Hero Image
ITA 2025 – 第2次試験：数学の解説

出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。 ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2025 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は記述式の公式解答を公表していない （第2次試験の公式正答はポルトガル語の選択式問題だけ）。以下の解答は筆者によるもので、各答えは 別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。 答え一覧 問題 内容 答え 1 $x^2 - x + 1$ で割った余り $a = -1$、$b = 3$ 2 楕円：$y/x$ の最大値 $r = \sqrt{3}$ 3 三角関数の連立方程式 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$ 4 傍接円 $15\sqrt{3}$ 5 $3^{100}$ の最高位の数字 5 6 確率：$n$ 回目に4回目の表 $n = 6$ と $n = 7$ 7 重根をもつ多項式と直角三角形 $a = \pm\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}$、$b = \mp\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ 8 行列式の和 1013 9 $A^{-1} = A^T$ を満たす整数行列 3840 10 対角線に垂直な面への立方体の射影 $4\sqrt{3}$ 問題 1：x² − x + 1 で割った余り 問題文 多項式 $p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りが $2x + 1$ になるような 実数 $a$、$b$ を求めよ。

October 28, 2026 読んだ
Hero Image
ITA 2024 – 第2次試験：数学の解説

出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。 ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2024 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は第2次試験の公式解答を公表していない。 以下の解答は筆者によるもので、各答えは別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。 答え一覧 問題 内容 答え 1 等差数列と等比数列 $n = 4$ 2 橋を渡る道順（オイラー路） 32（各向きに16） 3 対数の絶対値を含む不等式 $-4 < x < -\frac14$ または $\frac14 < x < 4$ 4 正定値行列 $-1 < b < 1$ 5 $x = 1$ に関して対称な多項式 $1 \pm \sqrt{3}$ と $1 \pm i\sqrt{6}$ 6 立体の中の最長の線分 $\frac{4\sqrt{161}}{5}$ 7 $y$ 軸に接する円 $(x - 4 - \sqrt{6})^2 + (y - 3 + \sqrt{6})^2 = (4 + \sqrt{6})^2$ 8 放物線上に頂点をもつ台形 $\frac{483}{64}$ 9 複素数の根と面積 $4\sqrt{5}$ 10 半角の正接 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{5}$、$\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ 問題 1：等比数列の何項までの和が −80 か 問題文 $(a_n)$ を等差数列、$(b_n)$ を等比数列とする。$(a_n)$ の公差が $r$（$r \ne 0$）、$(b_n)$ の公比が $q = 1/r$、$a_1 = b_1 = 4$ で、

October 28, 2026 読んだ
Hero Image
ITA 2023 – 第1次試験：数学の解説

出典： ITA ――第1次試験の問題 と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2023 の第1次試験は選択式60問で、各科目12問（物理、ポルトガル語、英語、数学、化学） であった。本稿では数学の問題を、試験と同じ37番から48番の番号で扱う。 試験の記法。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i^2 = -1$；$M_n(\mathbb{R})$ は実数成分の $n \times n$ 行列全体；$\overline{AB}$ は線分、$AB$ は $A$ と $B$ を通る直線；$m(\overline{AB})$ は $\overline{AB}$ の長さ；$A\hat{O}B$ は頂点 $O$ の角；$\det A$ は $A$ の行列式。 正答一覧 問題 内容 正答 37 行列式と解がただ1つの方程式 C 38 複素数：$f(z) = z^2 + i$ の反復 E 39 凸多角形と等差数列 B 40 多項式：根の調和平均 C 41 指数関数：不等式 B 42 平面図形：三角形に入る長方形 D 43 複素数：べきの和 D 44 双曲線：焦点とつくる三角形 A 45 確率：硬貨のゲーム B 46 回転体：2つの円錐 E 47 三角方程式 A 48 多項式：次数が3の倍数の項の係数 C 問題 37：行列式を含み解がただ1つの方程式 問題文 $A \in M_3(\mathbb{R})$ を、方程式 $\det(\sqrt[3]{2}\,x^2 A) + \det(xA^3) = \det A^2$ を満たす 実数 $x$ がただ1つ存在するような行列とする。このとき $x + \det A$ は

