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O legado de Pascal

O coração tem razões que a razão desconhece. — Blaise Pascal, Pensamentos Pascal deixou poucos livros terminados. Quase tudo o que escreveu de matemática foi publicado em folhas avulsas, em cartas ou depois da sua morte. Mesmo assim, poucos autores aparecem em tantos lugares diferentes: no triângulo da escola, na previsão do tempo, no freio do carro, no cálculo de um seguro e até no nome de uma linguagem de programação.

October 8, 2026 Iniciar leitura
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Créditos das imagens

Retrato histórico O retrato atribuído a Rolland Lefebvre vem do Wikimedia Commons e está em domínio público. Usamos a miniatura fornecida pelo Commons, sem edição, e a legenda mantém a autoria indicada pelo acervo. Página de origem. Indicação de domínio público. Figuras do blog A capa e o esquema da refração são ilustrações originais. As figuras interativas dos restos de potências, da área dos retângulos e da divisão do jogo interrompido foram criadas para esta trilha. São recursos didáticos e não reproduzem manuscritos de Fermat. A figura da partilha, por exemplo, supõe rodadas independentes e jogadores com chances iguais.

October 7, 2026 Iniciar leitura
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A quadratura de Gauss: integrar com dois pontos

Quadratura circuli: capa redesenhada em vetor, com as construções geométricas da quadratura do círculo.Redesenho Euler’s Eyes “Quadratura” é o nome antigo para calcular uma área. Os gregos aproximavam a área do círculo por polígonos cada vez com mais lados, e daí nasceu o cálculo integral. O problema prático é: como calcular a área sob uma curva fazendo poucas contas?

October 1, 2026 Iniciar leitura
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A palavra "função"

A palavra vem do latim functus, particípio do verbo fungor: cumprir um encargo, exercer uma atividade. A função é aquilo que “faz o trabalho” de levar um número a outro. Já defunctus é quem não exerce mais função nenhuma, e daí vem a palavra defunto. Uma notação de Leibniz para funções, das cartas a Johann Bernoulli.Acervo Euler’s Eyes; fundo removido e definição aprimorada O nome e o símbolo levaram mais de um século para se firmar:

September 30, 2026 Iniciar leitura
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O teorema de Euler e a criptografia

Em 1763, Euler estudou a função $\varphi(n)$ (o símbolo $\varphi$ veio depois, com Gauss): a quantidade de números de 1 a $n$ que não têm fator comum com $n$. Por exemplo, $\varphi(10) = 4$, porque de 1 a 10 só 1, 3, 7 e 9 servem. Ele provou que, se $a$ não tem fator comum com $n$, então $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}.$$ Veja a ideia com $n = 10$ e $a = 3$. Multiplique por 3 os números 1, 3, 7 e 9:

September 30, 2026 Iniciar leitura
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O demônio de Laplace

Devemos considerar o estado presente do universo como o efeito do seu estado anterior e como a causa do que virá. Uma inteligência que, num dado instante, conhecesse todas as forças que animam a natureza e a situação respectiva dos seres que a compõem, e que fosse vasta o bastante para submeter esses dados à análise, abarcaria na mesma fórmula os movimentos dos maiores corpos do universo e os do mais leve átomo: nada seria incerto para ela, e o futuro, assim como o passado, estaria presente aos seus olhos. — Pierre-Simon Laplace, Ensaio filosófico sobre as probabilidades (1814)

October 30, 2026 Iniciar leitura
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Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos os arquivos ou as miniaturas fornecidas pelo Commons, reduzidas a no máximo 800 pixels de largura, sem outra edição. Arquimedes pensativo, pintura de Domenico Fetti (c. 1620): página de origem · domínio público. Ortígia, Siracusa, foto de Andrea Schaffer: página de origem · CC BY 2.0. Arquimedes e o soldado romano, mosaico em estilo antigo do século XVIII: página de origem · domínio público. Arquimedes movendo a Terra com uma alavanca, gravura da Mechanics Magazine (Londres, 1824): página de origem · domínio público. Manuscrito latino de Sobre a esfera e o cilindro (c. 1270): página de origem · domínio público. Cícero descobre o túmulo de Arquimedes, pintura de Pierre-Henri de Valenciennes (1787): página de origem · domínio público. Uma folha do palimpsesto de Arquimedes, The Walters Art Museum: página de origem · CC BY 3.0. O parafuso de Arquimedes, ilustração do Chambers’s Twentieth Century Dictionary (1908): página de origem · domínio público. A medalha Fields, foto de Stefan Zachow para a União Matemática Internacional: página de origem · domínio público. Figuras feitas para o blog A capa e as quatro figuras interativas (a alavanca, os polígonos que cercam π, os triângulos da quadratura da parábola e a espiral) são ilustrações originais, com textos em cada idioma do site.

October 30, 2026 Iniciar leitura
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Créditos das imagens de Pascal

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Blaise Pascal, autor desconhecido, por volta de 1690, Versailles: página de origem · domínio público. Triângulo de Yang Hui, no livro de Zhu Shijie, 1303: página de origem · domínio público. Primeira página do Triangulus arithmeticus, exemplar de Clermont Auvergne Métropole: página de origem · CC BY-SA 4.0. Pascalina do Musée des Arts et Métiers, foto de David Monniaux, 2005: página de origem · CC BY-SA 3.0. Marco da experiência no Puy de Dôme, Agence Rol, 1923, Bibliothèque nationale de France: página de origem · domínio público. Placa do túmulo em Saint-Étienne-du-Mont, Agence Meurisse, 1923, Bibliothèque nationale de France: página de origem · domínio público. Manuscrito autógrafo dos Pensamentos, exposição da Bibliothèque nationale de France, foto de ActuaLitté, 2016: página de origem · CC BY-SA 2.0. Primeira página dos Pensamentos, contrafação da edição de 1670, exemplar de Clermont Auvergne Métropole: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A capa, a fonte de taças, o esquema do “vai um” e o arco de cicloide são ilustrações originais. Os controles do triângulo, da partilha e da prensa hidráulica foram feitos para esta trilha. São recursos didáticos, não reproduções de manuscritos nem do mecanismo interno da Pascalina.

