O som é uma onda de compressão: o ar é empurrado, se comprime, empurra o ar seguinte e se descomprime. A velocidade dessa onda depende de duas propriedades do ar: o quanto ele resiste a ser comprimido e o quanto ele pesa.

A fórmula de Newton

Nos Principia, de 1687, Newton calculou a velocidade do som pela primeira vez. Supondo que, ao ser comprimido, o ar obedece à lei de Boyle, isto é, que a pressão é proporcional à densidade, ele obteve

$$v = \sqrt{\frac{P}{\rho}}.$$

Ao nível do mar, a 20 °C, a pressão é $P = 101\,325$ Pa e a densidade do ar é $\rho = 1{,}204$ kg/m³. A fórmula dá

$$v = \sqrt{\frac{101\,325}{1{,}204}} \approx 290 \text{ m/s}.$$

As medidas, porém, davam uns 340 m/s, cerca de 15% a mais. Newton tentou explicar a diferença com hipóteses forçadas, como o tamanho das partículas de ar e o vapor d’água. Durante mais de um século a discrepância ficou sem explicação.

O ar que esquenta

Laplace encontrou o erro. Quando se comprime um gás, ele esquenta, como sabe quem já encheu um pneu de bicicleta com uma bomba manual. A lei de Boyle vale quando a temperatura fica constante. Mas as compressões de uma onda sonora são tão rápidas que o calor não tem tempo de sair: o ar comprimido fica um pouco mais quente e por isso empurra mais forte do que Newton supôs. Hoje dizemos que a compressão é adiabática, e não isotérmica.

Em termos matemáticos, a velocidade de uma onda num fluido é $v = \sqrt{\frac{dP}{d\rho}}$, o quanto a pressão sobe quando a densidade sobe. Para uma compressão isotérmica, $P = k\rho$ e

$$\frac{dP}{d\rho} = \frac{P}{\rho}.$$

Para uma compressão adiabática, $P = k\rho^\gamma$, em que $\gamma$ é a razão entre os calores específicos do gás a pressão constante e a volume constante, e

$$\frac{dP}{d\rho} = k\gamma\rho^{\gamma-1} = \gamma\,\frac{P}{\rho}.$$

A fórmula correta, que Laplace publicou em 1816, é portanto

$$v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}.$$

Para o ar, $\gamma \approx 1{,}40$. A correção multiplica o resultado de Newton por $\sqrt{1{,}40} \approx 1{,}183$:

$$v \approx 290 \times 1{,}183 \approx 343 \text{ m/s},$$

exatamente o valor medido. Laplace inverteu o argumento: usou a velocidade do som medida para estimar $\gamma$, antes que fosse possível medi-lo diretamente com precisão.

Exercício: o som no frio e no calor

Para um gás ideal, $\frac{P}{\rho} = \frac{RT}{M}$, de modo que $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$, com $R = 8{,}314$ J/(mol·K) e, para o ar, $M = 0{,}02896$ kg/mol. Calcule a velocidade do som a 0 °C e a 30 °C.

A 0 °C, $T = 273{,}15$ K: $v = \sqrt{\frac{1{,}40 \times 8{,}314 \times 273{,}15}{0{,}02896}} \approx \sqrt{109\,800} \approx 331$ m/s. A 30 °C, $T = 303{,}15$ K: $v \approx \sqrt{121\,800} \approx 349$ m/s. O som não depende da pressão, só da temperatura: num dia quente ele anda quase 20 m/s mais depressa.

Exercício: a distância do raio

Você vê um relâmpago e ouve o trovão 6 segundos depois. A que distância caiu o raio?

A luz chega praticamente no mesmo instante. O som, a cerca de 343 m/s, percorre em 6 s cerca de $343 \times 6 \approx 2\,060$ m: o raio caiu a uns 2 km. A regra prática é dividir os segundos por 3 para ter a distância em quilômetros.

Fontes: Isaac Newton, Philosophiæ naturalis principia mathematica (1687), livro II, proposições 48–50 · Pierre-Simon Laplace, “Sur la vitesse du son dans l’air et dans l’eau”, Annales de chimie et de physique 3 (1816) · Bernard S. Finn, “Laplace and the Speed of Sound”, Isis 55 (1964) · Robert Fox, “The Rise and Fall of Laplacian Physics”, Historical Studies in the Physical Sciences 4 (1974).

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