形のますに区切った盤に小さな立方体をはめこむもので、立方体の各面には点字の数字がついている。生徒はノートと同じように、一の位を一の位の下にそろえて筆算を組み、指で列をさわる。位置がもどってくる。今度は触覚を通じて。 フランスの雑誌『研究と発明』（Recherches et inventions、1926）によるキュバリトムの紹介。点字の数字のついた立方体をはめこむます目の盤で、触覚で筆算をする。Pierre Villey · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン ネメス・コード アメリカのアブラハム・ネメス（1918–2013）は生まれつき目が見えず、数学を学ばないよう助言された。式を読む手段がないだろう、と言われたのである。彼は心理学を専攻し、ほかの仕事をしながら、余暇に数学の勉強を続けた。そしてついにコロンビア大学で数学の博士号をとり、何十年も大学で教えた。学んでいることを読み書きするために、彼は数学のための点字コードをつくった。それは 1952 年にアメリカで公式に採用され、いまもネメス・コードとして知られている。 このコードの中心にある考えは、位置を開始と終了の記号に変えることである。分数は「分数の始め、分子、横線、分母、分数の終わり」と書かれ、指数は「一段上がる、指数、基線にもどる」と書かれる。これは、今日私たちが別の理由で、キーボードで数学を打ちこむときにしていることと同じである。 $$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$は、このサイト全体で使われている書き方であるクヌースの TeX では \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} となり、位置の代わりに波かっこが使われる。どちらの場合も、線形にすることが構造をあらわにする。書き手は、各部分がどこで始まりどこで終わるかを言わざるをえないのである。 声に出して読む スクリーンリーダーも、式を読み上げる先生も、同じ問題にぶつかる。「$x$ たす一、割る二」は $\frac{x+1}{2}$ かもしれないし、$x + \frac{1}{2}$ かもしれない。ふつうの話しことばでは、ちがいは間や抑揚でつけるが、それは文字にすると消えてしまう。数学を読み上げるスクリーンリーダーは、ネメスと同じやり方で解決する。「分数の始め、$x$ たす一、割る二、分数の終わり」と言うのである。重たく聞こえるが、それはまさに、図がことばなしに目にわたしている情報なのである。 ことば、音楽、聖歌 ルイ・ブライユが 1829 年に自分の体系を発表した本の題は、『点によってことば、音楽、聖歌を書く方法』（Procédé pour écrire les paroles, la musique et le plain-chant au moyen de points）だった。楽譜は式と同じように平面の上の書きものであり、高い音や低い音、積み重なった和音がある。それもまた、指で読むためには一列に並べなければならなかった。 練習：あいまいさなく読み上げる聞き手がまちがえようのないように、$\sqrt{x+1}$、$\sqrt{x} + 1$、$\frac{\sqrt{x+1}}{2}$ をことばで書け。 「ルート、開き、$x$ たす一、閉じ。」「ルート $x$、ルートの終わり、たす一。」「分数の始め。ルート、開き、$x$ たす一、閉じ。割る二。分数の終わり。」「開き」「閉じ」「終わり」ということばが、ふつうの書きものの描く線の役目をはたしている。

October 25, 2026 読んだ
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考えるために書く：ガウスとラマヌジャンのノート

数学の書きものには、かならず読み手がいる。読み手は別の人のこともあれば、数日後あるいは数年後の書き手自身のこともある。この二つはまったくちがう書き方を求める。そして二冊の有名なノートは、自分のために書かれた文章が他人の手にわたると何が起こるかを示している。 ガウスの日記 1796 年 3 月 30 日、ゲッティンゲンの 18 歳の学生が小さなノートを開き、ラテン語で書きとめた。定規とコンパスで円周を 17 等分する方法を見つけた、と。ギリシア以来の未解決問題である。それがカール・フリードリヒ・ガウスであり、彼が文献学ではなく数学を選んだのは、この結果のためだった。その後の十八年間に、彼はこのノートに 146 の短い記録を書いた。ほとんどがひとつの文で、ときに式ひとつである。 ガウスの日記の最初の記録、1796 年 3 月 30 日。円を十七に分けることの基礎となる原理。Carl Friedrich Gauss · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン もっとも有名なのは 1796 年 7 月 10 日の記録である。 「ΕΥΡΗΚΑ num = Δ + Δ + Δ」：どの数も三つの三角数の和である。ガウスの日記、1796 年 7 月 10 日。Carl Friedrich Gauss · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン 五つの記号とひとつのギリシア語。ガウスにはそれで十分だった。彼は $\Delta$ が三角数（$0, 1, 3, 6, 10, 15, \ldots$、つまり $\frac{n(n+1)}{2}$ の形の数）を、「num」が任意の正の整数を意味すること、そして「エウレカ」が、フェルマーが 1638 年に証明なしで述べた主張の証明を祝っていることを知っていた。完全な証明は五年後、『整数論研究』で発表された。

