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正弦関数

サインは、 周期内で回転する点の高さです。点が回転すると、高さは $-1$ と $1$ の間で増減し、数学で最も有名な曲線である正弦波を描きます。 歴史 1000 年以上もの間、 サインは表の数字であり、そのグラフを描こうとは誰も考えませんでした。最初に知られている正弦波は、フランス人のジル・パーソンヌ・ド・ ロベルバルによるサイクロイド、つまり回転する車輪上の点によって記述される曲線に関する研究で、1634 付近に出現しました。サイクロイドの下の面積を計算するために、ロバーバルは「サイクロイドのコンパニオン」と呼んだ補助曲線を使用しました。このコンパニオンはまさに正弦波です。正弦を実数の関数として扱い始めたのは 1 世紀後のオイラーであり、このとき初めてグラフが今日の中心的な位置を獲得しました。 ジル・ド・ロベルヴァルとは誰だったのか ジル・ペルソン・ド・ ロベルヴァル (1602 – 1675) は、ロベルヴァル村近くのノエル・サン・マルタンの農民の家庭に生まれ、その名前をそのまま採用しました。 1634 で、彼はパリのロイヤル大学でラムスの椅子を勝ち取りました。この学校には、3 年ごとにその座が競争にさらされ、問題は座っている人自身によって提案されるという独特の規則がありました。職を失うことを避けるために、ロバーバルは自分の手法を秘密にし、40 年以上後に亡くなるまでなんとか教授職を守り続けました。その代償は高かった。出版物が少なかったため、同じ結果を達成し、より早く出版したトリチェッリやデカルトらとの優先順位争いに巻き込まれることになった。彼の名前は、彼が 1669 で導入し、何世紀にもわたって商業で使用された、 ヒンジ付き機構の 2 皿秤であるロバーバルの天秤 に残っています。 ホイールが回転します。端の点 $P$ はサイクロイドを描き、点 $P$ と同じ高さで中心に垂直な点 $Q$ は、ロバーバルの仲間である最初の正弦波を描きます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 出典: Roberval (MacTutor) · 三角関数 (MacTutor)。 日常生活での応用 音。 そこの音叉は 1 秒間に 440 回振動します。その付近の気圧は周期 $\frac{1}{440}$ s の正弦波です。 交流。 ブラジルのソケット電圧は、1 秒あたり 60 サイクルの正弦波です。 潮汐と季節 年間を通した潮の高さと日の長さは、$a + b \operatorname{sen}(cx + d)$ のような関数で近似できます。 コンセント電圧は 1 秒あたり 60 サイクルの正弦波で、約 180 V でピークに達します。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 22, 2026 読んだ
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一般的な概念と周期関数

