História Da Matemática

Infinitos números primos a partir de uma soma

Euclides já tinha provado, por volta de 300 a.C., que existem infinitos números primos. Em 1737 Euler encontrou uma prova completamente diferente, que ligou os primos ao cálculo. Para cada primo $p$, a soma de uma progressão geométrica dá $$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p^3} + \cdots$$ Multiplique essas expressões para $p = 2, 3, 5, 7, \dots$ Cada produto de termos tem a forma $\frac{1}{2^a 3^b 5^c \cdots}$. Como todo número natural se escreve de um único jeito como produto de primos, cada fração $\frac{1}{n}$ aparece exatamente uma vez:

September 30, 2026 Iniciar leitura

O legado de Augustin-Louis Cauchy

Cauchy é louco, e não há nada a fazer com ele; no entanto, é hoje quem sabe como a matemática deve ser feita. — Niels Henrik Abel, carta a Holmboe (1826) Cauchy publicou cerca de 800 artigos e sete livros. As Obras completas, editadas pela Academia de Ciências, saíram entre 1882 e 1974 em 27 grossos volumes. Entre os matemáticos, só Euler e muito poucos outros deixaram uma obra comparável em tamanho.

October 31, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos os arquivos ou as miniaturas fornecidas pelo Commons, reduzidas a no máximo 800 pixels de largura, sem outra edição. Retrato de Bernhard Riemann de 1863: página de origem · domínio público. Riemann jovem, fotografia da década de 1850: página de origem · domínio público. Pedra em memória de Riemann junto à igreja de Breselenz, foto de Felina Katarina Schulz: página de origem · CC BY-SA 4.0. Placa numa casa de Göttingen onde Riemann morou, foto de Manecke: página de origem · CC BY-SA 3.0. Superfície de Riemann da raiz quadrada, figura de Leonid 2 (versão em PNG gerada pelo Commons a partir do SVG): página de origem · CC BY-SA 3.0. Lápide de Riemann no cemitério de Biganzolo, foto de g.rondena: página de origem · domínio público. Figuras feitas para o blog A capa e as quatro figuras interativas (as somas de Riemann, o rearranjo da série harmônica alternada, a contagem dos primos com a função R(x) e a função zeta sobre a reta crítica) são ilustrações originais, com textos em cada idioma do site.

October 31, 2026 Iniciar leitura

A transformada de Laplace

Os logaritmos transformam multiplicações em somas: para multiplicar dois números, soma-se os seus logaritmos e volta-se. A transformada de Laplace faz algo parecido com as equações diferenciais: troca derivadas por multiplicações. Resolve-se uma equação de álgebra e depois se volta. A origem Laplace chegou a essa ideia pela probabilidade. Na Teoria analítica das probabilidades, de 1812, ele organizou os seus cálculos com funções geradoras: em vez de trabalhar com uma sequência de probabilidades, trabalhava com uma única função que guardava todas elas. A versão contínua dessa ideia é uma integral que Euler já tinha usado antes, mas que Laplace explorou sistematicamente:

October 30, 2026 Iniciar leitura

O parafuso, a garra e os espelhos

Plutarco escreve que Arquimedes considerava a engenharia uma atividade menor, e que não deixou nenhum livro sobre as suas máquinas. Mesmo assim, foram elas que o tornaram famoso entre os contemporâneos. As fontes antigas descrevem várias, com graus muito diferentes de confiabilidade. O parafuso de Arquimedes Um cilindro inclinado, com uma hélice por dentro ou um tubo enrolado em espiral por fora, tem a ponta de baixo mergulhada na água. Ao girar o cilindro, cada porção de água fica presa numa dobra da hélice e sobe, volta a volta, até sair pela ponta de cima. O historiador Diodoro da Sicília, no século I a.C., atribui a invenção a Arquimedes, durante uma estada no Egito, onde a máquina era usada para irrigar os campos às margens do Nilo e para esvaziar a água das minas.

October 29, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, reduzidas a 800 pixels de largura, sem outra edição. Retrato de Maria Gaetana Agnesi, gravura a buril de Ernesta Legnani Bisi sobre desenho de Maria Longhi (1812): página de origem · domínio público. Agnesi à mesa de estudo, desenho de Jean François Bozio, Metropolitan Museum of Art: página de origem · CC0. Folha de rosto do primeiro volume das Instituzioni analitiche (Milão, 1748): página de origem · domínio público. Prancha com a construção da versiera, do primeiro volume das Instituzioni analitiche (1748): página de origem · domínio público. Diploma de nomeação para a Universidade de Bolonha (1750): página de origem · domínio público. Retrato no Elogio histórico de Antonio Francesco Frisi (1799): página de origem · domínio público. O Pio Albergo Trivulzio, Milão, foto de Joaquin008: página de origem · CC BY-SA 4.0. Busto de Agnesi no Palácio de Brera, Milão, foto de Giovanni Dall’Orto: página de origem · uso livre com atribuição. Placas no lugar onde Agnesi morreu, Milão, foto de Bramfab: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras feitas para o blog A capa e as quatro figuras interativas (a construção da versiera, a reta tangente e os pontos de inflexão, a área sob a curva e as médias de sorteios de Cauchy) são ilustrações originais, com textos em cada idioma do site.

October 29, 2026 Iniciar leitura

O legado de William Rowan Hamilton

O princípio hamiltoniano tornou-se a pedra angular da física moderna, aquilo com que um físico espera que todo fenômeno físico esteja em conformidade. — Erwin Schrödinger (1943) Hamilton acreditava que os quatérnios seriam a sua grande obra, a linguagem da física do futuro. Errou no detalhe e acertou no essencial. A física adotou os vetores de Gibbs e Heaviside, mas a mecânica de Hamilton, que ele considerava menos importante, tornou-se a base de quase tudo o que veio depois.

