História Da Matemática

O legado de Fermat

O pai da teoria dos números Folha de rosto da edição de 1670 da Aritmética de Diofanto, impressa em Toulouse “com as observações de P. de Fermat”. Foi por este livro, publicado pelo filho cinco anos depois da morte do pai, que as notas da margem chegaram a Euler.Bernard Bosc, Toulouse (1670) · Wikimedia Commons · domínio público Antes de Fermat, os problemas sobre números inteiros eram vistos como enigmas, quebra-cabeças de Diofanto. Fermat os transformou numa área da matemática, com perguntas profundas e métodos próprios. Durante quase um século, quase ninguém o acompanhou. Foi Euler, a partir de 1730, quem leu as notas de Fermat, provou boa parte delas e fez da teoria dos números um ramo central da matemática. Depois vieram Lagrange, Legendre e Gauss.

October 7, 2026 Iniciar leitura

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Retrato histórico O retrato de Leibniz pintado por Christoph Bernhard Francke, por volta de 1695, vem do Wikimedia Commons e está em domínio público. Usamos a miniatura de 960 pixels fornecida pelo Commons, sem edição. Página de origem. Indicação de domínio público. Figuras do blog A capa e o esquema da multiplicação $23\times14$ são ilustrações originais. O esquema explica a conta e não reproduz o mecanismo da máquina histórica. As figuras interativas dos oito bits, das parcelas da regra do produto e das somas da série para π foram criadas para esta trilha. Os exemplos do texto permitem acompanhar as contas mesmo sem JavaScript.

October 7, 2026 Iniciar leitura

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Imagens históricas As duas imagens históricas vêm do Wikimedia Commons e estão em domínio público. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Isaac Newton, Godfrey Kneller, 1689: página de origem · domínio público. Página de rosto dos Principia, 1687: página de origem · domínio público. Figuras do blog A capa e o esquema do prisma são ilustrações originais. As figuras interativas da secante, das aproximações de √2 e das órbitas foram criadas para esta trilha. São recursos didáticos, não reproduções dos manuscritos nem simulações dos experimentos de Newton.

October 6, 2026 Iniciar leitura

Sistemas de equações: o determinante e a eliminação de Gauss

Para calcular órbitas pelos mínimos quadrados, Gauss precisava resolver sistemas de equações com muitas incógnitas. Dois nomes que todo estudante conhece vêm dessa história: o determinante e a eliminação de Gauss. O determinante. Pegue um sistema com duas equações: $$\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e\,d - b\,f}{a\,d - b\,c}, \qquad y = \frac{a\,f - e\,c}{a\,d - b\,c}.$$ Tudo depende do número $ad - bc$ no denominador: se ele não for zero, o sistema tem uma única solução. Esse número “determina” o sistema.

October 1, 2026 Iniciar leitura

Descartes e o problema dos canhões

Descartes conheceu a guerra de perto. Em 1618 serviu como voluntário no exército de Maurício de Nassau e, segundo seu primeiro biógrafo, Adrien Baillet, esteve em 1628 no cerco de La Rochelle, conduzido pelo cardeal Richelieu. Nos campos de batalha, um problema prático ocupava os artilheiros: com que ângulo inclinar o canhão para acertar um alvo a certa distância? Um homem diante de um tabuleiro sobre a mesa.Recorte da gravura original; nitidez aprimorada para o acervo Euler’s Eyes Dois homens junto ao canhão e às balas.Recorte da gravura original; nitidez aprimorada para o acervo Euler’s Eyes Um anjo ao lado de uma balança em equilíbrio.Recorte da gravura original; nitidez aprimorada para o acervo Euler’s Eyes É uma relação entre dois números: a distância do alvo (o que o artilheiro “ouve”) e o ângulo do canhão (o que ele “fala”). Galileu mostrou em 1638 que, sem a resistência do ar, a bala descreve uma parábola, e o alcance $R$ depende do ângulo $\theta$ e da velocidade $v$ de saída:

September 30, 2026 Iniciar leitura

O número de Fermat que não era primo

Pierre de Fermat acreditava que todos os números da forma $2^{2^n} + 1$ eram primos. Para $n = 0, 1, 2, 3, 4$ dá certo: 3, 5, 17, 257 e 65 537 são primos. O próximo é $$2^{32} + 1 = 4\,294\,967\,297.$$ Testar todos os divisores à mão é impraticável. Em 1732, Euler mostrou que esse número é divisível por 641. Uma forma elegante de ver isso usa duas maneiras de escrever 641:

September 30, 2026 Iniciar leitura

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Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos os arquivos ou as miniaturas fornecidas pelo Commons, reduzidas a no máximo 800 pixels de largura, sem outra edição. Retrato de Augustin-Louis Cauchy, litografia de Rudolf Hoffmann (1856) a partir de uma fotografia de Bertsch: página de origem · domínio público. Retrato a óleo de Cauchy, por volta de 1840, atribuído a Jean Roller, castelo de Sceaux: página de origem · domínio público. Litografia de Cauchy por Louis Grégoire e Deneux, por volta de 1840, coleção Dibner da Smithsonian Libraries: página de origem · domínio público. Medalhão de bronze de Pierre-Jean David d’Angers (1843): página de origem · CC0. Folha de rosto do Curso de análise (1821), versão limpa (convertida de GIF para JPEG): página de origem · CC0. Nome de Cauchy na Torre Eiffel, foto de Juanedc: página de origem · CC BY 2.0. Túmulo de Cauchy no cemitério de Sceaux, foto de Antoine Rex: página de origem · CC0. Figuras feitas para o blog A capa e as quatro figuras interativas (a bissecção, a faixa de largura ε do critério de Cauchy, a integral de 1/(1 + z²) ao longo de um círculo e o vetor tensão num corte que gira) são ilustrações originais, com textos em cada idioma do site.