循環関数を定義する前に、サイクルに 4 つの軸と、ループのどの「部分」に数値があるかを示す言語を装備しました。次に、 これらすべての関数に共通する特性である周期性を研究します。 歴史 言葉 正弦 には興味深い話がある。 5世紀のインドの天文学者、例えば アリヤバータ、彼らはハーフロープをセットしました。 ジャ・アルダ または単に じゃ。アラビア語の翻訳者はこの用語を次のように転写しました。 ジブ子音のみで書かれています。 ジブ。 12世紀、ラテン語の翻訳者たちはこう読んだ。 ジャイブ — 「折り目」、「胸」 — そしてそれを次のように翻訳しました 副鼻腔。ザ 正接 そして 割線 名前はデンマーク人から付けられました トーマス・フィンケ、1583 年、および接頭辞 共同 「補数」を意味するコサイン、コタンジェント、コセカントの値は次のように修正されました。 エドマンド・ガンター 1620年。 単なるテーブルではなく研究対象としての周期関数の考え方は、18 世紀にオイラーによって成熟し、19 世紀にフーリエによって爆発しました。これは、あらゆる周期運動がサインとコサインの和として記述できることを示しました（巻末の読み方を参照）。章）。 アリヤバータとは誰だったのか アリヤバータ (476 – 550) は、499 年、23 歳のとき、インド北部、現在のパトナ近くのクスマプラでアリヤバータを書きました。これらは単なる 121 の詩ですが、$3^\circ 45'$ から $3^\circ 45'$ までの 24 個の正弦の表、近似 $\pi \approx 3{,}1416$、そして地球は自分の軸の周りを回転しており、 星の見かけの動きは幻想であり、ボートに乗って海岸が進むのを見る人のようなものであるという、当時としては大胆な声明をもたらします。後ろ向きに。聖句は暗記することを目的としているため、非常に簡潔になっています。何世紀にもわたって、インドの天文学者はそれらを説明する解説書を書きました。 1975 では、インド初の人工衛星に彼の名前が付けられました。 アリヤバータ像 (476 – 550)、後の芸術的表現。Cpjha13 · ウィキメディア コモンズ · CC BY-SA 4.0 TDグラフ A["ジャ・アルダサンスクリット語: 半文字列"] --> B["jya短い形式"] B --> C["ジバアラビア語、適切な意味なし」] C --> D["jb子音だけで書かれています。」 D --> E["ジャイブ「ひだ」、「むね」と読みます。」 E --> F["副鼻腔ラテン語、世紀。 XII」] F --> G["正弦"] ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 499 Kusumapura (Patna)Aryabhata escreve o Aryabhatiya. A meia-corda se chama jya-ardha, ou só jya, “corda de arco”. séc. IX BagdáNa Casa da Sabedoria, as tábuas indianas são traduzidas para o árabe. Jya vira jiba, palavra sem significado em árabe, escrita só com as consoantes jb. 1145 SegóviaRobert de Chester traduz para o latim as tábuas de al-Khwarizmi. Lendo jb como jaib — “dobra”, “seio” —, escreve sinus. séc. XII ToledoGerardo de Cremona e outros tradutores de Toledo vertem dezenas de obras árabes de astronomia; sinus se espalha pela Europa. 1583 BasileiaThomas Fincke publica a Geometria rotundi e dá nome à tangens e à secans. 1620 LondresNo Gresham College, Edmund Gunter propõe co-sinus e co-tangens; em 1624 usa pela primeira vez a abreviação sin. 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 A viagem da palavra seno, da Índia à Inglaterra. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 22, 2026 読んだ
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読書: ボルツァーノ、数学に逃げた司祭

補足資料 補足資料 ボルツァーノ、数学に逃げ込んだ司祭 ベルナール・ ボルツァーノ (1781 – 1848) は、 当時オーストリア帝国の一部であったプラハで生まれ、亡くなりました。彼はカトリックの司祭であり、宗教哲学の教授でしたが、平和主義者で社会秩序に批判的な彼の思想は教会と政府の不興を買いました。1819 に彼は教授職を失い、執筆活動をしながら離れて暮らし始めました。数学は彼の避難所となり、同時代人は彼の本をほとんど読まなかった。 ベルナルド・ボルツァーノ。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 1817 で彼はRein Analytischer Beweis (“Purely Analytical Proof”) を発表し、そこで図面に頼ることなく 区間内で符号を変える連続関数が相殺されること、つまり現在の中間値定理を実証しました。そのためには、 幾何学的直観に頼らない連続性の定義が必要でした。ボルツァーノは、フェリックス・クラインが彼を「算術演算の父」と呼ぶほど、分析における厳密さの必要性を早くから認識していました。彼とコーシーは面識はありませんでしたが、限界、連続性、収束について非常によく似た定義に到達しました。彼らの名を世に知らしめたのは、より権威のあるコーシーだった。 1834 では、 ボルツァーノは区間上で連続し、 そのどの点にも導関数がない関数を構築しました。この例は未公開であり、最終的に功績は数十年後にこれらの結果を再発見したヴァイエルシュトラス に与えられました。他の研究も同じ運命をたどりました。今日、 私たちはこれをボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と呼んでいます。これは、無限の要素を含むすべての限定された集合が少なくとも 1 つの累積点を持つことを保証し、級数の収束基準の 1 つはコーシーにちなんで名付けられています。 遺作となった著書無限のパラドックス (1851) の中で、ボルツァーノは、0 と 1 の間には0 と 2 の間にあるのと同じくらい多くの実数があることを示しました - $x$ を $2x$ に関連付けるだけです - または同じ数の点1センチか2センチのセグメントで。ガリレオによる観察を再開すると、彼は無限集合をそれ自体の一部に対応させることができることを認めました。彼は、実数の無限性は整数の無限性とは別の種類であることを直観したようで、これを正確に実現できるのはカントールだけです。ボルツァーノが「砂漠で叫ぶ声」だったと言われるのも無理はない。 出典: ボルツァーノ (MacTutor) · バーナード ボルツァーノ (スタンフォード哲学百科事典)。