October 28, 2026 読んだ
Hero Image
ITA 2022 – 第1次試験：数学の解説

出典： ITA ――第1次試験の問題 と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2022 の第1次試験は選択式70問で、物理15問、ポルトガル語15問、英語10問、 数学15問、化学15問であった。本稿ではそのうち数学の問題を、試験と同じ 41番から55番の番号で扱う。 試験の記法。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i$ は虚数単位（$i^2 = -1$）； $M_n(\mathbb{R})$ は実数成分の $n \times n$ 行列全体；$\overline{AB}$ は $A$、$B$ を端点とする 線分で、$m(\overline{AB})$ はその長さ；$A\hat{O}B$ は半直線 $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ がつくる、頂点 $O$ の角。 正答一覧 問題 内容 正答 41 対数：底の変換 B 42 平面図形：垂直二等分線と三平方の定理 E 43 同値な連立一次方程式 C 44 複素数：実数に関する命題 A 45 多項式と複素平面上の面積 D 46 行列：可換性と行列式 E 47 正接と等差数列 D 48 二次曲線：双曲線の中心 C 49 空間図形：立方体の中の角錐と外接球 D 50 空間における位置関係 A 51 2進表記と確率 C 52 確率：立方体の頂点を通る直線 A 53 三角形と三角比 C 54 三角方程式 C 55 正弦定理と外接円 C 問題 41：底が 120 と 14400 の対数の和 問題文 $$x = 9\log_{120} 2 + 3\log_{120} 3 + 2\log_{14400} 125$$のとき、次のことがいえる。

October 28, 2026 読んだ
Hero Image
テスト — 三角形

直角三角形とその他の三角形: 三角比、サインとコサインの法則 (第 IX 章と第 X 章)。 Teste 189CESCEA-74 以下の直角三角形のうち、正しいデータを示すものは 1 つだけです。マークしてください: このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 a) 三角形 (a)b) 三角形 (b)c) 三角形 (c)d) 三角形 (d)e) わからない (c) では、$\cos 60^\circ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$: 隣接する辺は斜辺の半分です。 (a) では、$30^\circ$ に隣接する辺は $4\cos 30^\circ = 2\sqrt{3}$ になります。 (b) 辺 $\sqrt{3}$ の反対側の角度は接線 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ を持ち、寸法は $30^\circ$ です。 (d) では、角度 $45^\circ$ の三角形の辺は等しくなります。

October 25, 2026 読んだ
Hero Image
テスト — 不等式

三角関数の不等式 (第 VIII 章)。 Teste 172CESCEA-74 区間 $[0, \pi]$ における不等式 $\operatorname{sen}^2 x - \frac{1}{2} \ge 0$ の解は次のとおりです。 a) $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ または $\frac{3\pi}{4} \le x \le \pi$b) $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4}$c) $\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{2\pi}{3}$d) $0 \le x \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \le x \le \pi$e) わからない $\operatorname{sen}^2 x \ge \frac{1}{2} \iff |\operatorname{sen} x| \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$; $[0, \pi]$、$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4}$にあります。 Teste 173CESCEM-72 不等式 $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen}^2 x > 0$ を考えてみましょう。次のように言えます: a) 第 1 象限の $x$ についてのみ満たされますb) $0$ と $\pi$ の間の $x$ についてのみ満たされます。c) $-x$ を $x$ に置き換えることによって得られる不等式は、指定された不等式と等価ですd) それを満たす$x$の値は、まさに$\operatorname{sen} x > 0$の値です。e) 第 3 象限には不等式を満たす $x$ があります $\operatorname{sen} x(1 + \operatorname{sen} x) > 0$。 $1 + \operatorname{sen} x \ge 0$ と同様、$\operatorname{sen} x = -1$ の場合のみ null となり、不等式は $\operatorname{sen} x > 0$ と同等になります。

