Euler's Eyes
2026-10-21
Arco seno, arco cosseno e arco tangente
Por que é preciso restringir?
Uma inversa precisa recuperar uma única entrada a partir da saída. Seno, cosseno e tangente repetem valores. Para definir inversas, escolhemos intervalos em que cada função seja injetora e atinja toda sua imagem desejada.
| Função restrita | Domínio escolhido | Imagem |
|---|---|---|
| Seno | $[-\pi/2,\pi/2]$ | $[-1,1]$ |
| Cosseno | $[0,\pi]$ | $[-1,1]$ |
| Tangente | $(-\pi/2,\pi/2)$ | $\mathbb R$ |
Nesses intervalos, seno e tangente são estritamente crescentes, e cosseno é estritamente decrescente. Cada saída aparece uma única vez; portanto, as inversas ficam bem definidas.
Definições e domínios
$$y=\arcsin t\iff\sin y=t,\quad-\frac\pi2\le y\le\frac\pi2,$$$$y=\arccos t\iff\cos y=t,\quad0\le y\le\pi,$$
$$y=\arctan t\iff\tan y=t,\quad-\frac\pi2
Compor na ordem correta
Para $t\in[-1,1]$, $\sin(\arcsin t)=t$. Mas $\arcsin(\sin x)=x$ só é garantido quando $x$ está no intervalo principal. Por exemplo:
$$\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) =\arcsin\frac12=\frac\pi6.$$O valor $5\pi/6$ tem o mesmo seno, mas está fora da faixa principal do arco seno. A função inversa fornece uma resposta principal; a equação trigonométrica pode ter infinitas respostas.
Uma identidade entre as inversas
Se $y=\arcsin t$, então $y\in[-\pi/2,\pi/2]$ e $\pi/2-y\in[0,\pi]$. Como $\cos(\pi/2-y)=\sin y=t$, a definição de arco cosseno dá:
$$\arcsin t+\arccos t=\frac\pi2,\qquad -1\le t\le1.$$A notação $\arcsin t$ representa uma inversa de função restrita, não o recíproco $1/\sin t$. O recíproco do seno é a cossecante.
No dia a dia
- Rampas e ruas. Da inclinação em porcentagem tira-se o ângulo: 20% corresponde a $\operatorname{arc\,tg} 0{,}2 \approx 11{,}3^\circ$.
- Escada de mão. Com o pé afastado 1/4 do comprimento, o ângulo com o chão é $\operatorname{arc\,cos}\frac{1}{4} \approx 75{,}5^\circ$.
- Sensores. Celulares e drones calculam ângulos de inclinação a partir de medidas de sensores usando arco tangente.
Exercícios com resolução
1. Calcule $\arccos(-\sqrt2/2)$ e $\arctan(-\sqrt3)$.
Conferir resolução 1
O arco cosseno retorna $3\pi/4$; o arco tangente retorna $-\pi/3$, respeitando as respectivas imagens principais.
2. Qual é o domínio real de $f(x)=\arcsin(2x-1)$?
Conferir resolução 2
É necessário $-1\le2x-1\le1$. Somando 1 e dividindo por 2, $0\le x\le1$.
No livro interativo
Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:
Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.