October 27, 2026 Iniciar leitura

O legado de John von Neumann

Às vezes me pergunto se um cérebro como o de von Neumann não indica uma espécie superior à do homem. — Hans Bethe, prêmio Nobel de Física, citado por Norman Macrae Os oito textos desta trilha mostram só uma parte do que von Neumann fez. A lista completa ocupa seis volumes de obras reunidas e passa por quase todos os ramos da matemática do seu tempo. Matemática pura Álgebras de operadores. Entre 1929 e 1943, em parte com Francis Murray, criou a teoria das álgebras de operadores que hoje se chamam álgebras de von Neumann, um dos campos mais ativos da análise e da física matemática. Teorema ergódico. Em 1932 provou uma versão do teorema que justifica um princípio da física estatística: a média de uma grandeza ao longo do tempo é igual à média sobre todos os estados possíveis. O quinto problema de Hilbert. Em 1933 resolveu o caso compacto de um dos problemas que Hilbert tinha proposto em 1900, sobre quando um grupo contínuo é automaticamente “liso”. Economia, tempo e estratégia Crescimento econômico. Num artigo publicado em 1937, apresentado anos antes num seminário em Princeton, construiu um modelo de economia em expansão e provou a existência de um equilíbrio com a mesma matemática do minimax. É um dos textos fundadores da economia matemática. Previsão do tempo. Em 1950, um grupo liderado por Jule Charney, com von Neumann, fez no ENIAC a primeira previsão numérica do tempo: 24 horas de previsão levaram cerca de 24 horas de cálculo. Hoje os modelos que preveem o tempo e o clima descendem desse experimento. Estratégia nuclear. Na Guerra Fria, a teoria dos jogos foi usada para pensar a corrida armamentista, e von Neumann participou do planejamento dos mísseis intercontinentais. A expressão “destruição mútua assegurada”, ligada a esse raciocínio, ainda resume uma época. A palavra “singularidade” Em 1958, Stanisław Ulam escreveu um texto em memória do amigo. Nele lembrou uma conversa sobre o progresso cada vez mais acelerado da tecnologia, que parecia se aproximar de “alguma singularidade essencial na história da espécie, além da qual a vida humana, como a conhecemos, não poderia continuar”. É o primeiro uso registrado da palavra nesse sentido, que décadas depois virou tema de discussões sobre inteligência artificial.

October 27, 2026 Iniciar leitura

O legado de Alan Turing

Turing acredita que as máquinas pensam. Turing se deita com homens. Logo, as máquinas não pensam. — Alan Turing, carta a Norman Routledge (1952) O silogismo amargo que Turing escreveu a um amigo, logo depois da condenação, resume a sua vida: um homem que pensava com a lógica e foi julgado por quem não o entendia. A obra que ele deixou, porém, está em toda parte. Na ciência da computação A máquina de Turing continua sendo a definição oficial do que é calcular. Quando um cientista da computação quer dizer que um problema “não tem algoritmo”, quer dizer que nenhuma máquina de Turing o resolve; quando diz que um problema é “difícil”, conta os passos que uma máquina de Turing precisa dar.

October 18, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens de Lagrange

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Joseph-Louis Lagrange, gravura de autor desconhecido: página de origem · domínio público. Medalhão com o perfil de Lagrange, bronze de Pierre-Jean David d’Angers, Musées d’Angers: página de origem · CC0. Folha de rosto da Méchanique analitique, Paris, 1788: página de origem · domínio público. Estátua de Lagrange em Turim, foto de Twice25, 2009: página de origem · CC BY-SA 3.0. Figuras do blog A capa, o diagrama dos cinco pontos de Lagrange e o gráfico das curvas de mesma área com a reta da restrição são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O diagrama dos pontos está fora de escala: L1 e L2 ficam, na verdade, cem vezes mais perto da Terra do que o Sol.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Não existe nenhum retrato de Euclides feito em vida; as imagens dele que circulam são invenções de artistas muito posteriores. Papiro de Oxirrinco com a Proposição II.5, c. 100 d.C., Museu da Universidade da Pensilvânia: página de origem · domínio público. Detalhe da Escola de Atenas, de Rafael, 1509–1511: página de origem · domínio público. A Proposição I.47 na edição de Oliver Byrne, Londres, 1847, digitalização de Mirko Junge: página de origem · domínio público. Primeira edição impressa dos Elementos, Erhard Ratdolt, Veneza, 1482, Folger Shakespeare Library: página de origem · CC BY-SA 4.0. Edição árabe dos Elementos, versão de Nasir al-Din al-Tusi, Roma, 1594, Biblioteca Houghton: página de origem · domínio público. Figuras do blog A capa, a construção do triângulo equilátero, a figura do teorema de Pitágoras e a de completar o quadrado são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O exemplo de completar o quadrado, $x^2+10x=39$, e o exercício $x^2+8x=65$ vêm do antigo curso deste site sobre a fórmula de Bhaskara, cujas figuras foram redesenhadas; os exemplos 3, 4, 5 e 6, 8, 10 e a tabela de edições vêm dos antigos cursos de geometria e trigonometria.

October 12, 2026 Iniciar leitura

A aposta de Pascal: uma conta, não uma prova

Muita gente ouviu dizer que Pascal “provou que Deus existe”. Ele não fez isso, e disse com todas as letras que não dava para fazer. O que ele propôs é mais curioso: já que a razão não decide a questão, trocar a pergunta. Em vez de “Deus existe?”, perguntar “em que vale mais a pena apostar?”. E responder a essa segunda pergunta com a matemática que tinha acabado de inventar com Fermat, a das partilhas justas.

October 8, 2026 Iniciar leitura