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読み方: オイラー、分析の化身

補足資料 補足資料 オイラー、分析の化身 レオンハルト・ オイラー (1707 – 1783) はスイスのバーゼルで生まれました。プロテスタントの牧師である父親は彼に宗教の道に進むことを望んでいたが、この青年は当時ヨーロッパで最も偉大な数学者であったヨハン・ ベルヌーイの生徒で、彼はすぐに彼の才能を認め、数学を勉強させてくれるよう家族を説得した。 レオンハルト・オイラー、写真は1753。ヤコブ・エマニュエル・ハンドマン · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 1727 では、20 歳のときに、 彼はロシアに新しく設立されたサンクトペテルブルク科学アカデミーに行きました。そこでは、師匠の息子であるダニエル・ベルヌーイとニコラウ・ベルヌーイがすでに働いていました。 1738頃、病により右目の視力を失った。 1741 年にフリードリヒ大王の招待を受け入れ、25 年間をベルリンアカデミーで過ごしました。 1766 年に彼はサンクトペテルブルクに戻り、死ぬまでそこで過ごしました。帰還後間もなく、白内障でもう一方の目の視力を失いました。オイラーは生涯の最後の 17 年間をほとんど盲目のまま過ごしました。そして、この期間に彼はアシスタントに口述筆記し、頭の中で膨大な計算をしながら作品のほぼ半分を制作しました。 オイラーは、分析、数論、幾何学、力学、天文学、光学、音楽、造船など、ほぼすべてについて書きました。彼の本は非常に広く読まれたため、彼が使用した表記法の多くは私たちのものになりました。自然対数の底は $e$、円周と直径の比は $\pi$、$\sqrt{-1}$ は $i$、関数は $f(x)$、合計は $\Sigma$、小文字は $a$、$b$、$c$ です。角度 $A$、$B$、$C$ の反対側の三角形の辺。 三角法に関しては、決定的な著作は 1748 によるIntroductio in ananalysin immunorum (「無限解析入門」) でした。その中で、サインとコサインは、 任意の半径の円の部分であることをやめ、半径1の円上で測定される数値の関数になりました - まさにこの本の三角関数のサイクルです。三角法を指数関数に結び付ける有名な公式もあります。 $$e^{ix} = \cos x + i\operatorname{sen} x.$$オイラーは、1783 年にサンクトペテルブルクで 76 歳で亡くなりました。天文学者のフランソワ・アラゴは、「人間が呼吸し、ワシが空中で生命を維持するように、一見何の努力もせずに計算した」と述べた。そして同時代の人々は彼を分析の化身と呼びました。 出典: オイラー (MacTutor) · L. オイラー、無限解析の紹介 (1748)。

October 24, 2026 読んだ
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第 VII 章の演習 — 方程式

各方程式について、まず次のことを考えてください。それはどのような基本方程式に帰着しますか?解の族を書いた後、元の方程式の分母を相殺するものがないことを確認してください。 方程式 sin α = sin β 193 方程式を解きます。 a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5}$; b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3}$; c) $\operatorname{sen} x = 0$; d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$; e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$; f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; g) $\operatorname{sen} x = 1$; h) $\operatorname{sen} x = -1$。 解像度を参照してくださいa) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{4\pi}{5} + 2k\pi\right\}$。 b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{\operatorname{sen} x} = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}} \Rightarrow \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{2\pi}{3}$、次に $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right\}$。 c) $\operatorname{sen} x = 0 = \operatorname{sen} 0 \Rightarrow x = 2k\pi$ または $x = \pi + 2k\pi = (2k + 1)\pi$。 $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。 d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$. e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{5\pi}{4}$、次に $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$ または $x = \pi - \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$。 f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$. g) $\operatorname{sen} x = 1 = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}$ (2 つのファミリーは一致します)。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$。 h) $\operatorname{sen} x = -1 = \operatorname{sen}\dfrac{3\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right\}$.

