Euler's Eyes
2026-10-28
A curva de Agnesi
Agnesi não descobriu a curva que leva o seu nome. Mas foi pelo seu livro que a curva ficou conhecida, porque ela a usou como exemplo de como passar de uma construção geométrica para uma equação, que era exatamente o que o novo método de Descartes prometia.
A construção
Comece com um círculo de diâmetro $OM = a$, com $O$ embaixo e $M$ em cima, e trace a reta tangente ao círculo no ponto $M$. Agora:
- escolha um ponto $N$ qualquer na reta tangente;
- trace a reta $ON$, que corta o círculo num ponto $A$;
- o ponto $P$ da curva fica na vertical que passa por $N$ e na horizontal que passa por $A$.
Movendo $N$ ao longo da tangente, o ponto $P$ desenha uma curva em forma de sino:
A equação
Ponha $O$ na origem, com o eixo $y$ ao longo do diâmetro. O círculo tem centro $\left(0, \frac{a}{2}\right)$ e raio $\frac{a}{2}$, ou seja,
$$x^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 = ay.$$A tangente em $M$ é a reta $y = a$, e o ponto $N$ é $(n, a)$. Os pontos da reta $ON$ têm a forma $(tn, ta)$. Substituindo na equação do círculo:
$$t^2 n^2 + t^2 a^2 = a \cdot ta \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{a^2}{n^2 + a^2},$$descartando a solução $t = 0$, que é o próprio $O$. A altura do ponto $A$ é portanto $ta = \frac{a^3}{n^2 + a^2}$. O ponto $P$ tem a abscissa de $N$ e a altura de $A$, e então, trocando $n$ por $x$:
$$y = \frac{a^3}{x^2 + a^2}.$$É uma das curvas mais simples que se pode escrever: com $a = 1$, $y = \frac{1}{1 + x^2}$.
A forma do sino
A equação mostra tudo o que a figura sugere:
- a curva é simétrica, porque $x$ só aparece ao quadrado;
- o ponto mais alto é $(0, a)$, o próprio $M$, porque o denominador é mínimo quando $x = 0$;
- quando $x$ cresce, $y$ diminui e se aproxima de zero sem nunca chegar a ele: o eixo $x$ é uma assíntota. Para $x$ grande, $y \approx \frac{a^3}{x^2}$, que cai como o inverso do quadrado.
Uma curva com muitos donos
Pierre de Fermat já conhecia a curva em meados do século XVII. Isaac Newton descreveu a mesma construção num manuscrito que só foi publicado em 1779. Em 1703 o matemático e monge Guido Grandi, de Pisa, deu a construção geométrica, e em 1718 propôs um nome: em latim versoria, em italiano versiera, palavras usadas para a corda que vira a vela de um barco. Agnesi tratou a curva no primeiro volume das Instituzioni analitiche, em 1748, e a chamou de la versiera.
Exercício: alguns pontos da curva
Para $a = 2$, calcule a altura da curva em $x = 2$ e encontre os valores de $x$ em que a curva está na metade da altura máxima.
Com $a = 2$, $y = \frac{8}{x^2 + 4}$. Em $x = 2$: $y = \frac{8}{8} = 1$. A altura máxima é $a = 2$, e a metade é 1. Resolvendo $\frac{8}{x^2 + 4} = 1$: $x^2 = 4$, $x = \pm 2$. Em geral, a curva está na metade da altura em $x = \pm a$: a “largura a meia altura” do sino é $2a$, o diâmetro do círculo multiplicado por 2.
Exercício: a equação com um ângulo
Seja $\theta$ o ângulo entre a reta $ON$ e o diâmetro $OM$. Mostre que o ponto $P$ é $(a \tan\theta,\ a\cos^2\theta)$.
O ponto $N = (x, a)$ está à altura $a$ e à distância horizontal $x$ do eixo, de modo que $\tan\theta = \frac{x}{a}$ e $x = a\tan\theta$. Então
$$y = \frac{a^3}{a^2\tan^2\theta + a^2} = \frac{a}{1 + \tan^2\theta} = a\cos^2\theta,$$usando $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$. Quando $\theta$ vai de $-90°$ a $90°$, o ponto $P$ percorre a curva inteira.
Fontes: Maria Gaetana Agnesi, Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, vol. I (1748), livro I · Guido Grandi, Quadratura circuli et hyperbolae (1703) e Note al trattato del Galileo del moto naturale accelerato (1718) · John Colson (trad.), Analytical Institutions, ed. John Hellins (1801) · Clifford Truesdell, “Maria Gaetana Agnesi”, Archive for History of Exact Sciences 40 (1989).
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