October 25, 2026 読んだ
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筋の通った誤り：まちがった規則

クラスで $(a+b)^2$ はいくつかと聞くと、一部の生徒は $a^2 + b^2$ と答える。$\sqrt{9 + 16}$ はいくつかと聞くと、だれかが $3 + 4 = 7$ と言う。これらの誤りはあまりにありふれていて、学校がちがってもあまりに似ているので、偶然ではありえない。ある規則に従っているのである。 広げすぎた規則 1982 年、アメリカの研究者マリリン・マッツは高校生の代数の誤りを調べ、その多くが正しい規則から組み立てられたまちがった規則（malrules）から来ていると提案した。中でもいちばん多くの誤りを生むのは分配法則である。 $$a(b + c) = ab + ac.$$これは正しく、早くから出てきて、いつも使われる。生徒は「外にあるものは各項に入る」と覚え、だれもそうではないと言わなかったので、和に何かの演算をほどこしているように見えるものすべてに、その動作を広げる。 $$(a+b)^2 \overset{?}{=} a^2 + b^2, \quad \sqrt{a+b} \overset{?}{=} \sqrt{a} + \sqrt{b}, \quad \frac{1}{a+b} \overset{?}{=} \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, \quad \sin(a+b) \overset{?}{=} \sin a + \sin b.$$どれもまちがっている。どれも分配法則と同じ形をしている。記法の観点から見ると、生徒は書かれたものをとてもよく読んでいる。見た目のパターンを見つけ、それを一貫して当てはめている。欠けているのは、形だけでは足りないと知ることである。分配法則がかけ算について成り立つのは、かけ算がどういうものかによるのであって、かっこの見た目によるのではない。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 虫めがねとしての反例 まちがった規則をくずす道具は反例、つまりその規則が成り立たないたったひとつの場合である。$a = 3$、$b = 4$ とすると、$(a+b)^2 = 49$、$a^2 + b^2 = 25$。これで終わりだ。規則は死んだ。$(ab)^2 = a^2 b^2$ のような正しい規則は、どんな試しにも生き残る。上の図で試してみることができる。

October 25, 2026 読んだ
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だれも書かない約束

どんな書きことばにも、だれも習った覚えのない規則がある。日本語の横書きは左から右へ、縦書きは上から下へ読む。アラビア語は右から左へ読む。数学の書きことばにもこの種の規則があり、中には数学の真理のように見えるほど強いものもある。だがそうではない。それは約束、つまりほかのものでもありえた取り決めなのである。 演算の順序 $2 + 3 \cdot 4$ はいくつか。ほとんどだれもが $14$ と答える。まずかけ算、それから足し算。しかし数学の中に、この順序を強いるものは何もない。もし約束が「左から右へ」だったら、答えは $20$ になる。私たちの使う規則（累乗、次にかけ算と割り算、最後に足し算とひき算）は、16 世紀から 19 世紀の代数の本の中で少しずつ定着した。いちばんよく出てくる式でかっこを節約できるからである。$3x^2 + 2x + 1$ のような多項式は、ほかの規則では読めたものではない。 アメリカの生徒はこれを PEMDAS、イギリスの生徒は BODMAS と覚える。名前はちがっても約束は同じで、そこには、ときどき SNS に顔を出すすきまがある。 $$6 \div 2(1+2) = \ ?$$規則を文字どおりに当てはめ、かけ算と割り算のあいだでは左から右へ計算する人は、$6 \div 2 = 3$、それから $3 \cdot 3 = 9$ とする。かけ算が記号なしの暗黙のかけ算なので $2(1+2)$ をひとかたまりとして読む人は、$6 \div 6 = 1$ とする。どちらの読み方にも支持者がいて、科学論文の書式規定の中には二つめを好むものもある。大事なのは、どちらが正しいかを決めることではない。この式が書き方として悪いことに気づくことである。数学者は決してこう書かない。$\frac{6}{2}(1+2)$ か $\frac{6}{2(1+2)}$ と書き、疑問は消える。 ふるまいの悪い記号 $-3^2$。 累乗はマイナスの符号より先なので、$-3^2 = -(3^2) = -9$ である。$9$ を得るには $(-3)^2$ と書く。多くの電卓や表計算ソフトはこの約束に従うが、従わないものもある。 $\sin^2 x$。 これは $(\sin x)^2$ を意味する。かっこを一組節約する古い習慣である。ところが $\sin^{-1} x$ は逆関数 $\arcsin x$ を意味し、$\frac{1}{\sin x}$ ではない。同じ記号の上の同じ指数が二つの意味をもつ。第3章で見たとおりである。 $2a$ と $2\tfrac{1}{2}$。 数と文字を並べるとかけ算を意味する。$2a = 2 \cdot a$。帯分数を使う本で数と分数を並べると、足し算を意味する。$2\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2}$。同じ並べ方で、二つの演算。 $f(x+1)$ と $a(x+1)$。 前者は関数 $f$ の点 $x+1$ での値、後者は積である。かっこの前の文字が関数なのか数なのかは、文脈しか教えてくれない。 コンマとピリオド ブラジルでは $1{,}5$ は一・五で、$1.500$ は千五百である。アメリカではその逆で、$1.5$ が一・五、$1,500$ が千五百である。同じ書き方 $1.000$ が、ある国では千、別の国では一を表す。2003 年に国際度量衡総会は小数点としてコンマとピリオドの両方を認め、千ごとの区切りには細いスペースを使う、$1\,500$ のように書くことを勧めた。数が読み手の国によって変わらないようにするためである。