October 24, 2026 読んだ
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逆循環関数

方程式 $\operatorname{sen} x = \frac{1}{3}$ には無限に多くの解がありますが、それらのどれも注目に値する弧ではありません。解決策をどのように書くか? 「正弦が$\frac{1}{3}$である円弧」 の名前が必要です。問題は、このような円弧が無数に存在することです。名前がa 数値を指定するように、正弦が繰り返されない間隔を選択します。この選択により逆循環関数が定義されます。 歴史 $\operatorname{arc\,sen} x$ — 「正弦が $x$ である弧」という表記は、1729 ではダニエル ベルヌーイによって、1772 ではオーストリアの数学者ヨーゼフ シェルファーによって使用され、ラグランジュと他の作家は18世紀末。電卓で一般的な $\operatorname{sen}^{-1} x$ という表記は、イギリスの天文学者ジョン・ ハーシェルによって、関数の逆関数との類推により 1813 で提案されました。 $\frac{1}{\operatorname{sen} x}$ と混同されるという欠点があるため、本書では $\operatorname{arc\,sen}$ を使用します。 ジョン・ハーシェルとは何者だったのか ジョン ハーシェル (1792 – 1871) は、天王星を発見した天文学者ウィリアム ハーシェルの息子です。まだケンブリッジの学生だった頃、 彼はチャールズ バベッジとジョージ ピーコックとともに分析協会 (1812) を設立しました。この団体は、ニュートンの点 $\dot{y}$ の代わりにライプニッツの微積分表記 $dy/dx$ をイギリスに持ち込もうとしていました。彼らは冗談を言いました。 「大学のドットエイジに対する純粋なD主義の原則」を擁護した（ドットエイジは「老衰」を意味する）。この表記法への取り組みの中で、彼の $\operatorname{sen}^{-1}$ が誕生しました。ハーシェルはケープタウンで 4 年間を過ごし、南半球の空の星の地図を作成し、写真の先駆者の 1 人でした。彼は古代工学植物の青色プロセスであるシアノタイプを発明し、写真、ネガティブ、ポジティブという言葉を広めました。彼はウェストミンスター寺院のニュートンの隣に埋葬されている。 1729ダニエル・ ベルヌーイは「A S」と書きます。サインが与えられた円弧の場合。 1772ジョセフ・ シャーファーはアークを使用します。罪 世紀末。 XVIIIラグランジュらはアークシンを広めました。 1813ジョン・ ハーシェルは$\sin^{-1} x$を提案します。 今日電卓では $\sin^{-1}$ を使用します。ブラジルの本、$\operatorname{arc\,sen}$。 出典: John Herschel (MacTutor) · F. Cajori、数学表記の歴史、vol. II (1929)、§§ 532 – 535 · 関数記号の初期の使用法 (Jeff Miller)。

October 24, 2026 読んだ
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区間と古典方程式の解法

