Euler's Eyes
2026-10-30
O demônio de Laplace
Devemos considerar o estado presente do universo como o efeito do seu estado anterior e como a causa do que virá. Uma inteligência que, num dado instante, conhecesse todas as forças que animam a natureza e a situação respectiva dos seres que a compõem, e que fosse vasta o bastante para submeter esses dados à análise, abarcaria na mesma fórmula os movimentos dos maiores corpos do universo e os do mais leve átomo: nada seria incerto para ela, e o futuro, assim como o passado, estaria presente aos seus olhos.
— Pierre-Simon Laplace, Ensaio filosófico sobre as probabilidades (1814)
Esta é a passagem mais citada de Laplace. Ela resume a visão de mundo da mecânica de Newton levada até o fim: se as leis do movimento são exatas e se o presente é conhecido com perfeição, o futuro está inteiramente determinado. É o determinismo.
Um demônio que não era demônio
Laplace nunca usou a palavra “demônio”: ele falava de uma “inteligência”. O apelido veio depois, por analogia com outros seres imaginários da física. E o contexto da passagem costuma ser esquecido. Ela está no começo de um livro de probabilidade, e o argumento de Laplace é o oposto do que parece.
Ele diz que o espírito humano só oferece uma pálida imagem dessa inteligência. Não conhecemos todas as forças nem todas as posições; conhecemos apenas uma parte. E é justamente por isso que precisamos da probabilidade. Para Laplace, a probabilidade não mede um acaso que existe no mundo, mede a nossa ignorância parcial. Uma moeda lançada segue as leis da mecânica; dizemos que a chance de cara é $\frac{1}{2}$ porque não conhecemos com exatidão a força do lançamento. É a mesma visão que está por trás da regra de sucessão: a probabilidade como grau de crença de quem sabe pouco.
O caos
O determinismo de Laplace supõe que, conhecendo o presente quase com perfeição, conheceríamos o futuro quase com perfeição. Em 1890 Henri Poincaré, estudando o problema dos três corpos, percebeu que nem sempre é assim. Em certos sistemas, uma diferença minúscula nas condições iniciais cresce sem parar. Em 1963 o meteorologista Edward Lorenz redescobriu o fenômeno numa simulação do tempo atmosférico: o que hoje se chama caos, ou efeito borboleta.
Uma conta simples mostra a força do efeito. Suponha que um erro inicial de $10^{-10}$, uma parte em dez bilhões, dobre a cada passo. Depois de $n$ passos o erro é $2^n \cdot 10^{-10}$, e ele chega à ordem de 1, o tamanho do próprio sistema, quando
$$2^n = 10^{10} \quad\Longleftrightarrow\quad n = \frac{10}{\log_{10} 2} \approx 33.$$Bastam 33 passos para que uma precisão de dez casas decimais não sirva para nada. E cada casa decimal a mais acrescenta só uns 3,3 passos. A inteligência de Laplace precisaria de precisão infinita.
No século XX a mecânica quântica foi além: segundo o princípio da incerteza de Heisenberg, posição e velocidade de uma partícula não podem nem sequer ser conhecidas ao mesmo tempo com precisão arbitrária. O mundo de Laplace, em que o presente determina o futuro, deu lugar a um mundo em que a própria probabilidade está nas leis.
Exercício: quinze casas decimais
Um computador guarda números com cerca de 15 casas decimais. Se o erro dobra a cada passo, depois de quantos passos uma simulação caótica perde toda a precisão?
Precisamos de $2^n \cdot 10^{-15} \approx 1$, ou $n = \frac{15}{\log_{10} 2} \approx \frac{15}{0{,}301} \approx 50$ passos. Mesmo com a melhor aritmética disponível, a previsão perde o sentido depois de umas cinco dezenas de duplicações.
Exercício: o limite da previsão do tempo
Suponha que, na atmosfera, os erros dobrem a cada 2 dias e que uma previsão fique inútil quando o erro chega a 100% do valor medido. Com medidas iniciais com erro de 1%, até quantos dias se pode prever? E se o erro inicial caísse para 0,1%?
Com 1%, o erro precisa crescer 100 vezes: $2^n = 100$, $n = \log_2 100 \approx 6{,}6$ duplicações, ou cerca de 13 dias. Com 0,1%, o fator é 1000: $n = \log_2 1000 \approx 10$ duplicações, cerca de 20 dias. Medir dez vezes melhor rende só uma semana a mais de previsão. É por isso que, apesar dos supercomputadores, a previsão do tempo detalhada não passa de duas semanas.
Fontes: Pierre-Simon Laplace, Essai philosophique sur les probabilités (1814), introdução · Henri Poincaré, “Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique”, Acta Mathematica 13 (1890) · Edward N. Lorenz, “Deterministic Nonperiodic Flow”, Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963) · Ian Stewart, Does God Play Dice? The Mathematics of Chaos (1989) · Ian Hacking, The Taming of Chance (1990).
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