October 22, 2026 読んだ
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第 1 章の演習 — 円弧と角度

解決策を伴う演習では方法が示されます。以下の場合は適用してください。答えを開く前に、それぞれを試してください。 アーチの測定 1 $225^\circ$ をラジアンで表します。 解像度を参照してください単純な 3 つのルール: $$\begin{array}{rcl} 180^\circ & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 225^\circ & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{225 \cdot \pi}{180} = \frac{5\pi}{4} \text{ rad}.$$ 2 ラジアンで表現します: a) $210^\circ$; b) $240^\circ$; c) $270^\circ$; d) $300^\circ$; e) $315^\circ$; f) $330^\circ$。 解答を見るa) $\dfrac{7\pi}{6}$ rad b) $\dfrac{4\pi}{3}$ rad c) $\dfrac{3\pi}{2}$ rad d) $\dfrac{5\pi}{3}$ rad e) $\dfrac{7\pi}{4}$ rad f) $\dfrac{11\pi}{6}$ rad 3 $\dfrac{11\pi}{6}$ rad を度で表します。 解像度を参照してください$$\begin{array}{rcl} \pi \text{ rad} & \longleftrightarrow & 180^\circ \\ \dfrac{11\pi}{6} \text{ rad} & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{\frac{11\pi}{6} \cdot 180}{\pi} = 330^\circ.$$ 4 度で表します: a) $\dfrac{\pi}{6}$ rad; b) $\dfrac{\pi}{4}$ rad; c) $\dfrac{\pi}{3}$ rad; d) $\dfrac{2\pi}{3}$ rad; e) $\dfrac{3\pi}{4}$ rad; f) $\dfrac{5\pi}{6}$ ラジアン。 解答を見るa) $30^\circ$ · b) $45^\circ$ · c) $60^\circ$ · d) $120^\circ$ · e) $135^\circ$ · f) $150^\circ$

October 22, 2026 読んだ
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三角関数のサイクル

三角サイクルは、三角法の「レース トラック」です。つまり、各実数が開始点からのルートとなる半径 1 の円です。次の章のすべての機能がその中に読み込まれます。 歴史 ギリシャとインドの天文学者は、表内の分数を避けるために、大きな半径の円を使用しました。プトレマイオスは半径 60 とアリヤバータ 3438 を使用しました。 半径 1 を決めたのは 18 世紀のオイラーです。つまり、弧の長さはラジアン単位での角度そのものの測定値であり、サインとコサインは線分の長さではなく数値になります。実数直線を円周に巻き付け、一回転よりも大きな負の円弧を許容するというアイデアは、 三角形の三角法を周期関数の理論に変換します。 レオンハルト・オイラーとは スイスのバーゼル出身のレオンハルト オイラー (1707 – 1783) は、歴史上最も生産的な数学者であり、全集の版数は 70 冊を超えています。彼はサンクトペテルブルクとベルリンで働き、30 歳頃に片目を失明し、人生の最後の 17 年間をほとんど盲目のまま過ごしました。その間、彼はアシスタントに口述筆記して作品のほぼ半分を制作しました。彼が半径 1 を固定し、サインとコサインを数値の関数として扱う無限解析入門 (1748) は、何世代もの数学者のマニュアルでした。本書の三角関数サイクルはここから来ています。オイラーの人生は、[第 7 章を​​読む] でより穏やかに語られます(/jp/posts/basic/trigonometria/livro/cap07-equacoes/05-leitura-euler/). クラウディウス プトレマイオス (c. 100 – 170)、後の芸術的表現。彼らのテーブルは半径 60 の円を使用しました。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アリヤバータ (476 – 550)、後の芸術的表現。ラジアン単位の分角数である radius 3438 を使用しました。Cpjha13 · ウィキメディア コモンズ · CC BY-SA 4.0 レオンハルト・オイラー、写真は1753。雷1を直してくれたのは彼だった。ヤコブ・エマニュエル・ハンドマン · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1707–1727 バーゼルスイスで生まれ育つ。13 歳で大学に入り、土曜日ごとにヨハン・ベルヌーイの指導を受ける。 1727 リューベック船でライン川を下り、馬車でドイツを横断し、リューベックからロシアへ船出する。 1727–1741 サンクトペテルブルク科学アカデミーで働く。バーゼル問題を解き、ケーニヒスベルクの橋を調べ、右目の視力を失う。 1741–1766 ベルリンフリードリヒ 2 世に招かれベルリンのアカデミーへ。『無限解析入門』を出版し、公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ を示す。 1766–1783 サンクトペテルブルクエカチェリーナ 2 世に招かれて戻る。ほとんど目が見えなくなっても、1783 年に亡くなるまで論文を口述し続ける。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 バーゼルからサンクトペテルブルクまで、オイラーの暮らした町。地点をクリックするか、旅をたどるを押してください。 地図：© OpenStreetMap 協力者

