Escolher arcos, não apenas pontos

Uma equação como $\sin x=m$ marca pontos de encontro com uma reta horizontal. A inequação $\sin x>m$ escolhe os arcos acima dessa reta; $\sin x

A notação $(a,b)$ exclui as pontas; $[a,b]$ inclui ambas. Desigualdades estritas excluem os pontos de igualdade. Os pontos onde uma função não existe nunca entram, mesmo com $\ge$ ou $\le$.

Seno maior ou menor que uma constante

Para $-1 $$\sin x>m\iff \alpha+2k\pi

$$\sin xA solução é a união desses intervalos para todos os $k\in\mathbb Z$. Para as versões não estritas, inclua os extremos.

Por exemplo, $\sin x>1/2$ equivale a $\pi/6+2k\pi

Cosseno maior ou menor que uma constante

Para $-1 $$\cos x>m\iff-\beta+2k\pi

$$\cos xPor exemplo, $\cos x<-1/2$ fornece $2\pi/3+2k\pi

Limites do seno e do cosseno

Para $f=\sin$ ou $f=\cos$, sabemos $-1\le f(x)\le1$.

Condição sobre $m$ $f(x)>m$ $f(x)
$m<-1$ Todos os reais Nenhum real
$m=-1$ Todos, exceto onde $f=-1$ Nenhum real
$m=1$ Nenhum real Todos, exceto onde $f=1$
$m>1$ Nenhum real Todos os reais

Para desigualdades não estritas, trate a igualdade explicitamente: $f\ge1$ seleciona apenas máximos; $f\le-1$, apenas mínimos; $f\ge-1$ e $f\le1$ valem em toda a reta.

Tangente: um ramo por vez

Se $\gamma=\arctan m\in(-\pi/2,\pi/2)$, a tangente é crescente em cada ramo. Assim:

$$\tan x>m\iff\gamma+k\pi

$$\tan xAs assíntotas continuam excluídas. Nas versões não estritas, apenas o extremo $\gamma+k\pi$ pode ser incluído.

Por exemplo, $\tan x\ge1$, em $[0,2\pi)$, dá $[\pi/4,\pi/2)\cup[5\pi/4,3\pi/2)$. A periodicidade permite transportar a mesma análise para qualquer intervalo.

Por que não multiplicar sem olhar o sinal?

Em $\sin x/\cos x>m$, multiplicar por $\cos x$ preserva o sentido se ele é positivo e inverte o sentido se é negativo. Nos zeros, a expressão não existe. Separar por ramos ou fazer um quadro de sinais evita perder essa informação.

No dia a dia

  • Painel solar. As horas de geração útil são as soluções de $\operatorname{sen} h > m$ para a altura $h$ do Sol.
  • Acessibilidade. Uma rampa acessível precisa de $\operatorname{tg}\alpha \le 0{,}0833$.
  • Câmeras e jogos. Um ponto está no campo de visão quando $\cos\theta$ é maior que o cosseno da meia abertura.
A norma de acessibilidade como inequação: $\operatorname{tg}\alpha \le 0{,}0833$.

Exercícios com resolução

1. Resolva $\cos x\le1/2$ em $[0,2\pi)$.

Conferir resolução 1

Os cruzamentos são $\pi/3$ e $5\pi/3$. A parte à esquerda da reta inclui os extremos: $[\pi/3,5\pi/3]$.

2. Resolva $\tan x<0$ em $[0,2\pi)$.

Conferir resolução 2

A tangente é negativa nos quadrantes II e IV: $(\pi/2,\pi)\cup(3\pi/2,2\pi)$. Zeros e assíntotas ficam excluídos.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

Índice da etapa · ← Aula anterior · Próxima aula →