Newton explicou as órbitas dos planetas com uma única lei, mas sabia que ela trazia um problema. Cada planeta é puxado pelo Sol e também, um pouco, pelos outros planetas. Essas pequenas atrações se acumulam com o tempo. Newton suspeitava que, a longo prazo, o Sistema Solar se desarrumaria e que seria preciso uma intervenção divina, de tempos em tempos, para pô-lo de novo em ordem.

O enigma de Júpiter e Saturno

Os astrônomos tinham motivos para se preocupar. Comparando observações antigas e modernas, Edmond Halley notara em 1695 que Júpiter parecia andar cada vez mais depressa e Saturno cada vez mais devagar. Se fosse uma tendência permanente, Júpiter acabaria caindo no Sol e Saturno se perderia no espaço. Euler e Lagrange tentaram explicar o fenômeno e não conseguiram.

Em 1785 Laplace encontrou a resposta. Não era uma tendência, era uma oscilação muito lenta, com período de quase 900 anos. Os astrônomos tinham observado apenas um pedaço dela e confundido o trecho com uma reta.

Cinco voltas contra duas

A chave está nos períodos. Júpiter dá uma volta no Sol em cerca de 11,86 anos e Saturno em 29,46. Isso quer dizer que, por ano, eles avançam

$$n_J = \frac{360^\circ}{11{,}86} \approx 30{,}35^\circ, \qquad n_S = \frac{360^\circ}{29{,}46} \approx 12{,}22^\circ.$$

Repare que duas voltas de Saturno duram quase o mesmo que cinco de Júpiter: $2 \times 29{,}46 = 58{,}9$ anos e $5 \times 11{,}86 = 59{,}3$ anos. Dizemos que os dois planetas estão perto de uma ressonância de 5 para 2. A diferença que importa é

$$2n_J - 5n_S \approx 60{,}70^\circ - 61{,}10^\circ = -0{,}40^\circ \text{ por ano}.$$

Ela é pequena, e é isso que faz a perturbação demorar a se desfazer: uma volta completa desse ângulo leva

$$\frac{360^\circ}{0{,}40^\circ \text{ por ano}} \approx 880 \text{ anos}.$$

As conjunções em triângulo

Há um jeito visual de ver a mesma coisa. Os dois planetas se alinham com o Sol, numa conjunção, a cada

$$\frac{1}{\frac{1}{11{,}86} - \frac{1}{29{,}46}} \approx 19{,}86 \text{ anos},$$

e cada conjunção acontece cerca de $242{,}7^\circ$ adiante da anterior. Três conjunções seguidas avançam $3 \times 242{,}7^\circ = 728{,}1^\circ$, ou seja, duas voltas inteiras e mais $8{,}1^\circ$. Por isso as conjunções caem quase sempre nos mesmos três lugares do céu, nos vértices de um triângulo quase equilátero, e o triângulo gira devagar. É nesses lugares que os puxões de um planeta sobre o outro se repetem e se somam:

Como o triângulo volta a ficar igual depois de girar $120^\circ$, o ciclo dura $\frac{120^\circ}{8{,}1^\circ} \approx 15$ trios de conjunções, ou seja, $15 \times 3 \times 19{,}86 \approx 890$ anos: o mesmo período, por outro caminho. Laplace calculou que, ao longo do ciclo, Saturno se adianta e se atrasa cerca de $0{,}8^\circ$ em relação à posição média, e Júpiter cerca de $0{,}35^\circ$, sempre em sentidos opostos. As tabelas que ele construiu com essa correção concordaram com as observações de dois mil anos.

O Sistema Solar se corrige sozinho

O resultado sobre Júpiter e Saturno fazia parte de um programa maior. Já em 1773, aos 24 anos, Laplace mostrara que, numa primeira aproximação, os semieixos maiores das órbitas, que fixam o tamanho e o período de cada planeta, não mudam com o tempo: as perturbações os fazem oscilar, mas não crescer sem parar. Em 1787 explicou do mesmo modo outro enigma antigo, a aparente aceleração da Lua, ligando-a a uma variação lenta da excentricidade da órbita da Terra.

A conclusão parecia completa: as irregularidades do céu são periódicas e se compensam. O Sistema Solar seria uma máquina estável, sem precisar de ajustes de fora. É desse resultado que vem a frase atribuída a Laplace diante de Napoleão, de que não precisava da “hipótese” de Deus para explicar o céu.

Exercício: a ressonância de Netuno e Plutão

Netuno dá uma volta no Sol em cerca de 164,8 anos e Plutão em cerca de 248,0. Que ressonância simples existe entre os dois?

Calcule a razão: $\frac{248{,}0}{164{,}8} \approx 1{,}505 \approx \frac{3}{2}$. Enquanto Netuno dá três voltas ($3 \times 164{,}8 = 494{,}4$ anos), Plutão dá duas ($2 \times 248{,}0 = 496{,}0$ anos). É uma ressonância de 3 para 2, e ela é que impede os dois de se aproximarem, embora a órbita de Plutão cruze a de Netuno.

Exercício: o período sinódico

Mostre que, se dois planetas têm períodos $T_1 < T_2$, o tempo entre duas conjunções seguidas é $\frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}$, e aplique a Júpiter e Saturno.

Em um tempo $t$, o planeta mais rápido avança $\frac{360^\circ t}{T_1}$ e o mais lento $\frac{360^\circ t}{T_2}$. Há uma nova conjunção quando o mais rápido ganha uma volta inteira: $\frac{t}{T_1} - \frac{t}{T_2} = 1$, ou seja, $t = \frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}$. Para Júpiter e Saturno: $\frac{11{,}86 \times 29{,}46}{17{,}60} \approx 19{,}85$ anos.

Fontes: Pierre-Simon Laplace, “Théorie de Jupiter et de Saturne”, Mémoires de l’Académie royale des sciences (1785, publicado em 1788) · Curtis Wilson, “The Great Inequality of Jupiter and Saturn: from Kepler to Laplace”, Archive for History of Exact Sciences 33 (1985) · Jacques Laskar, “A numerical experiment on the chaotic behaviour of the Solar System”, Nature 338 (1989) · Charles C. Gillispie, Pierre-Simon Laplace (1997).

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