Uma fórmula de adição aplicada a si mesma

Substitua $b=a$ nas fórmulas de adição:

$$\sin2a=2\sin a\cos a,$$

$$\cos2a=\cos^2a-\sin^2a.$$

A identidade fundamental permite duas outras formas para o cosseno:

$$\cos2a=1-2\sin^2a=2\cos^2a-1.$$

A escolha depende do dado disponível. Se conhecemos apenas o seno, a primeira expressão alternativa evita calcular o cosseno e escolher seu sinal.

Se as tangentes existem:

$$\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}.$$

A forma com $\tan a$ exige $\cos a\ne0$ e $1-\tan^2a\ne0$; não cobre todos os casos em que $\tan2a$ existe.

Demonstração das fórmulas do triplo

Escreva $3a=2a+a$. Para o seno:

$$\begin{aligned} \sin3a&=\sin2a\cos a+\cos2a\sin a\\ &=2\sin a\cos^2a+(1-2\sin^2a)\sin a\\ &=2\sin a(1-\sin^2a)+\sin a-2\sin^3a\\ &=3\sin a-4\sin^3a. \end{aligned}$$

Do mesmo modo, expandindo o cosseno da soma e substituindo $\sin^2a=1-\cos^2a$:

$$\cos3a=4\cos^3a-3\cos a.$$

Dividindo seno por cosseno e simplificando, com $t=\tan a$:

$$\tan3a=\frac{3t-t^3}{1-3t^2},$$

onde $\tan a$ existe e $1-3t^2\ne0$. O denominador zero corresponde a uma interrupção da expressão.

Exemplo com razões conhecidas

Se $\sin a=3/5$ e $\cos a=4/5$:

$$\sin2a=\frac{24}{25},\qquad\cos2a=\frac7{25},$$

$$\sin3a=\frac{117}{125},\qquad\cos3a=-\frac{44}{125}.$$

O seno positivo e o cosseno negativo mostram que a imagem de $3a$ está no segundo quadrante. O sinal pode mudar ao multiplicar o ângulo.

No dia a dia

  • Arremessos. O alcance de um lançamento é proporcional a $\operatorname{sen} 2\theta$; por isso $30^\circ$ e $60^\circ$ chegam ao mesmo lugar e $45^\circ$ vai mais longe.
  • Potência elétrica. A potência num resistor é proporcional a $\operatorname{sen}^2\omega t = \frac{1 - \cos 2\omega t}{2}$: ela oscila com o dobro da frequência da tensão, 120 vezes por segundo.
  • Ângulos triplos. Dividir um ângulo em três (trissecção) leva a uma equação de 3º grau, a mesma que aparece em $\cos 3a$ — por isso não se faz com régua e compasso.
Arco duplo no esporte: o alcance é proporcional a $\operatorname{sen}2\theta$.

Exercícios com resolução

1. Expresse $\cos4a$ apenas em função de $c=\cos a$.

Conferir resolução 1

$\cos4a=2\cos^22a-1=2(2c^2-1)^2-1=8c^4-8c^2+1$.

2. Se $\tan a=1/2$, calcule $\tan2a$.

Conferir resolução 2

$\tan2a=2(1/2)/(1-1/4)=4/3$. Os denominadores envolvidos são não nulos.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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