October 25, 2026 読んだ
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船長の年齢：文章題から方程式へ

1970 年代の終わりに、フランス・グルノーブルの数学教育研究所（IREM）の研究者たちが、小学生に奇妙な問題を出した。 船に羊が 26 頭、ヤギが 10 頭いる。船長は何歳か。 この問題には答えがない。問題文のどこにも、だれの年齢も出てこない。それなのに、教育者ステラ・バリュクが著書『船長の年齢』（L’âge du capitaine、1985）で有名にした報告によれば、97 人中 76 人の子どもが数で答えた。ほとんどが $36$、つまり問題文に出てきた二つの数の和である。 隠れた契約 子どもたちはうっかりしていたのではない。学校が口に出さずに教えた規則に、とても論理的に従っていたのである。どの問題にも答えがある、答えは数である、問題文の数はすべて使う、演算はことばが示しているものである。フランスの研究者ギ・ブルソーは、この暗黙の規則の集まりを教授学的契約と呼んだ。契約が文章より重くなると、文章は読まれなくなる。 人を誤らせるキーワード 契約のひとつにキーワードの規則がある。「多い」は足し算、「残り」はひき算、「それぞれ」はかけ算。教科書の多くの問題ではうまくいくので、身にしみつく。しかし文を逆にするだけでよい。 アナはアメを 12 個持っていて、ビアより 4 個多い。ビアはアメを何個持っているか。 「多い」ということばに従う人は足し算をして $16$ と答える。読む人は、ビアのほうが少ないことに気づく。$12 - 4 = 8$ である。記号のレジスターで書くと、問題文は $A = B + 4$、ただし $A = 12$ となる。方程式には「$+$」があるのに、求められている計算はひき算である。ことばが述べているのは量どうしの関係であって、読み手が行うべき演算ではない。 文章から方程式へのこの移行は、第2章で見たデュヴァルの意味での、表現レジスターのあいだの変換である。それは、ことばの順序と記号の順序が一致しないときにこそ難しい。 ポリアの四つの段階 ハンガリーの数学者ジョージ・ポリアは『いかにして問題をとくか』（How to Solve It、1945）で、いまも役に立つ手順をまとめた。 問題を理解する。 未知のものは何か。与えられているものは何か。条件は何か。問題を自分のことばで言えるか。 計画を立てる。 関連する問題を知っているか。量に名前をつけ、条件を方程式として書けるか。 計画を実行する。 計算をし、一歩ずつ確かめる。 ふり返る。 答えは筋が通っているか。単位は正しいか。問われたことに答えているか。 理解していない問いに答えるのは愚かなことである。 — ジョージ・ポリア『いかにして問題をとくか』（1945） 最初の段階があれば、グルノーブルの子どもたちは救われただろう。未知のものはある人の年齢であり、それについて述べているデータはひとつもない。最後の段階でもそうだ。$36$ 歳の船長はありそうな話だが、「この $36$ はどこから来たのか」という問いには答えがない。 練習：逆向きの値引き$20\%$ 値引きしたあと、シャツの値段は 40 レアルである。もとの値段はいくらだったか。「48 レアル」という答えはなぜまちがいなのか。 もとの値段を $p$ とすると、問題文は $0.8\,p = 40$ と言っているので、$p = 50$ である。$48$ という答えはキーワードから来る。「20% 値引き」は $40$ の $20\%$ をいじることを思わせる。しかしこの $20\%$ はもとの値段の $20\%$ であって、値引き後の値段のものではない。確かめると、$50$ の $20\%$ は $10$ で、$50 - 10 = 40$ である。

