Somar duas fórmulas conhecidas

Escreva as fórmulas de $\sin(a+b)$ e $\sin(a-b)$. Somando-as, os termos com $\cos a\sin b$ se cancelam:

$$\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b.$$

Faça agora $u=a+b$ e $v=a-b$. Então $a=(u+v)/2$ e $b=(u-v)/2$. Isso produz a primeira identidade abaixo; os outros casos vêm da soma ou subtração das fórmulas de seno e cosseno:

$$\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$

$$\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2},$$

$$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$

$$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}.$$

Essas identidades valem para todos os reais $u,v$. No último caso, o sinal negativo é essencial.

Fazer o caminho inverso

Reorganizando as mesmas fórmulas:

$$2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b),$$

$$2\cos a\sin b=\sin(a+b)-\sin(a-b),$$

$$2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b),$$

$$2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b).$$

Um produto pode ser mais útil para achar zeros; uma soma pode ser mais útil para reunir termos ou calcular valores exatos.

Exemplo: resolver por fatores

Em $\sin3x+\sin x=0$, a transformação dá:

$$2\sin2x\cos x=0.$$

Portanto $\sin2x=0$ ou $\cos x=0$. A primeira família é $x=k\pi/2$ e a segunda, $x=\pi/2+k\pi$. Esta última já está incluída na primeira. O conjunto de todas as soluções é $\{k\pi/2:k\in\mathbb Z\}$.

Exemplo de cálculo exato

$$\sin75°+\sin15°=2\sin45°\cos30°=\frac{\sqrt6}{2}.$$

Nenhuma aproximação decimal foi necessária. A média dos ângulos determina um fator, e a metade da diferença determina o outro.

No dia a dia

  • Batimento. Duas notas de 440 Hz e 442 Hz soam como uma nota de 441 Hz que pulsa 2 vezes por segundo — a soma virou produto.
  • Teclas do telefone. Cada tecla soma duas frequências; o aparelho da central separa a soma para reconhecer a tecla.
  • Rádio AM. Multiplicar o som pela portadora cria as frequências soma e diferença que o rádio capta.
Soma de senos em produto: o batimento que os músicos usam para afinar.

Exercícios com resolução

1. Transforme $\cos5x-\cos x$ em produto.

Conferir resolução 1

$\cos5x-\cos x=-2\sin3x\sin2x$.

2. Calcule $2\sin75°\sin15°$.

Conferir resolução 2

Pela transformação em soma, é $\cos60°-\cos90°=1/2$.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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