October 22, 2026 読んだ
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角度とその測定値

角度は、同じ原点の 2 つの光線の間の「開口部」です。それを測定するために、質問を円弧に移します。角度は、頂点を中心とする円内で決定される円弧と同じように測定されます。 歴史 ユークリッド の原論 (紀元前頃 300) では、平面角を「平面上で交わるが直線ではない 2 本の線の互いに対する傾き」と定義しています。定義は簡単そうに見えますが、ギリシャ人は何世紀にもわたって、 結局のところ、 角度、つまり足して比較できる量とは何なのかを議論しました。形のような品質？それとも 2 つの線の間の関係でしょうか？この論争を語っているのは5 世紀のプロクロスであり、ユークリッドの注釈の中で述べられている。私たちが採用した解決策、つまり頂点を中心とした円の中で決定される円弧によって角度を測定するという方法では、哲学的な疑問は脇に置き、 角度を数値に変換します。 時計の文字盤にも古代のルーツがあります。昼と夜を 12 時間に分割することはエジプト人に由来し、各時間の 60 分はバビロニア人の基準 60 に由来します。しかし、分針が一般的になったのは、クリスティアン・ ホイヘンス が 1656 で初めて意味をなすほど正確な振り子時計を作ってからです。 ロードス島のエウデモスとは誰だったのか ロードス島のエウデモス (紀元前 370 ～ 300 頃) はアリストテレス の最も親しい弟子の一人でした。ローマの作家アウルス・ジェリオは、すでに高齢になっていたアリストテレスは、ロードス島のエウデモスとレスボス島のテオフラストスの間で後継者を選ばなければならなかったと述べている。彼は両方の島からワインを注文し、両方を味わい、「どちらも素晴らしいが、レスボス島のワインの方が甘い」と宣言しました。そしてライセウムはテオフラストスを選びました。ユーデモスは、 知られている最初の幾何学の歴史を書きました。この本は失われてしまったが、プロクロスはそれを引用しており、これらの引用から、例えば、タレスが海上の船の距離を計算するために三角形の等価性を使用したことが知られている。プロクルスによれば、ユーデモスは角度が性質であると主張するために、 論文角度について全体を捧げた。 ラファエロ作のアテナイの学堂の人物は、伝統的にロードス島のエウデモスと特定されています。不確かな身元確認。ラファエル・サンツィオ; Jic と FranksValli による複製の切り抜き · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン エウデモスによれば、タレスはどのようにして船の距離を計算したのかというと、$H$ 高い塔の頂上から船を眺めます。三角形 $TKJ$ と $TBN$ は類似しており、次に $D/H = d/h$ です。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 22, 2026 読んだ
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円弧と円弧の測定