October 25, 2026 読んだ
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ひとつの文に二つの言語：数学のレジスター

日本語で書かれた数学の文章は、同時に二つの言語で書かれている。ひとつは記号の言語、$=$、$+$、$x$、$\sqrt{\ }$ である。もうひとつは日本語に見えるが、そのままの日本語ではない。ふだんのことばを数学者どうしで取り決めた意味で使っていて、二つが同じ文の中で混ざり合う。 イギリスの言語学者マイケル・ハリデーは 1970 年代に、この言語の変種を数学のレジスターと呼んだ。レジスターとは、ある活動に結びついた話し方のことで、台所のことば（「さっと炒める」「とろみをつける」）やサッカーのことば（「オフサイド」「セットプレー」）がそれにあたる。数学のレジスターには、もうひとつ厄介な点がある。そのことばの多くがふだんのことばとして別の意味ですでに存在し、意味が変わるときに読み手には知らされないのである。 意味の変わることば イギリスの数学教育学者デイヴィッド・ピムは、著書『数学を話す』（Speaking Mathematically、1987）で、そうした例をたくさん集めた。日本語でも次のようなものがある。 積はかけ算の結果であって、積もったものではない。 差はひき算の結果である。「7 と 3 の差は？」が求めているのは $4$ であって、「どちらも奇数」ではない。 体積は空間の大きさをはかる量である。 根は、第1章で見たように正方形の辺であり、多項式を 0 にする値でもある。 正規、有理、実は、ふつう、筋が通っている、本当の、という意味ではない。 平均には算術平均も幾何平均も加重平均もある。新聞に出てくるのは、ほとんどいつもそのうちのひとつだ。 いちばんの危険は名詞にはない。名詞なら用語集で片づく。危険は小さなことばにある。 小さなことば 「または」。 ふだん「コーヒーまたは紅茶？」はひとつを選ぶことを期待している。数学では、「$x > 0$ または $y > 0$」は両方が正のときにも成り立つ。数学の「または」は包含的である。排他的な「または」は、「どちらか一方だけで、両方ではない」とはっきり言わなければならない。 「ならば」。 「雨が降ったら行かない」は、ふつう「降らなければ行く」と受けとられる。数学では、「$n$ が 4 の倍数ならば、$n$ は偶数である」は、4 の倍数でない数については何も言っていない。$6$ は偶数だが 4 の倍数ではなく、それでもこの文は正しい。両方を言うために、数学には別の言い方「のとき、かつそのときに限り」と、別の記号、第4章の $\Leftrightarrow$ がある。 「ある」。 「ある生徒が休んだ」は、会話では全員ではないことをほのめかす。数学では、「ある素数は偶数である」は「少なくともひとつ」という意味でしかなく、全部がそうであっても正しいままである。 「何倍多い」。 「ペドロはアナより三倍多くシールを持っている。」アナが $10$ 枚持っているとき、ペドロは $30$ 枚（アナの三倍）なのか、$40$ 枚（アナの分に、その三倍を足したもの）なのか。辞書や文章作法の本でも意見が分かれる。数学のレジスターは、その言い方を三倍に置きかえて疑いを避ける。 足す「と」と、求める「かつ」 「二と三で五」の「と」は足し算である。「$x > 2$ かつ $x < 5$」では、それは二重の要求である。二つの条件が同時に成り立ち、集合は大きくではなく小さくなる。ポルトガル語では両方を同じ接続詞 e で言い、同じことばが正反対の操作を命じる。学ぶ人は、そのどちらが働いているのかを文脈から見ぬかなければならない。 レジスターを身につける 数学のレジスターは、定義の一覧で命令して身につくものではない。どの言語とも同じように、使われているのを聞き、話し、直されることで身につく。だから $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$ のような文を生徒に声に出して読ませる（「すべての実数 $x$ について、$x$ の二乗は 0 以上である」）のは、時間のむだではない。それはひとつの言語からもうひとつの言語への移しかえであり、読みがどこでつまずいているかを見せてくれる。

October 25, 2026 読んだ
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計算する前に読む：ボグダノフ＝ベリスキーの絵