これまでのところ、$\mathbb{R}$ の方程式を解き、無限の解の族を取得しました。ただし、 多くの場合、範囲内の解のみが対象となります。たとえば、$0$ と $\pi$ の間にある三角形の角度などです。そして、特定の方程式は独自の手法が存在するほど頻繁に登場し、 それは古典方程式です。 歴史 $a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$ 方程式は、 同じ周期の2 つの振動の和の方程式で、天文学（2 つの円運動の組み合わせ）、波動物理学、電気（位相のずれた交流）に現れます。 $a\operatorname{sen} x + b\cos x$ を単一の変位正弦波、補助角 $\theta$ として書き換えるトリックは、18 世紀の天文学者によってすでに使用されていました。技術者チャールズ スタインメッツが 1893 で交流を複素数として加算できることを示した 19 世紀末に産業上の重要性を獲得しました。各正弦波は長さ (振幅) と傾き (位相) を持つ矢印になり、振動の加算は矢印の加算になります。これはまさに $a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(x + \theta)$ を書くときに行うことです。 チャールズ・スタインメッツとは誰だったのか チャールズ・プロテウス・ スタインメッツ (1865 – 1923) はプロイセン州ブレスラウ (現在のポーランドのヴロツワフ) で生まれましたが、障害により背中が曲がり、背が非常に低くなってしまいました。数学の学生だった彼は社会主義新聞社と関わり、逮捕されると脅されてドイツから逃亡した。 1889 にほとんどお金も持たず、英語も話せない状態で米国に到着しました。数年以内に、彼はスケネクタディのゼネラル・エレクトリック社の主任エンジニアになり、そこで「スケネクタディの魔術師」として知られるようになりました。彼の複素数の手法により、今日家庭に電気を供給する交流ネットワークの設計が可能になりました。誰も動かせない機械の修理に呼ばれた彼は、機械を調べて欠陥箇所にチョークで×印を付けたと言われています。請求額は高額だったので、GE は詳細を尋ねました。スタインメッツ氏は「Xにチョークで印を付ける：1ドル。どこに印を付けるか知っておく：9.999ドル」と答えたと伝えられている。 シュタインメッツ フェーザー: $a\operatorname{sen}x + b\cos x$ は回転する矢印の高さであり、この矢印の長さは $\sqrt{a^2 + b^2}$ です。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 23, 2026 読んだ
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基本方程式

$f$ と $g$ を変数 $x$ の 2 つの三角関数としましょう。方程式 $f(x) = g(x)$ を解くことは、$f(r) = g(r)$ が真の文となる数値 $r$ の集合 $S$ を決定することです。この集合が方程式の解集合（または真理集合）です。 歴史 三角方程式は、その名前が付くずっと前に登場しました。ギリシャ、インド、アラブの天文学者は、観測値を空の位置に変換するために、所定の正弦を持つ弧を見つける必要がありました。これらの中で最も有名なのは、Astronomia nova (1609) に掲載されているケプラー方程式です。 $$M = E - e\operatorname{sen} E,$$これは、経過時間 ($M$) と軌道の離心率 $e$ に基づいて、楕円軌道上の惑星の位置 $E$ を示します。これは代数学の演算では解決できません。ケプラーは多くの試みを経て、幾何学者に方法を見つけるよう要求しました。彼自身が暫定的にそれを解決しました。方程式の解のすべてを整数 $k$ で 1 つの式に記述するという考えは、18 世紀のオイラーが正弦、余弦を正、負、または 1 回転以上の任意の円弧に対して定義された実数の関数として扱い始めてから自然になりました。 ヨハネス・ケプラーとは誰だったのか ヨハネス・ ケプラー (1571 – 1630) はドイツ南部のヴァイル デア シュタットの貧しい家庭に生まれ、天文学者としては不思議なことに、幼少期に天然痘で視力が弱くなり危うく死にそうになりました。グラーツの数学教授であった彼は、 プラハのティコ・ ブラーエの1600助手となり、1年後のティコの死により帝国数学者の地位と火星の観測を引き継ぎました。火星の軌道は円ではなく楕円であると結論付けるまでに 6 年間の計算が必要でした — 1609 で発表されたケプラーの最初の 2 つの法則。彼の私生活は困難でした。最初の妻と数人の子供を失い、1615 から 1621 の間に魔術の容疑で告発された自分の母親カタリーナを弁護しなければなりませんでした。彼女は1年以上投獄され、拷問を受けると脅されたが、息子の弁護のおかげで最終的には無罪となった。 ヨハネス・ケプラー (1571 – 1630)。オーガスト・ケーラー · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ケプラーの方程式。時間を $M$ として、楕円内の惑星の位置を与える角度 $E$ (緑色) を探します。太陽には焦点が合い続けます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 23, 2026 読んだ
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読書: ポンスレ、刑務所で書かれた幾何学

