História Da Matemática

A vida de René Descartes

Linha do tempo 1596Nasce em 31 de março, em La Haye, na região da Touraine, na França. 1607Entra no colégio jesuíta de La Flèche, um dos melhores da Europa. 1616Forma-se em Direito pela Universidade de Poitiers. 1618Entra para o exército de Maurício de Nassau, na Holanda, e conhece Isaac Beeckman. 1619Na noite de 10 de novembro, tem três sonhos que decide seguir como uma missão. 1628Muda-se para a Holanda, onde vive por cerca de 20 anos. 1633Desiste de publicar O Mundo ao saber da condenação de Galileu. 1637Publica o Discurso do Método, com o apêndice A Geometria. 1641Publica as Meditações sobre a Filosofia Primeira. 1643Começa a trocar cartas com a princesa Elisabeth da Boêmia. 1649Vai a Estocolmo, a convite da rainha Cristina da Suécia. 1650Morre em 11 de fevereiro, em Estocolmo. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1596 La HayeNasce numa pequena cidade da Touraine, que hoje se chama Descartes em sua homenagem. 1607–1614 La FlècheEstuda no colégio jesuíta de La Flèche, um dos melhores da Europa. Tem licença para ficar na cama de manhã. 1616 PoitiersForma-se em Direito pela Universidade de Poitiers. 1618 BredaEntra para o exército de Maurício de Nassau e conhece Isaac Beeckman, que o desafia com problemas de física e matemática. 1619 perto de UlmNuma noite de inverno, num quarto aquecido por uma estufa, tem os três sonhos que decide seguir como uma missão. 1628–1649 HolandaVive cerca de vinte anos nas Províncias Unidas, mudando de casa muitas vezes. Publica em Leiden o Discurso do Método (1637), com A Geometria. 1649–1650 EstocolmoVai a convite da rainha Cristina, que quer aulas às cinco da manhã. Morre de pneumonia em 11 de fevereiro de 1650. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. O caminho de Descartes, da Touraine à Holanda e, no fim da vida, à Suécia. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

September 30, 2026 Iniciar leitura

A vida de Leonhard Euler

Linha do tempo 1707Nasce em 15 de abril, em Basileia, na Suíça. 1720Entra na Universidade de Basileia, aos 13 anos. Passa a estudar com Johann Bernoulli. 1727Muda-se para a Academia de Ciências de São Petersburgo, na Rússia. 1735Resolve o problema de Basileia e analisa as pontes de Königsberg. 1738Perde quase toda a visão do olho direito. 1741Vai para a Academia de Berlim, a convite de Frederico II da Prússia. 1748Publica a Introductio in analysin infinitorum, onde aparece $e^{ix} = \cos x + i \sin x$. 1750Em carta a Goldbach, enuncia a fórmula dos poliedros $V - A + F = 2$. 1766Volta a São Petersburgo, a convite de Catarina, a Grande. Uma catarata atinge o olho esquerdo. 1771Uma cirurgia de catarata fracassa e ele fica praticamente cego. Continua trabalhando. 1783Morre em 18 de setembro, em São Petersburgo. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1707–1727 BasileiaNasce e cresce na Suíça. Aos 13 anos entra na universidade e passa a ter aulas de sábado com Johann Bernoulli. 1727 LübeckDesce o Reno de barco, atravessa a Alemanha de carruagem e embarca em Lübeck para a Rússia. 1727–1741 São PetersburgoTrabalha na Academia de Ciências. Resolve o problema de Basileia, estuda as pontes de Königsberg e perde a visão do olho direito. 1741–1766 BerlimA convite de Frederico II, vai para a Academia de Berlim. Publica a Introductio in analysin infinitorum e a fórmula $e^{ix}=\cos x+i\sin x$. 1766–1783 São PetersburgoVolta a convite de Catarina, a Grande. Fica quase cego, mas continua ditando artigos até morrer, em 1783. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. As cidades de Euler, de Basileia a São Petersburgo. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

September 29, 2026 Iniciar leitura

A integral de Riemann

Newton e Leibniz inventaram o cálculo integral no século XVII, mas durante muito tempo ninguém se preocupou em definir com precisão o que é uma integral. Para as funções comuns, a integral era simplesmente o inverso da derivada, ou a área sob a curva, e isso bastava. Funções estranhas No começo do século XIX a situação mudou. Fourier mostrou que funções muito irregulares, com saltos e cantos, podiam ser escritas como somas de senos e cossenos, e os coeficientes dessas somas eram dados por integrais. Mas que sentido tinha integrar uma função cheia de saltos? Cauchy deu uma primeira definição para funções contínuas. Dirichlet, o professor de Riemann, encontrou em 1829 uma função que não se podia integrar de jeito nenhum: a que vale 1 nos racionais e 0 nos irracionais.

October 31, 2026 Iniciar leitura

Júpiter, Saturno e a estabilidade do Sistema Solar

Newton explicou as órbitas dos planetas com uma única lei, mas sabia que ela trazia um problema. Cada planeta é puxado pelo Sol e também, um pouco, pelos outros planetas. Essas pequenas atrações se acumulam com o tempo. Newton suspeitava que, a longo prazo, o Sistema Solar se desarrumaria e que seria preciso uma intervenção divina, de tempos em tempos, para pô-lo de novo em ordem. O enigma de Júpiter e Saturno Os astrônomos tinham motivos para se preocupar. Comparando observações antigas e modernas, Edmond Halley notara em 1695 que Júpiter parecia andar cada vez mais depressa e Saturno cada vez mais devagar. Se fosse uma tendência permanente, Júpiter acabaria caindo no Sol e Saturno se perderia no espaço. Euler e Lagrange tentaram explicar o fenômeno e não conseguiram.

