Uma igualdade entre funções

Uma identidade trigonométrica é uma igualdade válida para todas as entradas de um domínio declarado. É preciso conferir tanto os valores quanto os pontos em que as expressões existem.

Por exemplo, $\sec^2x-\tan^2x=1$ vale quando $\cos x\ne0$. O lado direito também existe nos pontos excluídos, mas isso não amplia o domínio da expressão à esquerda.

Primeiro caminho: transformar um dos membros

Para demonstrar $\sin x\tan x+\cos x=\sec x$, com $\cos x\ne0$, começamos pela esquerda:

$$\begin{aligned} \sin x\tan x+\cos x &=\frac{\sin^2x}{\cos x}+\frac{\cos^2x}{\cos x}\\ &=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos x}=\frac1{\cos x}. \end{aligned}$$

Reconhecemos o membro direito pela definição de secante.

Segundo caminho: transformar os dois em uma expressão comum

Considere:

$$\frac{1-\cos^2x}{\sin x}=\sin x.$$

No domínio $\sin x\ne0$, o membro esquerdo se reduz a $\sin^2x/\sin x=\sin x$. Também poderíamos transformar os dois lados até uma terceira expressão, desde que cada transformação respeitasse o domínio.

Terceiro caminho: equivalências reversíveis

Podemos trabalhar na igualdade proposta se cada passo for reversível. Para $\sin x\ne0$:

$$\begin{aligned} \frac{1-\cos^2x}{\sin x}=\sin x &\iff1-\cos^2x=\sin^2x\\ &\iff1=\sin^2x+\cos^2x. \end{aligned}$$

A última igualdade é conhecida e todos os passos podem ser desfeitos. Elevar ao quadrado, ao contrário, nem sempre é reversível: $u=v$ implica $u^2=v^2$, mas a volta pode dar $u=-v$.

Exemplo numérico não é demonstração

Testar $x=0$ e $x=\pi/2$ pode ajudar a descobrir um erro, mas não prova uma afirmação sobre todos os reais. Um contraexemplo basta para refutar; uma demonstração exige um argumento geral.

No dia a dia

  • Mapas. A fórmula do haversine, usada para calcular distâncias na superfície da Terra, depende da identidade $\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$.
  • Tensão eficaz. Uma identidade mostra que 127 V eficazes equivalem a um pico de cerca de 180 V na tomada.
  • Conferir fórmulas. Engenheiros verificam uma fórmula longa testando se ela se reduz a uma identidade conhecida em casos simples.
A identidade $\operatorname{sen}^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ na tomada: o pico de 180 V e a tensão eficaz de 127 V.

Exercícios com resolução

1. Demonstre $(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos^2x$.

Conferir resolução 1

Pela diferença de quadrados, o membro esquerdo é $1-\sin^2x=\cos^2x$. Não há denominador; vale para todo real.

2. Simplifique $(1-\sin x)/\cos x$ multiplicando pela expressão conjugada. Declare as condições da nova forma.

Conferir resolução 2

A forma $\cos x/(1+\sin x)$ resulta da multiplicação por $(1+\sin x)/(1+\sin x)$. No domínio original $\cos x\ne0$, também $\sin x\ne-1$, então o fator usado existe. As duas formas são iguais nesse domínio.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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