Euler's Eyes
2026-10-23
製品への変換
初等代数では、多項式を積に変換する (因数分解) ことは、実用上非常に重要なリソースです。
| $x^2 - 2x = x(x - 2)$ | ハイライト |
| $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ | 二乗の差 |
| $x^2 \pm 4x + 4 = (x \pm 2)^2$ | 完全二乗三項式 |
| $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ | 立方体の和 |
| $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ | 立方体の違い |
| $x^3 \pm 3x^2 + 3x \pm 1 = (x \pm 1)^3$ | 完璧な立方体 |
$\operatorname{sen}^2 x - 2\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x - 2)$ や $\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x = (\operatorname{sen} x + \cos x)(\operatorname{sen} x - \cos x)$ などの変換を使用して、これらの特徴を三角法に適用することがよくあります。代数リソースに加えて、三角法には因数分解を完了できる公式があります。上の例では、$\operatorname{sen} x + \cos x$ と $\operatorname{sen} x - \cos x$ も因数分解します。
歴史
積を和に変換する公式はヴェルナー公式と呼ばれ、天文学の問題でこの公式を使用したドイツの司祭で数学者のヨハネス・ ヴェルナー (1468 – 1522) にちなんで名付けられました。 16 世紀末にティコ・ ブラーエ やその助手ポール・ ウィティッチ などの天文学者は、 タブレットの正弦などの大きな数の乗算を、 はるかに高速な加算と減算で交換できることに気づき、この方法が実現しました。として知られるプロスタフェレーシス（ギリシャ語の「足し算と引き算」から）。その後すぐに、ネイピアの対数がさらに簡単な方法で同じ仕事をするようになりました。
- 1580ポール・ ウィティッチはプロスタフェレーシスをヘヴェンのティコ天文台に持って行きます。
- 1614ネイピア は対数を公開しています。乗算は加算になります。
- c. 1622計算尺を発明したのはオーストレッドです。
- 1972ポケット関数電卓が登場。
- Nasce no castelo da família, na Escânia, então parte da Dinamarca.
- Estuda na universidade. Um eclipse do Sol, em 1560, o faz decidir-se pela astronomia.
- Perde parte do nariz num duelo de espadas com um primo e passa a usar uma prótese de metal.
- Constrói Uraniborg e depois Stjerneborg, observatórios com instrumentos gigantes. Em 1580, Paul Wittich lhe ensina a prostaférese.
- Matemático imperial de Rodolfo II. Contrata Johannes Kepler, que herdará as suas observações.
出典: Tycho Brahe (MacTutor) · Werner (MacTutor) · Wittich (MacTutor)。
日常生活での応用
- ギターをチューニングします。 440 Hz と 442 Hz でほぼチューニングが合った 2 つの弦を合計すると、$2\operatorname{sen}(2\pi \cdot 441\,t)\cos(2\pi \cdot 1\,t)$ のように聞こえます。441 Hz の音で、そのボリュームは 1 秒あたり 2 回パルスします。脈動が消えると、弦のチューニングが整います。
- 電話キーパッド。 各キーは 2 つのトーンを追加します。たとえば、1 キーは 697 Hz と 1209 Hz を追加します。コントロール パネルは、合計を区切るキーを識別します。
- AM ラジオ。 サウンドに放送局の波形を乗算すると、和積公式を使用して、ラジオが同調する側波帯である「和」と「差」の周波数が生成されます。
理論
ヴェルナーの公式
私たちはそれを知っています
$$\cos(a + b) = \cos a\cos b - \operatorname{sen} a\operatorname{sen} b \;(1) \qquad \cos(a - b) = \cos a\cos b + \operatorname{sen} a\operatorname{sen} b \;(2)$$$$\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a\cos b + \operatorname{sen} b\cos a \;(3) \qquad \operatorname{sen}(a - b) = \operatorname{sen} a\cos b - \operatorname{sen} b\cos a \;(4)$$これらの等式を 2 つずつ加算および減算すると、次のようになります。
性質ヴェルナーの公式
$$(1) + (2):\quad \cos(a + b) + \cos(a - b) = 2\cos a\cos b$$$$(1) - (2):\quad \cos(a + b) - \cos(a - b) = -2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b$$$$(3) + (4):\quad \operatorname{sen}(a + b) + \operatorname{sen}(a - b) = 2\operatorname{sen} a\cos b$$$$(3) - (4):\quad \operatorname{sen}(a + b) - \operatorname{sen}(a - b) = 2\operatorname{sen} b\cos a$$積変換式
Werner の公式 $a + b = p$ と $a - b = q$、つまり $a = \dfrac{p + q}{2}$ と $b = \dfrac{p - q}{2}$ を使用すると、次の結果が得られます。
定理製品への変換
$$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}$$$$\cos p - \cos q = -2\operatorname{sen}\frac{p + q}{2}\operatorname{sen}\frac{p - q}{2}$$$$\operatorname{sen} p + \operatorname{sen} q = 2\operatorname{sen}\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}$$$$\operatorname{sen} p - \operatorname{sen} q = 2\operatorname{sen}\frac{p - q}{2}\cos\frac{p + q}{2}$$性質接線の和と差
$$\operatorname{tg} p + \operatorname{tg} q = \frac{\operatorname{sen} p}{\cos p} + \frac{\operatorname{sen} q}{\cos q} = \frac{\operatorname{sen} p\cos q + \operatorname{sen} q\cos p}{\cos p\cos q} = \frac{\operatorname{sen}(p + q)}{\cos p\cos q}$$$$\operatorname{tg} p - \operatorname{tg} q = \frac{\operatorname{sen} p\cos q - \operatorname{sen} q\cos p}{\cos p\cos q} = \frac{\operatorname{sen}(p - q)}{\cos p\cos q}$$例sin x + cos x の因数分解
$\cos x = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$として:
$$\operatorname{sen} x + \cos x = \operatorname{sen} x + \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 2\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right).$$これは、演習 61 のグラフを説明しています。サインとコサインの合計は振幅 $\sqrt{2}$ のコサインであり、$\frac{\pi}{4}$ からオフセットされています。
このセクションの演習は、章リスト.