サインやコサインについて話す前に、円周の測定方法を知る必要があります。これにはバビロニア人から受け継いだ度と、 半径そのもので弧を測るラジアンという2つの物差しがあります。 歴史 円周を分割すると、 360パーツ 天文学に由来する メソポタミア、これは 60 進数で数えられ、約 360 日で空を横切る太陽に従います。紀元前2世紀に、 ニカイアのヒッパルコス コード表に 360 度を採用し、 プトレマイオス、 で アルマゲスト (西暦 150 年頃)、各度を 60 分に、各分を 60 秒に分割しました。 主要議事録パーツ そして 二次的 分と秒に名前を付けた人。 半径を単位として円弧を長さで測るという考え方は、もっと最近になって行われたものです。英国人のロジャー コーツは、1714 でこれが角度の「自然な」単位であることに気付き、レオンハルト オイラーは無限分析の入門 (1748) でこれを体系的に使用し、半径 1 の円に取り組みました。このラジアンという言葉は、ケルビン卿の弟である技師ジェームズ・ トムソンが作成した試験問題の1873でのみ印刷されていました。 ロジャー・コーツとは誰だったのか ロジャー コーツ (1682 – 1716) はケンブリッジの神童で、24 歳でプルミアン天文学教授の最初の保持者となりました。 アイザック ニュートンはプリンキピアの第 2 版 (1713) の作成を彼に委託し、二人は長い文通を続けて、実演ごとに本の修正について話し合った。記事ロゴメトリ (1714) の中で、コーテスは $ix = \ln(\cos x + i\operatorname{sen} x)$ と同等の関係に到達しました。これはオイラーが $e^{ix} = \cos x + i\operatorname{sen} x$ の形で有名にしたものと同じです。そして、それは円弧 $x$ が半径、つまりラジアンで測定される場合にのみ機能します。コートスは 33 歳で発熱により死亡した。彼の論文はいとこのロバート・スミスによってHarmonia mensurarum (1722) として出版されました。ニュートンは「コーツが生きていたら、我々は何かを学べたはずだ」と嘆いたと言われている。 ニカイアのヒッパルコス (紀元前 190 ～ 120 頃)、後の芸術的表現。彼らの文字列テーブルはすでに 360 度を使用していました。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン c. 1800 a.C.バビロニア人はベース60で計算し、60分と60秒で残された遺産です。 世紀。 II 紀元前ヒパルコスは、最初のコード表で 360 度を使用します。 c. 150プトレマイオスはアルマゲストで次数を分と秒に分けています。 1714ロジャー・ コーツは、半径が角度の自然な単位であることに気づきました。 1748はじめにでは、オイラーは半径1の円上で動作します。 1873ジェームズ・トムソンの校正刷りにはラジアンという単語が印刷物に登場します。 言葉 三角法は、ギリシャ語の「三角形」を意味するtrígōnonと「測る」を意味するメトロンを組み合わせたものです。プトレマイオスは円周の 360 個の部分をそれぞれモイーラ (μοῖρα、「部分」) と呼びました。 モエラの 60 番目の部分は、陽子ヘシェコストン、「最初の 60 番目」、そしてその 60 番目の重陽子ヘシェコストン、「2 番目の 60 番目」でした。ラテン語の翻訳者は、これらの名前を gradus (「ステップ」)、pars minuta prima (「最初の小さな部分」)、pars minuta secunda として翻訳しました。そこから短縮されて、学位、分と秒です。

October 22, 2026 読んだ
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三角比と直角三角形の解き方

角度がサイドの役割を選ぶ 直角三角形の鋭角$\alpha$を選択します。それに関連して、一方は反対であり、もう一方は隣接しています。角度を変えると、これらの役割が逆転します。斜辺は変わりません。 2 つの三角形が同じ鋭角であれば、それらは相似です。したがって、対応する辺間の比率は等しいです。 $$\sin\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},\quad \tan\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}.$$最初の商を二番目の商で割ると、$\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ が得られます。鋭角は相補的なので、$\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha$も同様です。 5種類のデータ 斜辺を$a$、$\alpha$の反対側を$b$、隣接する側を$c$とします。 既知のデータ 完了方法 斜辺$a$と角度$\alpha$ $b=a\sin\alpha$, $c=a\cos\alpha$ 反対側の足$b$と角度$\alpha$ $a=b/\sin\alpha$, $c=b/\tan\alpha$ 隣接する辺$c$と角度$\alpha$ $a=c/\cos\alpha$, $b=c\tan\alpha$ 斜辺 $a$ と脚 $b

October 22, 2026 読んだ
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ピタゴラス、高さと直角三角形の投影

