História Da Matemática

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Imagens do Wikimedia Commons, todas em domínio público: Gauss em 1840: Christian Albrecht Jensen. Gauss em 1803: Johann Christian August Schwartz. Casa natal de Gauss, foto de 1914. Diário de Gauss: Göttinger Digitalisierungszentrum. Disquisitiones Arithmeticae, 1801. Giuseppe Piazzi: F. Bordiga. Sophie Germain: Berthe Chégaray. Heliotrópio de Gauss. Rede de triângulos: Reinhold Gerstetter para o Deutsche Bundesbank. Theoria motus corporum coelestium, 1809. Wilhelm Weber: Rudolph Hoffmann. As imagens da nota de 10 marcos, da quadratura do círculo e das notações de determinante e matriz são do acervo do Euler’s Eyes. As figuras interativas foram feitas para este site.

October 1, 2026 Iniciar leitura

O infinito e a divisão por zero

O frade e matemático Marin Mersenne era o grande amigo de Descartes. Era por meio das cartas de Mersenne que Descartes conversava com os sábios da Europa, inclusive com Fermat. Na geração seguinte, o inglês John Wallis criou em 1655 o símbolo $\infty$ para o infinito. Marin Mersenne (1588–1648), amigo e correspondente de Descartes.Gravura de Claude Duflos, Biblioteca Nacional da França — domínio público. John Wallis (1616–1703), criador do símbolo ∞.Gravura de David Loggan (1678), Wellcome Collection, CC BY 4.0. Na escola aprendemos um cânone, uma regra: nunca dividirás por zero. Mas quase nunca se explica o porquê. Vamos construir o pensamento, diminuindo o divisor aos poucos:

September 30, 2026 Iniciar leitura

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Imagens do Wikimedia Commons, todas em domínio público (ou CC0): Retrato de Euler: Jakob Emanuel Handmann, 1753. Basileia em 1615: Matthäus Merian. Johann Bernoulli: Rijksmuseum (CC0). Academia de Ciências de São Petersburgo: G. Kachalov, segundo M. Makhaev, 1753. Frederico II: ateliê de Antoine Pesne, 1745. Introductio in analysin infinitorum, 1748. Lettres à une princesse d'Allemagne, 1768. Catarina, a Grande: Alexander Roslin. Euler em 1778: Joseph Friedrich August Darbes. Königsberg em 1652: Merian-Erben. Figura das pontes: Leonhard Euler, 1736. As imagens das seções sobre a raiz quadrada, as eras da matemática, o número $e$ e a mola são do acervo do Euler’s Eyes. As figuras interativas foram feitas para este site.

September 30, 2026 Iniciar leitura

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Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Laplace com o traje de chanceler do Senado, pintura póstuma de Jean-Baptiste Paulin Guérin (1838): página de origem · domínio público. Beaumont-en-Auge, a praça do Coronel Langlois e a igreja de Saint-Sauveur, foto de DimiTalen (2024): página de origem · CC0. Retrato de Jean le Rond d’Alembert, de Catherine Lusurier (1777): página de origem · domínio público. A Escola Militar de Paris ao amanhecer, foto de DXR: página de origem · CC BY-SA 3.0. O calorímetro de Lavoisier e Laplace, gravura de John Pass a partir de Henry Lascelles (1801): página de origem · domínio público. Metro-padrão de mármore na rua de Vaugirard, Paris, foto de Airair: página de origem · CC BY-SA 3.0. Túmulo de Laplace no mausoléu Colbert-Laplace, Saint-Julien-de-Mailloc, foto de Antoine Rex: página de origem · CC0. Folha de rosto da Exposição do sistema do mundo, segunda edição (1798), página 3 do arquivo digitalizado: página de origem · domínio público. Folha de rosto e página da passagem da inteligência do Ensaio filosófico sobre as probabilidades, edição de 1840, páginas 3 e 12 do arquivo digitalizado: página de origem · domínio público. Página 90 do Ensaio filosófico sobre as probabilidades: página de origem · domínio público. Os dois primeiros volumes do Tratado de mecânica celeste (1799), foto da Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics: página de origem · domínio público. Estátua de Laplace em Beaumont-en-Auge, foto de Roland Godefroy: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras feitas para o blog A capa e as quatro figuras interativas (as conjunções de Júpiter e Saturno, a relaxação da equação de Laplace numa placa, a soma de dados comparada com a curva normal e a regra de sucessão) são ilustrações originais, com textos em cada idioma do site. O mapa e o gráfico da trajetória de Laplace são gerados a partir do arquivo data/viagens/laplace.yaml.