補足資料 補足資料 ポンスレ、刑務所で書かれた幾何学 ジャン=ヴィクトル・ ポンスレ (1788 – 1867) はフランス東部のメスで生まれました。彼はパリの工科大学で記述幾何学の創始者であるガスパール・モンジュの生徒として学び、その後メスの軍事工学学校で学びました。 1812 では工兵大尉としてナポレオン軍のロシア侵攻に同行した。 ジャン＝ヴィクトル・ポンスレ。スミソニアン博物館 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン モスクワからの撤退中に、彼はクラスノイの戦いで死亡したと推定され、最終的に捕虜となった。冬にヴォルガ川岸のサラトフまで徒歩で連れて行かれ、 彼は約 18 か月ほど監禁状態で過ごしました。本を使わずに、彼はモンジュから学んだことを記憶から再構成し、さらに前進しました。 彼は射影幾何学の開発を開始しました。これは、ある平面から別の平面に投影しても変化しない図形の特性の研究であり、デザルグとパスカルが17世紀に探求し始めたのと同じ特性です。 1814 にリリースされた彼はフランスに戻り、最初は円錐で外接する内接多角形に関する結果を発表し始めました。偉大な著作であるTraité des propriétés projectives des Figure (「図形の射影特性に関する論文」) は、1822 で出版されました。その中でポンスレは、点の配置や接線などの特性が投影によって保存されることを示し、 円錐の極と極の関係、 これは双対原理の基礎、つまり平らな射影幾何学では、「点」と「線」という言葉が交換されても、点と線に関するすべての定理が真のままであることを体系的に利用しました。 これらのアイデアは、メビウスとシャスルによって開発された 4 点の倍比 (または非調和) などの射影不変量の研究や、1872 で幾何学を保存する変換のグループによって幾何学を分類したフェリックス クラインのプログラムへの道を開きました。ポンスレは重要な技術者でもあり、油圧車輪を設計し、応用力学を教えました。 1867年にパリで死去。 出典: ポンスレ (MacTutor) · J.-V. Poncelet、Traité des proprietés projectives des Figures (1822)。

October 23, 2026 読んだ
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第 VI 章の演習 — 変換

これはデモ演習が最も多い章です。ソリューションを開く前に、加算、乗算、除算、積への変換など、どの数式を使用するかを決定します。 加算式 131 次の値を計算します。 a) $\cos 15^\circ$; b) $\operatorname{sen} 105^\circ$; c) $\operatorname{tg} 75^\circ$; d) $\sec 285^\circ$。 解像度を参照してくださいa) $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \operatorname{sen} 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ b) $\operatorname{sen} 105^\circ = \operatorname{sen}(60^\circ + 45^\circ) = \operatorname{sen} 60^\circ \cos 45^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \cos 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ c) $\operatorname{tg} 75^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ}{1 - \operatorname{tg} 45^\circ \operatorname{tg} 30^\circ} = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ $\left(= 2 + \sqrt{3}\right)$ d) $\sec 285^\circ = \sec 75^\circ = \dfrac{1}{\cos 75^\circ} = \dfrac{1}{\cos(45^\circ + 30^\circ)} = \dfrac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ $\left(= \sqrt{6} + \sqrt{2}\right)$

October 23, 2026 読んだ
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製品への変換

初等代数では、多項式を積に変換する (因数分解) ことは、実用上非常に重要なリソースです。 $x^2 - 2x = x(x - 2)$ ハイライト $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ 二乗の差 $x^2 \pm 4x + 4 = (x \pm 2)^2$ 完全二乗三項式 $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ 立方体の和 $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ 立方体の違い $x^3 \pm 3x^2 + 3x \pm 1 = (x \pm 1)^3$ 完璧な立方体 $\operatorname{sen}^2 x - 2\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x - 2)$ や $\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x = (\operatorname{sen} x + \cos x)(\operatorname{sen} x - \cos x)$ などの変換を使用して、これらの特徴を三角法に適用することがよくあります。代数リソースに加えて、三角法には因数分解を完了できる公式があります。上の例では、$\operatorname{sen} x + \cos x$ と $\operatorname{sen} x - \cos x$ も因数分解します。

