加算式で$b = a$ を行うと二重円弧 関数が得られます。これらの式を逆にするとアーチ半分の式になります。これらは、たとえば$\cos\frac{\pi}{4}$から$\operatorname{sen}\frac{\pi}{8}$を計算できるツールです。

歴史

1593 では、 ベルギーの数学者アドリアン・ ファン・ ルーメン が次数方程式 45 を解くようヨーロッパの数学者に挑戦しました。フランス国王アンリ4 世の顧問弁護士であったフランソワ・ ヴィエットは、それが$\operatorname{sen}\theta$の関数における$\operatorname{sen} 45\theta$の表現であることに気づき、 自ら体系化した多重弧の公式で解いた。 半弓の公式はさらに古く、プトレマイオスはタブレットの構築において $12^\circ$ の文字列から $6^\circ$、$3^\circ$、$1{,}5^\circ$、$0{,}75^\circ$ の文字列に渡すためにこの式を使用しました。

フランソワ・ヴィエット (1540 – 1603)。
フランソワ・ヴィエット (1540 – 1603)。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

出典: Viète (MacTutor) · Van Roomen (MacTutor)。

日常生活での応用

  • 蹴って投げる 空気抵抗がなければ、速度$v$、角度$\theta$で投げたボールは$\frac{v^2\operatorname{sen} 2\theta}{g}$に届きます。 $\operatorname{sen} 2\theta$ が $2\theta = 90^\circ$ で最大になるため、最大範囲は $45^\circ$ になります。 $v = 20$m/sだと約40,8mになります。
  • 同じ範囲の角度 $30^\circ$ と $60^\circ$ での打ち上げは、$\operatorname{sen} 60^\circ = \operatorname{sen} 120^\circ$ 以降、同じ場所に収まります。一方は低く、もう一方は高くなります。
  • コンピュータ図面 CAD プログラムは、サインとコサインを計算しやすい多項式分数に変換する $t = \operatorname{tg}\frac{\theta}{2}$ パラメータを使用して円周円弧を描画します。
範囲は $\operatorname{sen}2\theta$ に依存します。$45^\circ$ で最大となり、補角は同じ位置に収まります。

理論

2a の円関数

$2a = a + a$をして足し算の公式を当てはめてみましょう。

定理ダブルボウ

$$\cos 2a = \cos^2 a - \operatorname{sen}^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\operatorname{sen}^2 a$$$$\operatorname{sen} 2a = 2\operatorname{sen} a \cdot \cos a \qquad\qquad \operatorname{tg} 2a = \frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}$$
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私) $\cos 2a = \cos(a + a) = \cos a\cos a - \operatorname{sen} a\operatorname{sen} a = \cos^2 a - \operatorname{sen}^2 a$。 $\operatorname{sen}^2 a$ を $1 - \cos^2 a$ に、または $\cos^2 a$ を $1 - \operatorname{sen}^2 a$ に置き換えると、他の 2 つの形式が得られます。

II) $\operatorname{sen} 2a = \operatorname{sen}(a + a) = \operatorname{sen} a\cos a + \operatorname{sen} a\cos a = 2\operatorname{sen} a\cos a$。

III) $\operatorname{tg} 2a = \operatorname{tg}(a + a) = \dfrac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg} a\operatorname{tg} a} = \dfrac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}$。

$\operatorname{sen} 2x$ (赤色) と $2\operatorname{sen} x$ (破線): ダブルのサインはサインの 2 倍ではありません。

3a の循環関数

$3a = 2a + a$を作成して加算式を適用すると、次のようになります。

定理トリプルボウ

$$\cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a \qquad \operatorname{sen} 3a = 3\operatorname{sen} a - 4\operatorname{sen}^3 a \qquad \operatorname{tg} 3a = \frac{3\operatorname{tg} a - \operatorname{tg}^3 a}{1 - 3\operatorname{tg}^2 a}$$
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I) $\cos 3a = \cos 2a\cos a - \operatorname{sen} 2a\operatorname{sen} a = (2\cos^2 a - 1)\cos a - (2\operatorname{sen} a\cos a)\operatorname{sen} a$

$= (2\cos^2 a - 1)\cos a - 2\operatorname{sen}^2 a\cos a = (2\cos^2 a - 1)\cos a - 2(1 - \cos^2 a)\cos a = 4\cos^3 a - 3\cos a$.