1895 年、ロシアの画家ニコライ・ボグダノフ＝ベリスキーは『暗算。ラチンスキーの国民学校にて』という絵を発表した。村の教室で、はだしの農民の少年たちが黒板を見つめている。あごに手をあてている子もいれば、先生の耳もとでささやいている子もいる。黒板にはこう書かれている。 $$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}.$$ ニコライ・ボグダノフ＝ベリスキー『暗算。ラチンスキーの国民学校にて』（1895）。モスクワ、トレチャコフ美術館。Nikolai Bogdanov-Belsky · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン この先生は実在した。セルゲイ・ラチンスキーはモスクワ大学の植物学の教授だったが、その経歴を捨て、自分の生まれたタテヴォ村で農民の子どもたちを教えた。とても大きく見えるのに近道のある計算を出すのが好きだった。ボグダノフ＝ベリスキー自身も、かつて彼の生徒だった。 しなくてよい計算 読む順番に計算する人は、五つの数を二乗し、三けたの結果を足し、$365$ で割らなければならない。できるが、長い。先に見る人は、別のことに気づく。 $$10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365, \qquad 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365.$$分子は $365 + 365$ で、答えは $2$ である。分母の $365$ がヒントだった。分子がその大きさのかたまりに分かれるはずだと知らせていたのである。 二つの道のちがいは、計算の腕前にあるのではない。読み方にある。式には形がある。どんな計算をする前にも、それが分数であること、分子が五つの平方の和であること、数が連続していることが見てとれる。第2章は、どの式にも木が隠れていることを示した。よく読むとは、木に登る前に木を見ることである。 二つの顔をもつ記号 ラチンスキーの少年たちにとって、$13^2$ は指示（「13 に 13 をかけよ」）であると同時に、もの（ほかの数に足すことのできる数 $169$）でもある。数学教育学者のエディ・グレイとデイヴィッド・トールは 1994 年の論文で、この二重の役割をプロセプト（procept）、つまり過程（process）と概念（concept）を合わせたものと呼んだ。同じ記号 $3+4$ は「3 と 4 を足せ」とも、数 $7$ とも読める。$\frac{a}{b}$ は「割れ」とも、ほかの分数と比べられるひとつの分数とも読める。

October 25, 2026 読んだ
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数える、言う、書く

残っているもっとも古い書かれた数学は、刻み目のついた骨である。イシャンゴの骨は 1950 年に、コンゴ民主共和国とウガンダの国境にあるエドワード湖のほとりで見つかった。およそ二万年前のもので、三列に分かれた平行な刻み目の群れが彫られている。それが何を数えていたのか、確かなことはだれにも分からない。しかし考え方ははっきりしている。ひとつのものにひとつの印である。 イシャンゴの骨。柄にそって刻み目の群れが彫られている。ブリュッセル自然科学博物館。Joeykentin · ウィキメディア・コモンズ · CC BY-SA 4.0 第2章のことばで言えば、刻み目はイコンである。五本の刻み目は五匹の羊に似ている。少なくとも数において。だからこの書き方は教える必要がない。見ればわかる。代償は長さだ。千を書くには、千本の刻み目がいる。 ひとつの数の三つの表し方 いま私たちが書く数は、刻み目の正反対である。数字 $3$ は三つのものに似ていないし、$304$ の中の $3$ が三百を表すのは、第1章で見たように、それが三番目の位にあるからにすぎない。数えることを学ぶ子どもは、たがいに少しも似ていない三つの表し方を結びつけなければならない。 見たり触ったりできる量 話しことばの数詞、ポルトガル語なら「トレゼントス・イ・クアトロ」（三百と四） 書かれた数字、$304$ 数詞と数字は文法がちがう。話しことばはかたまりを足す。三百、と、四。書きことばは数字を位に置く。$0$ は十の位を占めるが、ポルトガル語や英語の話しことばはそれに触れもしない。子どもが聞いたとおりにかたまりごとに書くと、$3004$ になる。「三百」の $300$ のあとに「四」の $4$ が続くのである。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 この誤りには名前があり、転記の誤りと呼ばれて、多くの国で研究されてきた。それは系統的である。話しことばが空いた位を隠す数にこそ現れ、子どもが「ひとつの位にはひとつの数字、ただひとつだけ」と理解すると、ほとんど消えてしまう。不注意ではない。話しことばには通用し、書きことばには通用しない規則を、忠実に当てはめた結果なのである。 助ける言語とじゃまをする言語 ポルトガル語では、十一から十五までの名前は不透明である。onze は「十と一」とは言わない。英語の eleven や twelve はさらに不透明だ。フランス語では $97$ を quatre-vingt-dix-sept、「四つの二十、十、七」と言う。ひとつの語の中に計算がまるごと入っている。二十ずつ数えた時代の名残である。 中国語と日本語では、名前が書き方にそっている。十一は「十一」、九十七は「九十七」。位取りの構造がことばの中にある。比較研究の中には、たとえば 1980 年代の終わりにイリーン・ミウラらが行ったもののように、東アジアの子どもが同じ年齢のアメリカの子どもより早く、ブロックで十の位と一の位を表せるようになることを見いだしたものがある。ちがいは言語だけによるのではない（学校や家庭の影響も大きい）。それでも、話しことばの数詞が数字を読むのを助けもすれば、じゃまもすることがわかる。 声に出るゼロ 中国語では $1504$ を「一千五百零四」、yī qiān wǔ bǎi líng sì と読む。「千、五百、ゼロ、四」である。言語が空いた位を発音する。ポルトガル語では mil quinhentos e quatro、「千五百と四」と言い、十の位のゼロは話しことばから消える。子どもがつまずくのは、まさにそこである。 練習：誤りを読む先生がポルトガル語で quinhentos e sete（「五百と七」）と読み上げると、ある子どもは $5007$ と書き、dois mil e dez（「二千と十」）と読み上げると $200010$ と書く。この子はどんな規則に従っているのだろうか。 話しことばのかたまりを、それぞれひとつの完全な数として書き、それらをつなげている。$500$ のあとに $7$ で $5007$、$2000$ のあとに $10$ で $200010$ である。規則は一貫しているので、誤りはくり返される。欠けているのは、$7$ が $500$ の横に並ぶのではなく、$500$ の一の位を占めるという考えだ。$500+7=507$、同じように $2000+10=2010$ である。