October 30, 2026 Iniciar leitura

Outras contribuições e legado

Outras contribuições Os vórtices de Descartes: para ele, os planetas eram arrastados por redemoinhos de matéria em volta de cada estrela.René Descartes, Princípios da Filosofia · domínio público Óptica: além da lei da refração, estudou o formato ideal das lentes, que deveriam ter perfil de elipse ou hipérbole para focar a luz num ponto. Fólio de Descartes: a curva $x^3 + y^3 = 3axy$, que ele propôs como desafio a Fermat para achar retas tangentes. Física: formulou uma versão do princípio da inércia, de que um corpo em movimento continua em linha reta se nada o atrapalhar. Filosofia: as Meditações e os Princípios da Filosofia fizeram dele o ponto de partida da filosofia moderna. Para lembrar Descartes viveu entre a França, a Holanda e a Suécia, e escreveu o Discurso do Método em francês para ser lido por todos. Criou a geometria analítica: pontos viram pares $(x, y)$ e figuras viram equações. Mostrou como construir $\sqrt{a}$ com régua e compasso e fixou a notação $x$, $y$, $z$ e $x^3$. A regra dos sinais diz quantas raízes positivas um polinômio pode ter. A soma dos defeitos dos vértices de um poliedro é 720°, o que leva à fórmula $V - A + F = 2$. Explicou o arco-íris: os raios se acumulam a 42° do ponto oposto ao Sol. Com ele nasce a ideia de função: uma regra que “ouve” um número e “fala” outro. A palavra vem do latim functus, e o símbolo $f(x)$ é de Euler (1734). Não existe $1 \div 0$: perto de zero, $\frac{1}{x}$ foge para $+\infty$ de um lado e para $-\infty$ do outro. Todos os tópicos de René Descartes · ← O infinito e a divisão por zero · Créditos das imagens →

September 30, 2026 Iniciar leitura

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Imagens do Wikimedia Commons, todas em domínio público: Retrato de Descartes: Frans Hals. Discurso do Método, 1637. Princesa Elisabeth da Boêmia: Gerard van Honthorst. Descartes e a rainha Cristina: Nils Forsberg, segundo Pierre-Louis Dumesnil. Página de A Geometria e livro I de A Geometria: René Descartes, 1637. Figura do arco-íris: René Descartes, Os Meteoros, 1637. Vórtices: René Descartes, Princípios da Filosofia. As imagens da parte “Descartes e a ideia de função” são do acervo do Euler’s Eyes. As figuras interativas foram feitas para este site.

