Euler's Eyes
2026-10-30
O legado de Pierre-Simon Laplace
Nunca encontro numa página de Laplace a frase “assim se vê claramente” sem ter certeza de que terei horas de trabalho duro pela frente para preencher a lacuna e descobrir como isso se vê claramente.
— Nathaniel Bowditch, sobre a Mecânica celeste
Poucos matemáticos têm o nome em tantos objetos. Um estudante de engenharia encontra Laplace três ou quatro vezes antes de terminar o curso, quase sempre sem saber quem ele foi.
O que leva o seu nome
- O laplaciano, $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$, que aparece nas equações do calor, das ondas, da eletricidade e da mecânica quântica, e em filtros de imagem que realçam bordas.
- A transformada de Laplace, ferramenta padrão de circuitos, controle e sinais.
- A distribuição de Laplace, com densidade $\frac{1}{2}e^{-|x|}$, que ele propôs em 1774 como lei dos erros. Tem a forma de duas exponenciais coladas num bico; hoje é usada em estatística robusta e em privacidade diferencial, para acrescentar ruído a dados sem revelar informações individuais.
- A pressão de Young–Laplace, $\Delta P = \gamma\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$, que dá a diferença de pressão através de uma superfície curva com tensão superficial $\gamma$ e raios de curvatura $R_1$ e $R_2$. Thomas Young chegou à ideia em 1805 e Laplace deu a forma matemática em 1806. Ela explica por que as bolhas pequenas têm pressão interna maior e por que a água sobe em tubos finos.
- O desenvolvimento de Laplace dos determinantes, o método de Laplace para integrais e o vetor de Laplace–Runge–Lenz, que aponta sempre para o periélio de uma órbita.
A escola de Arcueil
Laplace queria explicar toda a física como a astronomia: com forças entre partículas, calculadas com precisão. Na sua casa de campo em Arcueil, ao lado da do químico Claude Louis Berthollet, ele reuniu a partir de 1806 um grupo de jovens cientistas, a Sociedade de Arcueil. Ali trabalharam Siméon-Denis Poisson, Jean-Baptiste Biot e François Arago; Joseph Fourier foi seu aluno. O programa de Laplace acabou derrotado em vários pontos, como na luz, em que a teoria ondulatória de Augustin Fresnel venceu a corpuscular, e no calor, em que o calórico foi abandonado. Mas a exigência de matemática precisa em toda a física permaneceu.
Os tradutores
A Mecânica celeste era célebre por ser difícil. Laplace pulava passos e escrevia “é fácil ver” onde havia páginas de contas. O americano Nathaniel Bowditch, navegador e atuário autodidata de Salem, Massachusetts, traduziu os quatro primeiros volumes para o inglês entre 1829 e 1839, acrescentando comentários que preenchiam as lacunas: os comentários ocupam mais espaço que o texto original. Na Grã-Bretanha, a escocesa Mary Somerville publicou em 1831 The Mechanism of the Heavens, uma versão explicada da obra que foi usada em Cambridge durante décadas. Por esses dois livros, gerações de leitores de língua inglesa aprenderam mecânica celeste.
Lugares
Laplace é um dos 72 cientistas e engenheiros franceses cujos nomes estão gravados na Torre Eiffel. Na Lua, o Promontorium Laplace é um cabo na borda do Mar das Chuvas, e o asteroide 4628 Laplace leva o seu nome. Na sua terra natal, Beaumont-en-Auge, uma estátua o lembra.
O legado mais profundo, porém, talvez seja uma atitude. Laplace mostrou que o céu pode ser previsto e que a incerteza pode ser medida. As duas metades da sua obra, a mecânica celeste e a probabilidade, parecem opostas, uma do determinismo e outra do acaso. Para ele eram a mesma coisa: a matemática aplicada a tudo o que se pode saber, e também ao que não se sabe. A probabilidade, escreveu, é “o bom senso reduzido ao cálculo”.
Exercício: a área da distribuição de Laplace
Mostre que $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2}e^{-|x|}\,dx = 1$.
A função é simétrica, então a integral é o dobro da integral de 0 a $\infty$:
$$2 \cdot \frac{1}{2}\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx = \Big[-e^{-x}\Big]_0^{\infty} = 0 - (-1) = 1.$$Exercício: a pressão numa bolha de sabão
Uma bolha de sabão tem raio $R = 1$ cm e a película tem tensão superficial $\gamma = 0{,}025$ N/m. Qual a diferença de pressão entre o interior e o exterior?
Numa esfera, $R_1 = R_2 = R$, e cada superfície contribui $\frac{2\gamma}{R}$. A película de sabão tem duas superfícies, a de dentro e a de fora, então $\Delta P = \frac{4\gamma}{R} = \frac{4 \times 0{,}025}{0{,}01} = 10$ Pa. Com $R = 2$ cm, a diferença cairia para 5 Pa: quanto menor a bolha, maior a pressão interna. Por isso, se duas bolhas de tamanhos diferentes forem ligadas por um tubo, a pequena esvazia dentro da grande.
Fontes: Nathaniel Bowditch (trad.), Mécanique céleste by the Marquis de La Place, 4 vols. (1829–1839), com a memória do tradutor por N. I. Bowditch · Mary Somerville, The Mechanism of the Heavens (1831) · Robert Fox, “The Rise and Fall of Laplacian Physics”, Historical Studies in the Physical Sciences 4 (1974) · Stephen M. Stigler, The History of Statistics (1986) · Charles C. Gillispie, Pierre-Simon Laplace (1997).
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