October 30, 2026 Iniciar leitura

Eureka: a coroa do rei e o princípio de Arquimedes

A história mais famosa sobre Arquimedes não aparece em nenhum livro dele. Foi contada dois séculos depois pelo arquiteto romano Vitrúvio, no livro IX do seu tratado Sobre a arquitetura. A coroa de Hierão O rei Hierão tinha encomendado uma coroa votiva para oferecer aos deuses e entregado ao ourives uma quantidade exata de ouro. A coroa ficou pronta e pesava o mesmo que o ouro entregue. Mas correu o boato de que o ourives tinha ficado com parte do ouro e posto no lugar a mesma massa de prata. Hierão pediu a Arquimedes que descobrisse a verdade sem danificar a coroa.

October 29, 2026 Iniciar leitura

A curva de Agnesi

Agnesi não descobriu a curva que leva o seu nome. Mas foi pelo seu livro que a curva ficou conhecida, porque ela a usou como exemplo de como passar de uma construção geométrica para uma equação, que era exatamente o que o novo método de Descartes prometia. A construção Comece com um círculo de diâmetro $OM = a$, com $O$ embaixo e $M$ em cima, e trace a reta tangente ao círculo no ponto $M$. Agora:

October 28, 2026 Iniciar leitura

O teorema dos números poligonais

Os gregos já arrumavam pedrinhas em figuras. Com 1, 3, 6, 10 pedrinhas se formam triângulos; com 1, 4, 9, 16, quadrados; com 1, 5, 12, 22, pentágonos. Esses são os números poligonais. A fórmula O $n$-ésimo número com $k$ lados se obtém somando uma progressão aritmética que começa em 1 e cresce de $k - 2$ em $k - 2$: $$P_k(n) = 1 + (k-1) + (2k-3) + \cdots = \frac{n\,\big((k-2)n - (k-4)\big)}{2}.$$Para $k = 3$ vêm os triangulares $\frac{n(n+1)}{2}$: 1, 3, 6, 10, 15, … Para $k = 4$, os quadrados $n^2$. Para $k = 5$, os pentagonais $\frac{n(3n-1)}{2}$: 1, 5, 12, 22, 35, … Vamos contar também o zero, $P_k(0) = 0$.

October 27, 2026 Iniciar leitura

Os sistemas de raios e a refração cônica

No começo do século XIX a óptica era uma coleção de casos: o espelho plano, o espelho curvo, a lente, o prisma, cada um com as suas fórmulas. Hamilton, ainda estudante, perguntou-se se não havia uma única ideia por trás de todos. O resultado foi a Teoria dos sistemas de raios, lida na Royal Irish Academy em 1827 e ampliada nos anos seguintes. Uma função para governar todos os raios O ponto de partida é um princípio de Fermat: a luz vai de um ponto a outro pelo caminho que leva o menor tempo, ou, mais exatamente, um tempo estacionário. Hamilton tomou esse tempo como função das extremidades. Para dois pontos $A$ e $B$, seja $V(A, B)$ o “comprimento óptico” do caminho da luz entre eles: a distância percorrida em cada meio, multiplicada pelo índice de refração desse meio. Ele chamou $V$ de função característica.

October 27, 2026 Iniciar leitura

Os ordinais: números feitos de conjuntos vazios

No começo do século XX, os matemáticos queriam construir a matemática inteira a partir de uma só ideia, a de conjunto. Mas o que é, nessa linguagem, o número $3$? Georg Cantor tinha falado de “ordinais”, números que medem posições numa fila: primeiro, segundo, terceiro, e depois de todos os finitos, um primeiro infinito, $\omega$. Faltava dizer o que esses números são, como conjuntos. Em 1923, aos 19 anos, von Neumann publicou um artigo curto, Sobre a introdução dos números transfinitos, com uma resposta tão econômica que se tornou a definição padrão.

October 26, 2026 Iniciar leitura

A máquina de Turing: calcular com lápis, fita e regras

Em 1936 não existia nenhum computador. A palavra computer, em inglês, queria dizer uma pessoa que fazia contas por profissão, com lápis e papel, em escritórios de seguros, observatórios e repartições. Turing partiu dessa pessoa. Perguntou o que ela realmente faz quando calcula e foi tirando tudo o que não é essencial. O que sobra de quem calcula O raciocínio de Turing, no artigo “Sobre os números computáveis”, é quase uma lista de simplificações:

October 18, 2026 Iniciar leitura

Multiplicar somando: as duas progressões

Escreva numa linha as potências de 2 e, embaixo, os expoentes: $$\begin{array}{c|ccccccccccc} 2^n & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 & 128 & 256 & 512 & 1024\\ \hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{array}$$A linha de cima é uma progressão geométrica: cada número é o anterior vezes 2. A de baixo é uma progressão aritmética: cada número é o anterior mais 1. Agora tente multiplicar $16\times64$. Embaixo de 16 está o 4; embaixo de 64, o 6. Some: $4+6=10$. Em cima do 10 está o 1024. E de fato

October 16, 2026 Iniciar leitura

Embaralhar as raízes: o grupo de uma equação

Saltar de pés juntos sobre os cálculos; agrupar as operações, classificá-las segundo as suas dificuldades e não segundo as suas formas: essa é, a meu ver, a missão dos geômetras futuros. — Évariste Galois, prefácio a um manuscrito (1831) Sessenta anos antes de Galois, Lagrange tinha olhado para expressões feitas com as raízes de uma equação e contado quantos valores elas tomam quando as raízes trocam de lugar. Galois deu um passo a mais. Em vez de olhar para as expressões, olhou para as trocas. E não para todas: só para as que a equação permite.

October 16, 2026 Iniciar leitura