October 25, 2026 読んだ
Hero Image
テスト — 逆循環関数

逆サイン、逆余弦、逆正接 (第 VII 章)。 Teste 158MACK-74 $f$、$g$、$h$ を $A$ の $A$ の関数とします。$A = [-1, 1]$ は、$f(x) = \operatorname{sen} x$、$g(x) = \operatorname{sen}\pi x$、$h(x) = \frac{\pi}{2}x$ のように定義されます。次のように言えます。 a) それらはすべて反転可能ですb) それらはすべて超主観的ですc) 注射できるのは1本だけd) 1つだけが全射的ですe) 単射と全射は1つだけ $f$ ($[-1, 1]$ の正弦) は単射的で、イメージは $[-\operatorname{sen} 1, \operatorname{sen} 1]$ です。 $g(x) = \operatorname{sen}\pi x$ にはイメージ $[-1, 1]$ (全射的) がありますが、単射的 ($g(0) = g(1) = 0$) ではありません。 $h$ は単射的であり、そのイメージ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ は $A$ にも当てはまりません。 $g$のみ全射的です。印刷されたテンプレートは (e) を示していますが、3 つのどれも $A$ 内の $A$ のインジェクターとサージェクターの両方ではありません。本当の記述は (d) です。 Teste 159MACK-73 $y = \operatorname{arc\,sen}\sqrt{2x - 3}$ で定義される関数の定義域は次のとおりです。 a) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ge \frac{3}{2}\right\}$b) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; \frac{3}{2} \le x \le 2\right\}$c) $\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le 2\}$d) $\left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; -2 \le x \le 0 \text{ ou } \frac{5}{2} \le x \le 4\right\}$e) 以前の回答はどれもありません ルートには $2x - 3 \ge 0$ が必要で、アークサインには $\sqrt{2x - 3} \le 1$: $0 \le 2x - 3 \le 1$、つまり $\frac{3}{2} \le x \le 2$ が必要です。

October 25, 2026 読んだ
Hero Image
テスト — 方程式

三角方程式と区間上の解 (第 VII 章)。 Teste 122FUVEST-77 範囲 $\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$、方程式 $\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} + \cos x = -\sqrt{2}$: a) 解決策を認めないb) 解決策として認められます $x = \frac{3\pi}{4}$c) 解決策として認められます $x = \frac{2\pi}{3}$d) 解決策として認められます $x = \frac{5\pi}{6}$e) 解決策として認められます $x = \pi$ $\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} = |\cos x|$、第 2 象限 $|\cos x| = -\cos x$。最初のメンバーは $-\cos x + \cos x = 0 \ne -\sqrt{2}$ の価値があります。 Teste 123PUC-76 式 $\cos\left(3x - \frac{\pi}{5}\right) = 0$ を満たす $x$ の値は ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$) です。 a) $x = \frac{7\pi}{30} + k\frac{\pi}{3}$b) $x = \frac{7\pi}{15} + k\frac{\pi}{3}$c) $x = \frac{7\pi}{2} + k\frac{\pi}{4}$d) $x = \frac{7\pi}{5} + k\frac{\pi}{2}$e) $x = \frac{7\pi}{4} + k\frac{\pi}{6}$ $3x - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow 3x = \frac{7\pi}{10} + k\pi \Rightarrow x = \frac{7\pi}{30} + k\frac{\pi}{3}$.

October 25, 2026 読んだ
Hero Image
テスト — 変換

加算、二重円弧、半円弧、積への変換の公式 (第 V 章と VI 章)。 Teste 75CESCEM-73 $\operatorname{tg} 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$と$\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$が分かります。 $\operatorname{tg} 15^\circ$ の値は次のとおりです。 a) $\frac{1}{3}$b) $-\sqrt{3}$c) $\sqrt{3}$d) $2 + \sqrt{3}$e) $2 - \sqrt{3}$ $\operatorname{tg} 15^\circ = \operatorname{tg}(75^\circ - 60^\circ) = \frac{(2 + \sqrt{3}) - \sqrt{3}}{1 + (2 + \sqrt{3})\sqrt{3}} = \frac{2}{4 + 2\sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$. Teste 76MACK-75 $0 < a < \frac{\pi}{2}$ および $0 < b < \frac{\pi}{2}$ の場合、次のようになります。 a) $\operatorname{sen}(a + b) < \operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b$、$a$ および $b$ のいずれかb) $\operatorname{sen}(a + b) > \operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b$、$a$ および $b$ のいずれかc) $a > b$の場合のみ$\operatorname{sen}(a + b) > \operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b$d) $a < b$の場合のみ$\operatorname{sen}(a + b) < \operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b$e) 上記のどれでもない $\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a\cos b + \operatorname{sen} b\cos a$、第 1 象限 (開いている) $0 < \cos a, \cos b < 1$。各分割払いはそれぞれ $\operatorname{sen} a$ および $\operatorname{sen} b$ より小さいです。