October 1, 2026 Iniciar leitura

Leitura: Euler, a análise encarnada

Leitura complementar Leitura Euler, a análise encarnada Leonhard Euler (1707–1783) nasceu em Basileia, na Suíça. O pai, pastor protestante, queria que ele seguisse a carreira religiosa, mas o jovem foi aluno de Johann Bernoulli, então o maior matemático da Europa, que logo reconheceu o seu talento e convenceu a família a deixá-lo estudar matemática. Leonhard Euler, retratado em 1753.Jakob Emanuel Handmann · Wikimedia Commons · Domínio público Em 1727, aos vinte anos, foi para a recém-criada Academia de Ciências de São Petersburgo, na Rússia, onde já trabalhavam Daniel e Nicolau Bernoulli, filhos do seu mestre. Por volta de 1738, depois de uma doença, perdeu a visão do olho direito. Em 1741 aceitou o convite de Frederico, o Grande, e passou 25 anos na Academia de Berlim; em 1766 voltou a São Petersburgo, onde ficou até morrer. Pouco depois do retorno, uma catarata tirou-lhe a visão do outro olho: Euler passou os últimos dezessete anos da vida praticamente cego — e foi nesse período que produziu quase metade da sua obra, ditando a assistentes e fazendo de cabeça cálculos enormes. Euler escreveu sobre quase tudo: análise, teoria dos números, geometria, mecânica, astronomia, óptica, música, construção naval. Os seus livros foram tão lidos que muitas das notações que ele usou se tornaram as nossas: $e$ para a base dos logaritmos naturais, $\pi$ para a razão entre a circunferência e o diâmetro, $i$ para $\sqrt{-1}$, $f(x)$ para uma função, $\Sigma$ para uma soma, e letras minúsculas $a$, $b$, $c$ para os lados de um triângulo opostos aos ângulos $A$, $B$, $C$. Para a trigonometria, a obra decisiva foi a Introductio in analysin infinitorum (“Introdução à análise dos infinitos”), de 1748. Nela, seno e cosseno deixaram de ser segmentos de um círculo de raio arbitrário e passaram a ser funções de um número, medidas num círculo de raio 1 — exatamente o ciclo trigonométrico deste livro. Ali aparece também a célebre fórmula que liga a trigonometria à exponencial: $$e^{ix} = \cos x + i\operatorname{sen} x.$$Euler morreu em São Petersburgo, em 1783, aos 76 anos. O astrônomo François Arago disse que ele “calculava sem esforço aparente, como os homens respiram e as águias se sustentam no ar”; e os seus contemporâneos o chamavam de a análise encarnada.

October 24, 2026 Iniciar leitura

Leitura: Poncelet, a geometria escrita na prisão

Leitura complementar Leitura Poncelet, a geometria escrita na prisão Jean-Victor Poncelet (1788–1867) nasceu em Metz, no leste da França. Estudou na Escola Politécnica de Paris, onde foi aluno de Gaspard Monge, o criador da geometria descritiva, e depois na escola de engenharia militar de Metz. Em 1812, como tenente de engenharia, acompanhou o exército de Napoleão na invasão da Rússia. Jean-Victor Poncelet.Smithsonian Libraries · Wikimedia Commons · Domínio público Na retirada de Moscou, foi dado como morto na batalha de Krasnoi e acabou prisioneiro. Levado a pé, no inverno, até Saratov, às margens do Volga, passou cerca de dezoito meses em cativeiro. Sem livros, reconstruiu de memória o que aprendera com Monge e foi além: começou a desenvolver a geometria projetiva, o estudo das propriedades das figuras que não se alteram quando elas são projetadas de um plano em outro — as mesmas propriedades que Desargues e Pascal tinham começado a explorar no século XVII. Libertado em 1814, voltou à França e passou a publicar os seus resultados, primeiro sobre polígonos inscritos e circunscritos a cônicas. A grande obra, o Traité des propriétés projectives des figures (“Tratado das propriedades projetivas das figuras”), saiu em 1822. Nela, Poncelet mostrou que propriedades como o alinhamento de pontos ou a tangência se conservam por projeção, e usou sistematicamente a relação entre polo e polar de uma cônica, base do princípio de dualidade: em geometria projetiva plana, todo teorema sobre pontos e retas continua verdadeiro quando se trocam as palavras “ponto” e “reta”. Essas ideias abriram caminho para o estudo das invariantes projetivas, como a razão dupla (ou anarmônica) de quatro pontos, desenvolvida por Möbius e Chasles, e para o programa de Felix Klein, que em 1872 classificou as geometrias pelos grupos de transformações que as preservam. Poncelet foi também um importante engenheiro: projetou rodas hidráulicas e ensinou mecânica aplicada. Morreu em Paris, em 1867.