October 8, 2026 Iniciar leitura
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Outras contribuições e legado

Outras contribuições Física: a lei de Gauss do eletromagnetismo, o estudo do magnetismo da Terra e a unidade gauss. Números complexos: os inteiros de Gauss, números $a + bi$ com $a$ e $b$ inteiros. Astronomia e geodésia: órbitas de planetas e cometas, o heliotrópio e a medição de Hannover. Algoritmos: um método para calcular a data da Páscoa e, num manuscrito de 1805, uma versão da transformada rápida de Fourier, redescoberta em 1965 e usada hoje em todo celular. Para lembrar Gauss nasceu pobre em Braunschweig, estudou graças a um duque e passou a vida em Göttingen. Somou de 1 a 100 juntando pares: $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$. Aos 18 anos mostrou como construir o polígono de 17 lados, usando só raízes quadradas. Criou a notação de congruência, $a \equiv b \pmod n$, a matemática do relógio e dos noves-fora. Provou que todo polinômio de grau $n$ tem $n$ raízes complexas. Estimou a quantidade de primos: $\pi(x) \approx x / \ln x$. Reencontrou Ceres com o método dos mínimos quadrados, que mostra por que a média é a melhor estimativa. Deu nome à curva normal, o sino de Gauss. Mostrou que a curvatura pode ser medida de dentro da superfície: por isso não existe mapa plano perfeito. Deu nome ao determinante e organizou a eliminação que resolve sistemas de equações. Com dois pontos bem escolhidos, $\pm 1/\sqrt{3}$, calculou integrais exatas para polinômios até grau 3. Todos os tópicos de Carl Friedrich Gauss · ← A quadratura de Gauss: integrar com dois pontos · Créditos das imagens →

October 1, 2026 Iniciar leitura
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*Physis*: decifrar os traços da natureza

Nada acontece no universo sem que apareça alguma regra de máximo ou de mínimo. — Leonhard Euler, 1744 Para Leibniz e Euler, a natureza é feita da melhor maneira possível, e por isso segue regras. Na nossa linguagem: o raciocínio (méthode) do criador está nos traços (graphiko’s) da natureza (physis), e cabe a nós decifrá-los (máthema). Os mesmos desenhos aparecem nos lugares mais diferentes: Carapaça do tatu: placas hexagonais.Acervo Euler’s Eyes Crosta terrestre: colunas de basalto em hexágonos, formadas quando a lava esfria.Acervo Euler’s Eyes Espiga: de novo, o padrão hexagonal.Acervo Euler’s Eyes Concha do náutilo: uma espiral logarítmica.Acervo Euler’s Eyes Ovo: a curva oval distribui a pressão como um arco.Acervo Euler’s Eyes Estrela-do-mar: simetria pentagonal.Acervo Euler’s Eyes Por que tantos hexágonos? Só três polígonos regulares cobrem o plano sem deixar buracos: o triângulo, o quadrado e o hexágono. Desses, o hexágono é o que cerca mais área com menos borda. É o jeito mais econômico de dividir um espaço em partes iguais, e foi o que o matemático Thomas Hales provou em 1999.

September 30, 2026 Iniciar leitura
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Outras contribuições e legado

Outras contribuições A lista completa ocuparia um livro inteiro. Alguns destaques: Reta de Euler: em todo triângulo, o ortocentro, o baricentro e o circuncentro estão alinhados. Constante de Euler-Mascheroni: $\gamma \approx 0{,}5772$, a diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural. Mecânica e fluidos: as equações de Euler para fluidos e para a rotação de corpos rígidos. Cálculo das variações: a equação de Euler-Lagrange, base da física moderna. Funções especiais: a função gama, que estende o fatorial para números não inteiros. Para lembrar Euler viveu entre Basileia, São Petersburgo e Berlim, e produziu metade da obra já quase cego. Ele deu à matemática a notação $f(x)$, $e$, $i$, $\Sigma$ e popularizou $\pi$. Descobriu que $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ e que $e^{i\pi} + 1 = 0$. Batizou o número $e = \lim (1 + 1/n)^n$, que nasce dos juros compostos e é a base do logaritmo natural. Resolveu a equação da mola com $e^{rt}$ e a sua fórmula: a solução é uma senoide. Com as pontes de Königsberg, criou a teoria dos grafos. Com $V - A + F = 2$, explicou por que toda bola de futebol clássica tem 12 pentágonos. Ligou os números primos ao cálculo e criou o teorema que hoje protege a internet. Todos os tópicos de Leonhard Euler · ← O teorema de Euler e a criptografia · Créditos das imagens →

September 30, 2026 Iniciar leitura
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O legado de Pierre-Simon Laplace

Nunca encontro numa página de Laplace a frase “assim se vê claramente” sem ter certeza de que terei horas de trabalho duro pela frente para preencher a lacuna e descobrir como isso se vê claramente. — Nathaniel Bowditch, sobre a Mecânica celeste Poucos matemáticos têm o nome em tantos objetos. Um estudante de engenharia encontra Laplace três ou quatro vezes antes de terminar o curso, quase sempre sem saber quem ele foi.

October 30, 2026 Iniciar leitura