October 25, 2026 読んだ
Hero Image
テスト — 基本的なアイデンティティ

基本的な関係、表現の簡略化、第 1 象限への還元とパリティ (第 III 章と第 IV 章)。 Teste 41PUC-75 $\operatorname{cossec} x = \frac{5}{4}$ と $x$ が第 1 象限からのものであることがわかっている場合、式 $25\operatorname{sen}^2 x - 9\operatorname{tg}^2 x$ の値は次のようになります。 a) $2$b) $3$c) $4$d) $0$e) $1$ $\operatorname{sen} x = \frac{4}{5}$, $\cos x = \frac{3}{5}$ e $\operatorname{tg} x = \frac{4}{3}$: $25 \cdot \frac{16}{25} - 9 \cdot \frac{16}{9} = 16 - 16 = 0$. Teste 42GV-76 $\operatorname{sen} a = \frac{24}{25}$ と $\sec a$ が負の場合、$\sqrt{\dfrac{1 - \cos a}{1 + \cos a}}$ の値は次のようになります。 a) $\frac{3}{4}$b) $\frac{3}{5}$c) $\frac{5}{4}$d) $\frac{4}{3}$e) $\frac{1}{2}$ 負のセカントは負のコサインを意味します: $\cos a = -\frac{7}{25}$。次に$\sqrt{\frac{1 + 7/25}{1 - 7/25}} = \sqrt{\frac{32}{18}} = \frac{4}{3}$。

October 25, 2026 読んだ
Hero Image
テスト — 循環関数

円弧と角度、符号、極値、領域、周期、円関数のグラフ (第 1 章と第 2 章)。 Teste 1ITA-72 10 時と 15 分の時針と分針がなす凸角は次のとおりです。 a) $142^\circ 30'$b) $142^\circ 40'$c) $142^\circ$d) $141^\circ 30'$e) 以前の回答はどれもありません 10 h 15 min では、分針は $90^\circ$ (12 から)、時針は $300^\circ + 15 \cdot 0{,}5^\circ = 307^\circ 30'$ にあります。差分は $217^\circ 30'$、その補数は $142^\circ 30'$ です。 Teste 2FUVEST-77 1 時と 12 分の時計の針によって形成される鋭角は次のとおりです。 a) $27^\circ$b) $30^\circ$c) $36^\circ$d) $42^\circ$e) $72^\circ$ 分針は1分間に$6^\circ$動き、時針は$0{,}5^\circ$動きます。 1 h 12 min: $72^\circ$ で分、$30^\circ + 6^\circ = 36^\circ$ で時間。角度は$36^\circ$です。 Teste 3ITA-73 4 時間から 5 時間の間、時計の時針は分針に対して 2 回直角になります。これらの発生時刻は次のとおりです。 a) $4\text{ h }5\frac{2}{11}$分と$4\text{ h }38\frac{5}{11}$分b) $4\text{ h }5\frac{5}{11}$分と$4\text{ h }38\frac{2}{11}$分c) $4\text{ h }5\frac{5}{11}$分と$4\text{ h }38\frac{5}{12}$分d) $4\text{ h }5\frac{3}{11}$分と$4\text{ h }38\frac{7}{11}$分e) 以前の回答はどれもありません 4 h $m$ min では、針は $6m$ 度および $120 + 0{,}5m$ 度にあります。直角: $120 - 5{,}5m = 90 \Rightarrow m = \frac{60}{11} = 5\frac{5}{11}$;または$5{,}5m - 120 = 90 \Rightarrow m = \frac{420}{11} = 38\frac{2}{11}$。

October 25, 2026 読んだ
Hero Image
第 X 章の演習 — 任意の三角形

計算する前に、何が与えられたのかを尋ねてください。 2 つの辺とそれらの間の角度、または 3 つの辺には余弦の法則が必要です。一方の側と反対側の角度、正弦の法則。この章では、印刷されたテンプレートにいくつかのエラーがあります。ここでの答えが彼と異なる場合、その違いが説明されます。 余弦の法則 360 三角形の 2 辺の長さは 8 m と 12 m で、それらの間には $120^\circ$ の角度が形成されます。 3 番目の辺を計算します。 解像度を参照してください$b = 8$ と $c = 12$ を指定された辺、$\hat{A} = 120^\circ$ をそれらの間の角度と呼ぶと、余弦の法則は次のようになります。 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A} = 64 + 144 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 64 + 144 + 96 = 304,$$次に$a = \sqrt{304} = 4\sqrt{19}$メートル。 361 (FEI-77) $a = 4$、$b = 3\sqrt{2}$、$\hat{C} = 45^\circ$を知って、$c$を計算します。 解答を見る$c = \sqrt{10}$

October 24, 2026 読んだ