October 25, 2026 読んだ
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参考文献と図版出典

さらに読むために Euler, Leonhard. Lettres à une princesse d’Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie. Saint Petersburg, 1768–1772。第 102 から第 108 の手紙が円を使って三段論法を論じている。 Venn, John. On the diagrammatic and mechanical representation of propositions and reasonings. The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine, 10, 1880, pp. 1–18. Peirce, Charles S. Collected Papers, vol. 4. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933。図と図式的推論について。 Clagett, Marshall (ed.). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions. Madison: University of Wisconsin Press, 1968. Playfair, William. The Commercial and Political Atlas. London, 1786. Tufte, Edward R. The Visual Display of Quantitative Information. Cheshire: Graphics Press, 1983. Huff, Darrell. How to Lie with Statistics. New York: W. W. Norton, 1954. Cleveland, William S. The Elements of Graphing Data. Monterey: Wadsworth, 1985. Argand, Jean-Robert. Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Paris, 1806. Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √−1. Princeton: Princeton University Press, 1998. Nelsen, Roger B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington: Mathematical Association of America, 1993. Abbott, Edwin A. Flatland: A Romance of Many Dimensions. London: Seeley, 1884. Garland, Ken. Mr Beck’s Underground Map. Harrow Weald: Capital Transport, 1994. 図版出典 図版 出典 ライセンス プレイフェアのイギリスとアフリカの輸出入のグラフ（1786） Wikimedia Commons パブリックドメイン ジョン・スノウのコレラ地図（1854） Wikimedia Commons パブリックドメイン フローレンス・ナイチンゲールの死因の図（1858） Wikimedia Commons パブリックドメイン シャルル・ミナールのロシア遠征の図（1869） Wikimedia Commons パブリックドメイン アルガンの論文の扉（1806） Wikimedia Commons パブリックドメイン 1652 年のケーニヒスベルク、メーリアンの後継者による版画 Wikimedia Commons パブリックドメイン 『フラットランド』の扉、1885 年アメリカ版 Wikimedia Commons パブリックドメイン アボットによるフラットランドの家の平面図 Wikimedia Commons パブリックドメイン オイラーの円、オレームの緯度、階段の和の説明図は本書のために作成したもので、図の中に文字がないため四つの言語で共通に使える。インタラクティブな図（グラフの目盛り、アルガン平面、超立方体）はサイトの四つの言語すべてで動く。画像のダウンロード記録と各ファイルのハッシュは data/semiotica_imagens.json にある。

October 19, 2026 読んだ
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図の読み方：手引きと用語集

