A equação procura entradas

Uma equação trigonométrica pede os valores da variável que tornam uma igualdade verdadeira. Antes de transformar a expressão, determine seu domínio. Divisões por funções que podem ser zero podem eliminar soluções.

Para $\sin x=m$ ou $\cos x=m$, é necessário $-1\le m\le1$. Para a tangente, qualquer $m$ real é possível, mas as entradas onde $\cos x=0$ permanecem proibidas.

Demonstração das famílias do seno

Uma reta horizontal corta o ciclo em no máximo dois pontos. Se um deles corresponde a $\alpha$, o outro corresponde a $\pi-\alpha$. Como voltas completas repetem o ponto:

$$\sin x=\sin\alpha\iff \begin{cases} x=\alpha+2k\pi,\ \text{ou}\\ x=\pi-\alpha+2k\pi, \end{cases}\qquad k\in\mathbb Z.$$

Nos valores extremos do seno, as duas famílias podem coincidir; isso não acrescenta soluções distintas.

Cosseno e tangente

Uma reta vertical fornece as posições de $\alpha$ e $-\alpha$:

$$\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi.$$

Duas direções opostas têm o mesmo quociente vertical/horizontal:

$$\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi,$$

desde que $\tan\alpha$ exista. Essas fórmulas também resolvem igualdades entre funções de expressões: substitua $x$ e $\alpha$ pelos argumentos correspondentes e resolva as equações resultantes.

Exemplo completo

Resolva $\sin2x=\sin(\pi/3)$. As possibilidades são:

$$2x=\frac\pi3+2k\pi\Rightarrow x=\frac\pi6+k\pi,$$

$$2x=\pi-\frac\pi3+2k\pi\Rightarrow x=\frac\pi3+k\pi.$$

As duas famílias são necessárias. A igualdade $\sin u=\sin v$ não implica apenas $u=v$.

Casos de referência

$$\sin x=0\iff x=k\pi,$$

$$\cos x=0\iff x=\frac\pi2+k\pi,$$

$$\tan x=0\iff x=k\pi.$$

Em graus, troque $\pi$ por $180°$ e $2\pi$ por $360°$, mantendo a mesma unidade em todos os termos.

No dia a dia

  • Roda-gigante. Achar os instantes em que a cabine atinge certa altura é resolver $\operatorname{sen}\theta = m$.
  • Tomada. A tensão de 60 Hz se anula 120 vezes por segundo: as soluções de uma equação fundamental.
  • Marés. Os horários de maré cheia formam uma família de soluções, uma a cada período.
As alturas da cabine: cada altura-alvo dá duas soluções por volta.

Exercícios com resolução

1. Resolva $\cos x=-1/2$ em todos os reais.

Conferir resolução 1

$x=2\pi/3+2k\pi$ ou $x=4\pi/3+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

2. Resolva $\tan(2x)=1$.

Conferir resolução 2

$2x=\pi/4+k\pi$, logo $x=\pi/8+k\pi/2$. Nessas entradas a tangente do argumento está definida.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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