Isolar os quadrados

Partimos das identidades $\cos2u=1-2\sin^2u$ e $\cos2u=2\cos^2u-1$. Fazendo $u=x/2$ e isolando:

$$\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2},\qquad \cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}{2}.$$

Consequentemente:

$$\sin\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}},\qquad \cos\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$$

Os sinais não são uma escolha livre: são determinados pelo quadrante da imagem de $x/2$. Se $0

A metade pode estar em outro quadrante

Se $x=300°$, temos $x/2=150°$. Então:

$$\sin150°=\sqrt{\frac{1-1/2}{2}}=\frac12,$$

$$\cos150°=-\sqrt{\frac{1+1/2}{2}}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

O sinal negativo do cosseno decorre do segundo quadrante.

Demonstração da tangente da metade

Usando $\sin x=2\sin(x/2)\cos(x/2)$ e $1+\cos x=2\cos^2(x/2)$:

$$\frac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\frac x2,$$

desde que $\cos(x/2)\ne0$. A condição equivale a $1+\cos x\ne0$.

Outra forma é:

$$\tan\frac x2=\frac{1-\cos x}{\sin x},$$

mas ela exige também $\sin x\ne0$. Para $x=0$, a primeira forma vale 0 e a segunda não existe. As expressões coincidem no domínio comum, sem terem exatamente o mesmo domínio.

Elevando ao quadrado:

$$\tan^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}.$$

Substituição por um parâmetro

Se $t=\tan(x/2)$ existe, as identidades anteriores dão:

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

Para a tangente, $\tan x=2t/(1-t^2)$ exige ainda $t^2\ne1$. Essa substituição pode transformar equações trigonométricas em equações algébricas; os pontos em que $t$ não existe devem ser verificados separadamente.

No dia a dia

  • Distâncias na Terra. O haversine de um ângulo é $\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2}$, uma fórmula de arco metade usada pelos aplicativos de mapa.
  • Desenho por computador. Os programas de CAD descrevem arcos com $t = \operatorname{tg}\frac{\theta}{2}$, que torna seno e cosseno frações de polinômios.
  • Ângulos de corte. Para emendar duas tábuas num canto de $90^\circ$, cada uma é cortada a $45^\circ$: a metade do ângulo.
Meia-esquadria: para formar um canto de $90^\circ$, cada tábua é cortada na metade do ângulo, $45^\circ$.

Exercícios com resolução

1. Calcule $\cos22{,}5°$.

Conferir resolução 1

O ângulo está no primeiro quadrante: $\cos22{,}5°=\sqrt{(1+\sqrt2/2)/2}=\sqrt{2+\sqrt2}/2$.

2. Calcule $\tan15°$ usando a fórmula da metade de $30°$.

Conferir resolução 2

$\tan15°=(1/2)/(1+\sqrt3/2)=1/(2+\sqrt3)=2-\sqrt3$.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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