October 23, 2026 読んだ
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乗算と除算の公式

加算式で$b = a$ を行うと二重円弧 関数が得られます。これらの式を逆にするとアーチ半分の式になります。これらは、たとえば$\cos\frac{\pi}{4}$から$\operatorname{sen}\frac{\pi}{8}$を計算できるツールです。 歴史 1593 では、 ベルギーの数学者アドリアン・ ファン・ ルーメン が次数方程式 45 を解くようヨーロッパの数学者に挑戦しました。フランス国王アンリ4 世の顧問弁護士であったフランソワ・ ヴィエットは、それが$\operatorname{sen}\theta$の関数における$\operatorname{sen} 45\theta$の表現であることに気づき、 自ら体系化した多重弧の公式で解いた。 半弓の公式はさらに古く、プトレマイオスはタブレットの構築において $12^\circ$ の文字列から $6^\circ$、$3^\circ$、$1{,}5^\circ$、$0{,}75^\circ$ の文字列に渡すためにこの式を使用しました。 フランソワ・ビエテとは フランソワ ヴィエット (1540 – 1603) は決して職業が数学者ではありませんでした。彼はフランス西部のフォントネー ル コント出身の弁護士で、アンリ 3 世とアンリ 4 世に仕えてキャリアを積みました。数学は自由時間のために取ってありました—それでも彼は代数を変更し、 未知の数 (母音) と既知の数 (子音) の両方を文字 で表しました。宗教戦争中に、彼はスペイン国王フェリペ 2 世がフランスの同盟者に送った暗号化された手紙を解読しました。暗号には何百もの記号があり、それが不可侵であると確信したフィリップ２世は、 フランス人が黒魔術しか使えないと教皇に訴えました。ファン・ルーメンの挑戦は、オランダ大使がフランス人には誰も解決できないだろうと述べた後、アンリ4世自身の手によって彼に突きつけられた。 Viète はすぐに解決策を提示し、翌日には他の人も解決策を提示しました 22。 フランソワ・ヴィエット (1540 – 1603)。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 出典: Viète (MacTutor) · Van Roomen (MacTutor)。

October 23, 2026 読んだ
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加算式

任意の 2 つの実数 $a$ と $b$ の和 $(a + b)$ と差 $(a - b)$ の三角関数 ($a$ と $b$ の円関数として知られています) を計算する式を導いてみましょう。 歴史 アルマゲストでプトレマイオスは、内接四角形において対角線の積は対辺の積の和に等しいことを証明しました――プトレマイオスの定理です。これを直径と等しい辺を持つ四角形に適用すると、プトレマイオスが 2 分の 1 度表を作成するために使用した 2 つの円弧の和と差の弦の公式が正確に得られます。この公式は正弦の形で、第 II 章ですでに登場したペルシャの天文学者アブ・アル・ ワファ (10 世紀) とともに登場します。私たちが行うデモンストレーションは、2 点間の距離に基づいており、デカルトの解析幾何学を使用しており、はるかに最近のものです。 プトレマイオスが 1° の弦を計算した方法 正多角形と和、差、半数の公式を使えば、プトレマイオスは $72^\circ$、$60^\circ$、$12^\circ$、$6^\circ$、$3^\circ$、$1\frac{1}{2}^\circ$、$\frac{3}{4}^\circ$ の弦には到達できましたが、$1^\circ$ の弦には到達できません。なぜなら、角度を 3 つの部分に分割することは不可能だからです。定規とコンパス。その結果、不平等が生じました。小さな弓の場合、弦の伸びは弓よりも少し遅くなります。 $$\tfrac{2}{3}\,\text{crd}\,1\tfrac{1}{2}^\circ < \text{crd}\,1^\circ < \tfrac{4}{3}\,\text{crd}\,\tfrac{3}{4}^\circ.$$60 に基づいて計算すると、半径 60 の円内で、2 つの極値はテーブルの精度まで一致します: $1;2,50$、つまり $1 + \frac{2}{60} + \frac{50}{3600} \approx 1{,}04722$。現在の値は $120\operatorname{sen} 0{,}5^\circ \approx 1{,}04718$ です。 クラウディウス プトレマイオス (c. 100 – 170)、後の芸術的表現、天球儀を持つ。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン プトレマイオスの定理: 内接四角形では、対角線の積は反対側の辺の積の和になります。頂点をドラッグします。次に、直径上に $AD$ を置きます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 23, 2026 読んだ
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第 V 章の演習 — 注目すべきアーチ