この章は図を読んできた。以下の手引きは、式を読むのと同じ注意深さで図を読むための問いをまとめたものである。 図についての五つの問い 図は何を写しているか。 図はいくつかの関係のイコンであって、すべての関係のイコンではない。グラフ理論のグラフではつながりだけ、ヴェン図では包含だけである。大事なものを見つけ、残りは無視しよう。 何が約束事か。 目盛り、軸の始まり、色、枠の比率。これらの選択は主張の形では現れないが、目が引き出す結論を変える。 長さか、面積か、角度か。 目は長さを比べるのは得意で、面積は下手で、角度はもっと下手である。どれが情報を担っているか、それが正しい比率で描かれているかを問おう。 図は証明しているのか、例示しているのか。 目が使うすべての関係が論証で保証できるなら、図は証明である。そうでなければ例示にすぎず、だますこともある。 何が抜け落ちているか。 余分な次元、入りきらない変数、軸で切り落とされた値。どの図も一つの選択であり、選択そのものが何かを語っている。 新聞のグラフ一枚の完全な読解 ある新聞が折れ線グラフで、ある品物の価格が一年で 10.00 から 10.50 に上がったことを示している。縦軸は 9.90 から 10.60 まで。線はグラフの下端から上端まで駆け上がっている。 何を写しているか： 時間に沿った価格の順序。これは正しい。 約束事： 軸がゼロから始まっていない。折れ線グラフではそれが正当なこともあるが、高さはもう大きさを測っていない。 何が情報を担っているか： 傾き。枠が縦に引き伸ばされているので、急に見える。 証明か例示か： 図は $5\%$ の上昇を例示しているが、急騰をほのめかしている。 何が抜け落ちているか： その期間のインフレ。インフレが $6\%$ なら、価格は実質的には下がっており、図は話を逆向きに語っている。 用語集 図。 平面上の図形の配置によって関係を表す記号。 関係のイコン。 パースにおいて、物そのものではなく、物どうしの関係の構造において対象に似ている記号。 オイラー図。 集合のあいだのわかっている関係に従って置かれた円。内側、外側、交わり。 ヴェン図。 常に交わる円で、$2^n$ 個の領域をすべて示し、空の領域に影をつける。 緯度と経度（オレーム）。 性質の強さ（縦）を広がり（横）に沿って並べたもの。関数のグラフの祖先。 対数目盛り。 同じ長さ進むごとに同じ因数がかけられる軸。指数的な成長を直線にする。 切り詰められた軸。 ゼロから始まらない軸。棒グラフでは差を誇張する。 複素平面（アルガン平面）。 $a+bi$ を点 $(a,b)$ として表すもの。$i$ をかけることは $90°$ 回すこと。 グラフ（グラフ理論）。 点（頂点）と線（辺）で、何が何とつながっているかだけが大事なもの。 平面グラフ。 交差なしに描けるグラフ。 言葉のない証明。 ほとんど、あるいはまったく説明なしに証明を見て取れるようにする図。 射影。 対象の、より低い次元の空間への影。たとえば紙に描いた立方体。 練習：手引きを使うある円グラフが、四つの会社の市場シェアを 23%、25%、26%、26% と示している。手引きは何と言うか。 情報は角度にあり、目は角度を比べるのが下手である。四切れは同じ大きさに見える。問いが「どこが先頭か」なら、長さを比べる棒グラフが差を示すだろう。問いが「市場は分け合われているか」なら、円グラフはよく答えている。小さな差を隠すからこそである。

October 19, 2026 読んだ
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四次元：見えないものを描く

この章の図にはすべて一つの利点があった。表す対象を、なんらかの仕方で紙の上に置けたことである。しかし数学は、四次元、十次元、百万次元の空間についても平然と語る。代数には何の困難もない。四次元空間の点とは、四つの数のリスト $(x,y,z,w)$ にすぎない。だが目は三次元に住んでいる。見えないものをどう描けばよいのか。 フラットランド 『フラットランド：多次元の物語』の扉。著者は「一つの正方形」とされている。1885 年のアメリカ版。本当の著者はイギリスの校長エドウィン・アボットである。Edwin A. Abbott · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1884 年、ロンドンのある学校の校長エドウィン・アボットは、一つの正方形という筆名で『フラットランド』という小説を出版した。語り手は二次元の世界に住む正方形で、そこには三角形、正方形、五角形、円が住んでいる。住民に見えるのは線分だけである。横から見れば、どの多角形も一本の線なのだ。 ある日、一つの球がフラットランドにやってくる。正方形は、一つの点が現れ、円に育ち、また縮んで消えるのを見る。それは平面を通り抜ける球の切り口だった。彼は球が何なのか理解できなかったが、平面から連れ出され、自分の世界を上から見て、ようやく理解する。戻った彼は三次元について語ろうとし、異端の罪で投獄されてしまう。 アボット自身が描いたフラットランドの家の平面図。五角形で、男性用と女性用の二つの扉がある。住民にとって、これが家を見るただ一つの見方である。Edwin A. Abbott · Wikimedia Commons · パブリックドメイン アボットの教えは一つの方法である。類比によって推論することだ。私たちは球を前にしたあの正方形である。私たちの空間を通り抜ける四次元の物体は、大きくなってはまた小さくなる三次元の切り口の列として現れるだろう。その全体を見ることはできない。だが問うことはできる。一つ下の次元の住民には、それはどう見えるだろうか。 見ずに数える 数を使えば、類比はさらによく働く。各次元の「立方体」の列を見てみよう。 次元 対象 頂点 辺 0 点 1 0 1 線分 2 1 2 正方形 4 4 3 立方体 8 12 4 超立方体 16 32 ある次元から次の次元へ移るには、対象を一つ写し、各頂点をその写しと結べばよい。頂点の数は倍になる。$2^n$ である。辺の数は、もとの辺と写しの辺と新しい結び線を合わせたもの、$2E+V$ である。立方体から超立方体へは $2\cdot12+8=32$。超立方体の 32 本の辺を見た人は誰もいないが、この数え方は確かである。記号と推論は、目の届かないところまで届く。超立方体のもう一つの名前テッセラクト（tesseract）は、イギリスの数学者チャールズ・ハワード・ヒントンが 1888 年に作った言葉である。 超立方体の影 描けるのは影である。立方体の紙の上の影は、頂点どうしを結んだ二つの正方形だ。超立方体の私たちの空間での影は、頂点どうしを結んだ二つの立方体で、一方が他方の中に入っている。そしてその影の紙の上の影が、下の図である。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。