October 31, 2026 Iniciar leitura

A velocidade do som

O som é uma onda de compressão: o ar é empurrado, se comprime, empurra o ar seguinte e se descomprime. A velocidade dessa onda depende de duas propriedades do ar: o quanto ele resiste a ser comprimido e o quanto ele pesa. A fórmula de Newton Nos Principia, de 1687, Newton calculou a velocidade do som pela primeira vez. Supondo que, ao ser comprimido, o ar obedece à lei de Boyle, isto é, que a pressão é proporcional à densidade, ele obteve

October 30, 2026 Iniciar leitura

O legado de Arquimedes

Quem entende Arquimedes e Apolônio admirará menos as descobertas dos maiores homens de hoje. — Gottfried Wilhelm Leibniz Os manuscritos O que sobrou de Arquimedes chegou até nós por um fio. Quase toda a obra dependeu de três manuscritos gregos bizantinos. Dois deles, que os estudiosos chamam de códices A e B, se perderam depois de serem copiados ou traduzidos no Renascimento; o terceiro é o palimpsesto, que ficou escondido sob um livro de rezas. Em 1269, o dominicano Guilherme de Moerbeke traduziu os textos gregos para o latim, e por meio dessa tradução Arquimedes passou a ser lido nas universidades europeias. A primeira edição impressa do texto grego saiu em Basileia em 1544.

October 29, 2026 Iniciar leitura

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Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons; a gravura de Kirkwood foi reduzida e o diagrama da refração cônica teve a paleta de cores reduzida, sem outra edição. Retrato de Hamilton, Library of Congress: página de origem · domínio público. Retrato a óleo de Hamilton, autor desconhecido: página de origem · domínio público. Gravura de J. Kirkwood, Wellcome Collection: página de origem · CC BY 4.0. Selo irlandês de 1943: página de origem · domínio público. A placa na ponte Broom, foto de Cone83: página de origem · CC BY-SA 4.0. A ponte Broom, foto de Johnflan: página de origem · CC BY-SA 4.0. O Observatório de Dunsink, foto de David Malone: página de origem · CC BY-SA 2.5. O Trinity College de Dublin, foto de JoachimKohler-HB: página de origem · CC BY-SA 4.0. Wordsworth no Helvellyn, pintura de Benjamin Robert Haydon: página de origem · domínio público. A refração cônica interna, de Thomas Preston e William Edward Thrift: página de origem · domínio público. Réplica do jogo icosiano na Matemateca IME-USP, Estes Objethos Atelier, foto de Alisson Ricardo: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras feitas para o blog A capa e as figuras interativas do espaço de fase do pêndulo, das rotações com quatérnios e do jogo icosiano foram feitas para esta trilha e funcionam nos quatro idiomas do site.

October 27, 2026 Iniciar leitura

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Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição além da compressão. Von Neumann no crachá de Los Alamos, Los Alamos National Laboratory: página de origem · uso livre com atribuição ao laboratório. Von Neumann no Novo México, Los Alamos National Laboratory: página de origem · uso livre com atribuição ao laboratório. A placa da casa natal em Budapeste, foto de Misibacsi: página de origem · CC BY-SA 3.0. O ginásio luterano de Budapeste, foto de VinceB: página de origem · CC BY-SA 3.0. O Fuld Hall, em Princeton, foto de Zeete: página de origem · CC BY-SA 4.0. Duas programadoras no ENIAC, Exército dos Estados Unidos: página de origem · domínio público. A folha de rosto do relatório do EDVAC: página de origem · domínio público. O EDVAC em Aberdeen, Exército dos Estados Unidos: página de origem · domínio público. Oppenheimer e von Neumann diante da máquina do IAS, Jeremy Norman Collection of Images: página de origem · CC BY 4.0. Ulam com o FERMIAC, Los Alamos National Laboratory: página de origem · domínio público. O crachá de Ulam em Los Alamos: página de origem · domínio público. Diagramas e animações de uso livre As oito figuras abaixo vêm do Wikimedia Commons. Foram usadas as miniaturas disponibilizadas pelo serviço, sem edição do conteúdo, ou o GIF original no caso da construção de células. As animações de merge sort e do autômato mantêm seus quadros. As licenças e os autores também aparecem nas legendas dos posts.

October 27, 2026 Iniciar leitura

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Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição além da compressão. Turing aos 16 anos, foto de passaporte atribuída a Arthur Reginald Chaffin: página de origem · domínio público. Turing em 1951, retrato do estúdio Elliott & Fry: página de origem · domínio público. A capela do King’s College, foto de Martinvl: página de origem · CC BY-SA 4.0. A mansão de Bletchley Park, foto de DeFacto: página de origem · CC BY-SA 4.0. Uma Enigma de três rotores, National Security Agency: página de origem · domínio público. A reconstrução da bomba, foto de Mike Peel: página de origem · CC BY-SA 4.0. O Pilot ACE, foto de Philafrenzy: página de origem · CC BY 2.0. Réplica do Baby de Manchester, foto de Parrot of Doom: página de origem · CC BY-SA 3.0. A estátua do Sackville Park, foto de David Dixon: página de origem · CC BY-SA 2.0. A pele do baiacu gigante, foto de Chiswick Chap: página de origem · CC BY-SA 3.0. Os padrões de Turing e o guepardo, figura de Philip Ball: página de origem · CC BY 4.0. Figuras do blog A capa, a máquina de Turing interativa e a simulação de reação-difusão foram feitas para esta trilha. A simulação usa o modelo de Gray–Scott, calculado numa grade de 200 por 200 células, e não tem texto, por isso serve a todos os idiomas do site. A máquina interativa funciona nos quatro idiomas.

October 18, 2026 Iniciar leitura