126 $\operatorname{sen} 15^\circ$、$\cos 15^\circ$、$\operatorname{tg} 15^\circ$を計算します。 解像度を参照してください$\operatorname{sen} 15^\circ = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\ell_{12}}{2}$。 $\ell_{12}$ を計算してみます。内接正六角形の頂点を $Q$、六角形の片側の円弧の中点を $P$ とすると、$PQ = \ell_{12}$ となります。半径 $OP$ は、六角形の辺を中点 $R$ で垂直に切ります。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 三角形 $PQR$ の場合、長方形 $R$ の場合: $$PQ = \ell_{12} \qquad QR = \frac{\ell_6}{2} = \frac{1}{2} \qquad RP = OP - OR = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$($OR$ は 1 の隣の 正三角形 の高さであるため)。それから $$\ell_{12}^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} = 2 - \sqrt{3}$$$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{12} = \frac{\ell_{12}}{2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{1 - \frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}.$$注: 第 VI 章では、これらの値が $\operatorname{sen} 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$、$\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$、$\operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ とも表記されることがわかります。

October 23, 2026 読んだ
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π/n の正弦と注目すべき円弧

$n \in \mathbb{N}$と$n \ge 3$を持つ実数$x = \dfrac{\pi}{n}$の円関数が、$n$ の辺が周期に内接する正多角形の辺である$\ell_n$ から計算できることを検証します。 歴史 アルマゲストの本 I で、プトレマイオスは、まさに次のようにコード表を作成しました。彼は内接正多角形 (三角形、正方形、五角形、六角形、十角形) の辺から開始し、ユークリッド幾何学が計算方法を知っていて、円弧の和、差、半分の公式を通じて他の円弧を取得しました。これについては後で説明します。第Ⅵ章で。半径 $R$ の円の円弧 $2\alpha$ の弦は $2R\operatorname{sen}\alpha$ です。この章の定理はこの考え方の現代語訳です。 プトレマイオスとは誰だったのか クラウディウス プトレマイオス (100 ～ 170 頃) については、作品以外にはほとんど何も知られていません。彼はローマ時代のエジプトのアレクサンドリアに住んでおり、彼が記録した観察は 127 から 141 に及びます。天文学に関する彼の偉大な論文は数学的構成と呼ばれていました。彼を賞賛したアラブの天文学者たちは彼を「最も偉大な」アルマジスティと呼び、 そこからアルマゲストが生まれました。その中でプトレマイオスは、中心に地球があり、惑星が円を​​重ねる宇宙を説明しています。このモデルには欠陥がありましたが、空の位置を予測するのに非常に正確だったので、コペルニクスとケプラーが登場するまでほぼ 1400 年間使用されました。プトレマイオスはまた、 数千の場所の座標を記した地理と、 光の屈折を研究した光学を書きました。 クラウディウス プトレマイオス (c. 100 – 170)、後の芸術的表現、天球儀を持つ。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 円弧 $2\alpha$ の弦 $AB$ は半径 $OM$ で二等分されます。各半分の寸法は $R\operatorname{sen}\alpha$、次に $\text{crd}\,2\alpha = 2R\operatorname{sen}\alpha$ です。プトレマイオスのボードはロープを提供しました。インディアン、半分ロープ。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 23, 2026 読んだ