October 23, 2026 Iniciar leitura

Leitura: Fourier e a condução do calor

Leitura complementar Leitura Fourier e a condução do calor Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) nasceu em Auxerre, na França, filho de um alfaiate. Órfão antes dos 10 anos, foi educado na escola militar da cidade, dirigida por monges beneditinos. Ainda menino escrevia sermões que padres de outras cidades usavam, e aos 13 anos descobriu a matemática, na qual se destacou rapidamente. Chegou a se preparar para entrar na ordem beneditina, mas a Revolução de 1789 mudou os seus planos. Joseph Fourier, em gravura de Julien-Léopold Boilly.Julien-Léopold Boilly · Wikimedia Commons · Domínio público Fourier aderiu com entusiasmo à causa revolucionária — e quase foi guilhotinado no Terror de 1794. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, em Paris, tornou-se professor e começou os trabalhos que o tornariam célebre; dessa época é o seu método para separar as raízes reais das equações algébricas, um problema que Newton havia iniciado. Em 1798 acompanhou Napoleão na expedição ao Egito, onde foi secretário do Instituto do Cairo, dirigiu trabalhos de engenharia e se tornou um especialista em egiptologia. De volta à França, foi nomeado prefeito do departamento de Isère, em Grenoble, e ali, entre 1804 e 1807, estudou a propagação do calor num corpo sólido. Para resolver as equações que encontrou, escreveu a temperatura como uma soma infinita de senos e cossenos — um tipo de desenvolvimento em série diferente do de Taylor, porque usa funções periódicas em vez de potências. A ideia de que funções quaisquer, até as que têm “quinas”, podem ser escritas dessa forma pareceu absurda a Lagrange e a outros membros da Academia, que receberam com reservas a memória de 1807. Fourier insistiu, e em 1822 publicou a Théorie analytique de la chaleur, marco da física-matemática. As séries de Fourier acabaram exigindo uma revisão completa dos conceitos de função, convergência e integral — trabalho a que se dedicaram Dirichlet, Riemann e Cantor — e hoje estão em toda parte: na compressão de músicas e imagens, na análise de terremotos e na ressonância magnética. Fourier morreu em Paris, em 1830.

October 22, 2026 Iniciar leitura

Leitura: Bolzano, o padre que se refugiou na matemática

Leitura complementar Leitura Bolzano, o padre que se refugiou na matemática Bernard Bolzano (1781–1848) nasceu e morreu em Praga, então parte do Império Austríaco. Foi padre católico e professor de filosofia da religião, mas suas ideias — pacifistas e críticas à ordem social — desagradaram à Igreja e ao governo: em 1819 ele perdeu a cátedra e passou a viver afastado, escrevendo. A matemática virou o seu refúgio, e os seus contemporâneos quase não a leram. Bernard Bolzano.Autor não identificado · Wikimedia Commons · Domínio público Em 1817 publicou a Rein analytischer Beweis (“Prova puramente analítica”), em que demonstra sem apelar para desenhos que uma função contínua que muda de sinal num intervalo se anula nele — o atual teorema do valor intermediário. Para isso precisou de uma definição de continuidade que não dependesse da intuição geométrica. Bolzano percebeu tão cedo a necessidade de rigor na análise que Felix Klein o chamaria de “pai da aritmetização”. Ele e Cauchy nunca se encontraram, mas chegaram a definições muito parecidas de limite, continuidade e convergência; foi Cauchy, com mais prestígio, quem as tornou conhecidas. Em 1834, Bolzano construiu uma função contínua num intervalo e sem derivada em nenhum ponto dele. O exemplo ficou inédito, e o mérito acabou indo para Weierstrass, que redescobriu esses resultados décadas depois. O mesmo destino tiveram outros trabalhos: hoje chamamos de teorema de Bolzano-Weierstrass o que garante que todo conjunto limitado com infinitos elementos tem pelo menos um ponto de acumulação, e um dos critérios de convergência de séries leva o nome de Cauchy. No livro póstumo Paradoxos do infinito (1851), Bolzano mostrou que há tantos números reais entre 0 e 1 quanto entre 0 e 2 — basta associar $x$ a $2x$ —, ou tantos pontos num segmento de um centímetro quanto num de dois. Retomando uma observação de Galileu, aceitou que um conjunto infinito pode ser posto em correspondência com uma parte de si mesmo. Parece ter intuído que o infinito dos números reais é de outra espécie que o dos inteiros, ideia que só Cantor tornaria precisa. Não é à toa que se diz que Bolzano foi “uma voz clamando no deserto”.