Ⅱ) $\operatorname{sen} 3a = \operatorname{sen} 2a\cos a + \operatorname{sen} a\cos 2a = (2\operatorname{sen} a\cos a)\cos a + \operatorname{sen} a(1 - 2\operatorname{sen}^2 a)$

$= 2\operatorname{sen} a(1 - \operatorname{sen}^2 a) + \operatorname{sen} a(1 - 2\operatorname{sen}^2 a) = 3\operatorname{sen} a - 4\operatorname{sen}^3 a$.

III) $\operatorname{tg} 3a = \dfrac{\operatorname{tg} 2a + \operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg} 2a\operatorname{tg} a} = \dfrac{\frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a} + \operatorname{tg} a}{1 - \frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}\operatorname{tg} a} = \dfrac{2\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} a(1 - \operatorname{tg}^2 a)}{(1 - \operatorname{tg}^2 a) - 2\operatorname{tg}^2 a} = \dfrac{3\operatorname{tg} a - \operatorname{tg}^3 a}{1 - 3\operatorname{tg}^2 a}$。

割り算の公式

$x$の円関数の一つである$\frac{x}{2}$の三角関数を計算してみましょう。

定理円弧の半分 (cos x を指定)

$$\cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} \qquad \operatorname{sen}\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} \qquad \operatorname{tg}\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}$$
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$\cos 2a = 2\cos^2 a - 1$ と $\cos 2a = 1 - 2\operatorname{sen}^2 a$ であることがわかります。 $2a = x$を実行中:

$$\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 \;\Longrightarrow\; \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \qquad \cos x = 1 - 2\operatorname{sen}^2\frac{x}{2} \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2},$$

e $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = \dfrac{\operatorname{sen}\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}$.

注意±記号

記号は、$x$ を知らずに $\cos x$ を知っている場合にのみ意味を持ちます。 $\cos x = \cos x_0$ を知っているので、

$$1^{\text{a}} \text{ solução: } x = x_0 + 2k\pi \;\Rightarrow\; \frac{x}{2} = \frac{x_0}{2} + k\pi \;\;(\text{I}) \qquad 2^{\text{a}} \text{ solução: } x = -x_0 + 2k\pi \;\Rightarrow\; \frac{x}{2} = -\frac{x_0}{2} + k\pi \;\;(\text{II})$$

$k$ は偶数でも奇数でもよいため、4 個の弧 $\frac{x}{2}$ が考えられ、 各関数に2 つの対称値が得られます。たとえば、コサインの場合は次のようになります。

  • (I)、$k$ ペア: $\cos\frac{x}{2} = \cos\left(\frac{x_0}{2} + 2k_1\pi\right) = \cos\frac{x_0}{2}$;
  • (I)、$k$ 奇数: $\cos\frac{x}{2} = \cos\left[\frac{x_0}{2} + (2k_1 + 1)\pi\right] = -\cos\frac{x_0}{2}$;
  • (II)、$k$ ペア: $\cos\frac{x}{2} = \cos\left(-\frac{x_0}{2}\right) = \cos\frac{x_0}{2}$;
  • (II)、$k$ 奇数: $\cos\frac{x}{2} = \cos\left(-\frac{x_0}{2} + \pi\right) = -\cos\frac{x_0}{2}$。

$\frac{x}{2}$ の象限がわかっている場合は、対応する符号が選択されます。

$\operatorname{sen} x$ が与えられた $\cos x = \pm\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x}$として、$\operatorname{sen} x$から$\cos x$を計算し、上記の式を入力します。

逆正接の半分

既知の$x$から$\operatorname{tg}\frac{x}{2}$までの三角関数を書いてみましょう。乗算の公式から:

$$\operatorname{sen} 2a = 2\operatorname{sen} a\cos a = 2\operatorname{sen} a \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = 2 \cdot \frac{\operatorname{sen} a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sec^2 a} = \frac{2\operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg}^2 a} \qquad \operatorname{tg} 2a = \frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}.$$

$2a = x$ と $a = \frac{x}{2}$ を作成し、$\cos x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{tg} x}$ に注目します。

定理t = tg(x/2) の関数として

$$\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1 + t^2} \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \qquad \operatorname{tg} x = \frac{2t}{1 - t^2}, \qquad t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}.$$

これら 3 つの公式の使い方は、$\operatorname{sen} x$、$\cos x$、$\operatorname{tg} x$ を有理式によって単一の関数 $\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ に置き換えることです。このタイプの置換は、三角方程式を解く際に広く使用されています (第 VII 章)。

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