October 19, 2026 読んだ
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言葉のない証明

1993 年、アメリカ数学協会は風変わりな本を出版した。ロジャー・ネルセンの編による『言葉のない証明』である。各ページに図が一つあり、ときにはその下に式が一つある。文は一つもない。読者が見て、理解して、誰の説明もなしに納得することが狙いである。この本は大成功を収め、さらに二巻が続き、『マセマティクス・マガジン』誌はいまもこうした証明を載せている。 長方形になる階段 1、2、3、4 個の小さな正方形でできた階段と、同じ階段二つでできた 4×5 の長方形。本書のために作成した説明図。 $1+2+3+4$ はいくつか。小さな正方形を並べて階段を描く。それをもう一つ写して、回して横に並べる。二つの階段は $4\times5$ の長方形、つまり $20$ 個の正方形になる。それぞれの階段はその半分である。 $$1+2+3+4=\frac{4\cdot5}{2}=10.$$しかもこの図は $4$ に依存しない。$n$ 段の階段二つは $n\times(n+1)$ の長方形になるので、 $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$第4章では、この公式を代数の帰納法で証明した。図は同じことを別のやり方で証明する。一歩ずつ進むのではなく、なぜ長方形の半分が現れるのかを見るのである。 「見よ！」 もっとも有名な言葉のない証明は、12 世紀インドの数学者バースカラのものとされるピタゴラスの定理の証明である。直角をはさむ辺が $a$ と $b$、斜辺が $c$ の直角三角形を四つ、一辺 $c$ の正方形の中に置くと、中央に一辺 $b-a$ の小さな正方形が残る。伝説によれば、バースカラはその下にただ一語、**「見よ！」**と書いた。面積から $$c^2=4\cdot\frac{ab}{2}+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2.$$おもしろいことに、この「言葉のない証明」を確かめるには一行の代数が必要である。図は部品を示し、計算はそれがぴったり合うことを保証する。 図が証明するとき、だますとき 第1章では、ギリシア人の図形への不信を見た。その不信には理由がある。アマチュア奇術師ポール・カリーが 1953 年に広めた消える正方形のパズルでは、四つのピースで三角形を作り、ピースを入れ替えると、同じ大きさの三角形ができるのに正方形が一つ欠けている。面積はどこへ行ったのか。 秘密は、二つの「三角形」がどちらも三角形ではないことにある。二つの三角形のピースは傾きが違い、それぞれ $\frac25=0.4$ と $\frac38=0.375$ である。いわゆる「斜辺」は実は折れ線で、一方の並べ方ではわずかに内側にへこみ、もう一方ではわずかに外側にふくらむ。その差がちょうど正方形一つ分で、目には見えないほど細い帯に広がっている。 言葉のない証明が証明であるのは、目が頼っているすべての関係――「これらの線は平行だ」「これらの点は一直線上にある」「これらのピースはぴったり合う」――が論証によって保証できるときだけである。目が図の保証する以上のことを仮定するとき、図は錯覚になる。 半分ずつ塗られる正方形 面積 $1$ の正方形をとる。半分を塗り、残りの半分を塗り、さらに残りの半分を塗る。塗った面積は $\frac12$、$\frac14$、$\frac18$ であり、白い部分はどんどん小さくなるが、決して消えない。図は何の計算もなしに $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=1$ を示している。何も欠けておらず、何も正方形からはみ出していない。これは第5章で級数の等号として読んだのと同じ級数である。 練習：奇数の和第4章では、各奇数が L 字形の一層になる図を示した。この考えを使って、足し算をせずに $1+3+5+\cdots+19$ を求めよ。 $1$ から $19$ までの奇数は $10$ 層であり、$10$ 層で一辺 $10$ の正方形になる。和は $10^2=100$ である。

October 19, 2026 読んだ