October 22, 2026 Iniciar leitura

Capítulo 1: referências e créditos

Para aprofundar Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. A obra de referência sobre a origem de cada símbolo; quase todas as datas deste capítulo podem ser conferidas nela. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. Uma história acessível, com o mesmo tema deste livro. Ifrah, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1989. Sobre os sistemas de numeração e o zero. Klein, Jacob. Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge, MA: MIT Press, 1968. Sobre a passagem de Diofanto a Viète. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 2012. Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis. Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1967. Sobre a disputa entre quatérnios e vetores. Maor, Eli. Trigonometric Delights. Princeton: Princeton University Press, 1998. Sobre a história do seno e dos nomes da trigonometria. Grabiner, Judith V. The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Cambridge, MA: MIT Press, 1981. Sobre Berkeley, Cauchy e o limite. Miller, Jeff. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Página mantida desde os anos 1990, com as primeiras ocorrências conhecidas de cada sinal. MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews: biografias de al-Khwarizmi, Fibonacci, Recorde, Viète, Harriot, Oughtred, Cayley, Boole, Frege e Peano. Os textos antigos deste site sobre geometria, trigonometria, raiz quadrada, equação do segundo grau, logaritmos, derivadas, regra da cadeia, integrais, limites, funções, equações diferenciais, grupos, matrizes, vetores e quatérnios foram a base para a reescrita deste capítulo. Deles vêm a história do radix quadrati, a figura de completar o quadrado, o teorema de Pitágoras em latim, a etimologia de cateto, hipotenusa, minuto e segundo, a passagem do $\Sigma$ ao $\int$, a prova de que $1=2$, a lei de Hooke, o “cânon do calor” e a propagação de erros, a abreviação de logarithmus até $\log$, a etimologia de derivada e de função, a leitura da função como uma frase com um buraco, a tabuada grupal dos movimentos do triângulo, a disputa entre quatérnios e vetores e as ideias de notação ativa e notação estéril.

October 10, 2026 Iniciar leitura

+, −, × e =: a pequena história dos sinais

Os sinais mais simples da matemática são também os mais jovens. Euclides nunca escreveu um $+$. Al-Khwarizmi nunca escreveu um $=$. Viète, que já usava letras, ainda escrevia aequatur por extenso. Quase todos os sinais de operação que uma criança aprende no primeiro ano nasceram na Europa entre o fim do século XV e o fim do século XVII, num intervalo de uns duzentos anos. 1489Johannes Widmann imprime $+$ e $-$ num livro de aritmética comercial em Leipzig. 1525Christoff Rudolff usa $\surd$ para a raiz quadrada no seu livro de álgebra, o Coss. 1557Robert Recorde inventa o $=$ em The Whetstone of Witte. 1591François Viète usa letras para quantidades conhecidas e desconhecidas. 1631William Oughtred usa $\times$ para a multiplicação; no mesmo ano sai o livro póstumo de Thomas Harriot com $<$ e $>$. 1637René Descartes escreve as potências como expoentes: $x^3$, $x^4$. 1659Johann Rahn usa $\div$ para a divisão. 1698Leibniz propõe o ponto $\cdot$ para a multiplicação, para não confundir $\times$ com a letra $x$. Mais e menos: marcas de armazém Os sinais $+$ e $-$ aparecem impressos pela primeira vez em 1489, num manual de contas para comerciantes escrito por Johannes Widmann. Ali eles ainda não indicam bem uma operação: marcam excesso e falta. Uma caixa de mercadoria que pesava mais do que devia levava um $+$; uma que pesava menos, um $-$. A hipótese mais aceita é que o $+$ seja uma abreviação de et (“e”, em latim), escrita depressa até virar uma cruz.

October 10, 2026 Iniciar leitura