各セグメントに名前を付けます 直角三角形では、 直角の反対側が斜辺となります。彼女を$a$、男の子たちを$b,c$と呼んでください。他の角度は鋭角であり、合計は $90°$ になります。 斜辺までの高さ$h$を描きます。 $a$ を 2 つの投影に分割します。$m$ は辺 $b$ に関連付けられ、$n$ は辺 $c$ に関連付けられます。したがって、$m+n=a$。 類似性による実証 2 つの小さな三角形は、元の三角形と同じ直角と鋭角を持っています。彼らは彼に似ています。対応する辺を比較: $$\frac b a=\frac m b\Rightarrow b^2=am,\qquad \frac c a=\frac n c\Rightarrow c^2=an.$$2 つの等式を追加し、$m+n=a$ を使用すると、次のようになります。 $$b^2+c^2=a(m+n)=a^2.$$私たちはピタゴラスの定理を手に入れました。これは、特定の測定例に依存することなく、類似する側面間の関係から推定されました。 2つのパスによる高さ 面積は、脚または斜辺とその高さによって計算できます。 $$\frac{bc}{2}=\frac{ah}{2}\Rightarrow ah=bc.$$$b^2=am$ と $c^2=an$ を二乗して代入します。 $$h^2=\frac{b^2c^2}{a^2}=\frac{am\cdot an}{a^2}=mn.$$したがって、$h=\sqrt{mn}$となります。これらの対策はすべて前向きです。 中央値から斜辺まで 斜辺の中点 M は 3 つの頂点から同じ距離にあります。その理由を確認するには、三角形が長方形になるまで完成させてください。長方形の対角線は等しく、半分に切ります。各半分のサイズは $a/2$ です。 したがって、M に対して直角から引いた中央値は $a/2$ になります。これは、中心 M、半径 $a/2$ の円が 3 つの頂点を通過していることも示しています。 作業例 脚6cm、8cm、$a=\sqrt{36+64}=10$cmの場合。それから： $$h=\frac{6\cdot8}{10}=4{,}8\text{ cm},$$ $$m=\frac{6^2}{10}=3{,}6\text{ cm},\qquad n=\frac{8^2}{10}=6{,}4\text{ cm}.$$投影の合計は 10 cm、中央値は 5 cm であり、関係が確認されます。

October 22, 2026 読んだ
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30、45、60度の値のデモンストレーション

2 つの絵が暗記に代わる 鋭角の三角比は次のとおりです。 $$\sin\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},$$ $$\tan\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.$$ピタゴラスを使用すると、いくつかの角度について正確に計算できます。定理の証明については、このトラックの計量関係クラスを参照してください。 45 度の三角形 辺が1の正方形の対角線は、2つの直角二等辺三角形に分割します。鋭角は等しく、合計は $90°$ になります。それぞれ$45°$を測定します。 ピタゴラスの定理によれば、対角線の長さは $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ です。ロゴ： $$\sin45°=\cos45°=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad\tan45°=1.$$30 度および 60 度の三角形 1辺の高さ正三角形2をプロットします。底辺を長さ 1 の 2 つの部分に分割し、頂角を長さ $30°$ の 2 つの部分に分割します。 高さ$h$は$h^2+1^2=2^2$を満たし、次に$h=\sqrt3$を満たします。反対側および隣接する脚を読み取る: 角度 正弦 余弦 正接 $30°$ $1/2$ $\sqrt3/2$ $\sqrt3/3$ $45°$ $\sqrt2/2$ $\sqrt2/2$ $1$ $60°$ $\sqrt3/2$ $1/2$ $\sqrt3$ $30°$ と $60°$ では、猫が役割を交代します。これは、一方のサインが他方のコサインと一致する理由を説明します。 正確な値と近似値 $\sqrt3/2$ は正確な値です。小数点$0{,}866$は近似値です。計算中は根号を維持し、測定値を解釈する必要がある場合にのみ丸めます。 日常生活での応用 正方形。 学校の正方形には $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$ の角度があります。 屋根。 $30^\circ$ と $45^\circ$ の屋根は共通です。半幅が 4 m で、$45^\circ$ の屋根は 4 m 上がります。 蜂の巣 ミツバチは、内三角形が 等辺 で角度が $60^\circ$ の六角形を作ります。 ケースとツールボックスの注目すべき角度は、2 つのスクールスクエアと正六角形の六角ナットです。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ
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内接多角形と中心半角の正弦

2 本のスポーク間のロープ 半径$R$の円に辺が$n\ge3$の正多角形を内接します。隣接する 2 つの頂点を中心 O に接続します。形成される三角形は、多角形の $R$ に等しい 2 つの辺と、辺 $\ell$ に等しい底辺を持ちます。 $n$ 個の等しい中心角で 1 回転が完了します。それぞれ$360°/n$を測定します。この三角形の高さを O から描きます。対称にするために、底辺と中心角を半分にカットします。 サインとの関係のデモンストレーション 半分の 1 つに直角三角形が表示されます。 Oの角度は$180°/n$、斜辺は$R$、反対側は$\ell/2$です。 鋭角の正弦を斜辺に対する反対側の比率として定義します。したがって： $$\sin\frac{180°}{n}=\frac{\ell/2}{R}=\frac{\ell}{2R}.$$絶縁側の長さ: $$\ell=2R\sin\frac{180°}{n}.$$半径1の円周上では、関係は$\sin(180°/n)=\ell/2$に減少します。高校では、同じ角度の単位を $\pi/n$ ラジアンと書きます。 六角形への応用 正六角形は半径によって 6 つの 正三角形 に分割できます。それぞれの中心角は $360°/6=60°$ になります。したがって、六角形の辺は $R$ になります。 $n=6$ と $\ell=R$ を置き換えます: $$\sin30°=\frac{R}{2R}=\frac12.$$サインには単位がありません。同じ単位で測定された長さの比率です。半径を 2 倍にすると辺も 2 倍になりますが、商は変わりません。 日常生活での応用 六角ナット ネジの頭が正六角形で、ネジの頭部分が正六角形になっています。中央の半角正弦は側面を半径に接続します。 STOP 標識。 標識は正八角形で、中心角が $45^\circ$ 8 つあります。 スポーク ホイール。 自転車の車輪では、隣り合う 2 つのスポークの端の間の距離が弦となり、半角の正弦で計算されます。 日常のポリゴン: 8 辺、STOP 標識。 6は六角ナットです。文字列は$2r\operatorname{sen}\frac{\theta}{2}$です。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ
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度、分、秒での角度の測定

スピンを比較するユニット ターンを360 等分することで次数が定義されます。 1 回転すると $360°$ になります。半回転、$180°$;部屋、$90°$。 $0°$ と $90°$ の間の角度は鋭角です。 $90°$ と $180°$ の間、鈍角。 円上では、円弧の度単位の測定値が、対応する中心角の測定値となります。同じ端点を持つ 2 つの円弧を区別するには、どちらが測定されているかを示します。 学位の小さな部分 度には 60 秒角があり、各分には 60 秒角があります。 $$1°=60',\qquad1'=60'',\qquad1°=3600''.$$これらの単位は角度を測定します。名前は角度を時間を測定するものではありません。 $27°18'$ を 10 進度に変換するには: $$27°18'=\left(27+\frac{18}{60}\right)°=27{,}3°.$$逆に、$42{,}25°$ では、$0{,}25°$ の部分が $0{,}25\cdot60=15'$ に対応します。したがって、$42{,}25°=42°15'$。 デモ: なぜ再編成する必要があるのでしょうか? 同じタイプのユニットを追加すると、次のようになります。 $$18°45'+7°30'=25°75'.$$$75'=60'+15'=1°15'$ と同様に、分が 60 より小さい形式は次のとおりです。 $$25°75'=26°15'.$$変換により、合計の測定値が維持されたまま、合計の一部の単位が変更されます。減算する場合は、その逆、$30°=29°60'$ を行うことができます。 補完的かつ補足的 2 つの角度を合計すると $90°$ になると相補し、合計すると $180°$ になると相補となります。 $34°$ の補数は $56°$ です。補足は$146°$です。 これらの関係は、直角三角形の 2 つの鋭角と三角関数のサイクルの対称性を研究すると再び現れます。 日常生活での応用 座標。 緯度と経度は度、分、秒で表示されます。サンパウロは$23^\circ 33'$ Sの近くにあります。 海里。 緯度 1 分は約 1852 m に相当し、船や飛行機が使用する海里です。 1秒、約31メートル。 携帯電話の GPS。 アプリケーションでは、座標も 10 進数で表示されます: $23{,}55^\circ = 23^\circ 33'$。 緯度は度、分、秒で表示され、赤道までの距離は海里でカウントされます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