Fórmulas de multiplicação e de divisão

Fazendo $b = a$ nas fórmulas de adição, obtemos as funções do arco duplo; invertendo essas fórmulas, as do arco metade. São as ferramentas que permitem, por exemplo, calcular $\operatorname{sen}\frac{\pi}{8}$ a partir de $\cos\frac{\pi}{4}$.

A história

Em 1593, o matemático belga Adriaan van Roomen desafiou os matemáticos da Europa a resolver uma equação de grau 45. François Viète, advogado e conselheiro do rei francês Henrique IV, percebeu que ela era a expressão de $\operatorname{sen} 45\theta$ em função de $\operatorname{sen}\theta$ e a resolveu com as fórmulas dos arcos múltiplos, que ele próprio havia sistematizado. As fórmulas de arco metade são ainda mais antigas: Ptolomeu as usou para passar da corda de $12^\circ$ às de $6^\circ$, $3^\circ$, $1{,}5^\circ$ e $0{,}75^\circ$ na construção da sua tábua.

Quem foi François Viète

François Viète (1540–1603) nunca foi matemático de profissão: era advogado, de Fontenay-le-Comte, no oeste da França, e fez carreira no serviço dos reis Henrique III e Henrique IV. A matemática ficava para as horas vagas — e mesmo assim ele mudou a álgebra, ao usar letras para representar tanto as incógnitas (vogais) quanto os números conhecidos (consoantes). Durante as guerras de religião, decifrou as cartas cifradas que o rei da Espanha, Filipe II, mandava aos seus aliados na França. A cifra tinha centenas de símbolos, e Filipe II, convencido de que ela era inviolável, queixou-se ao papa de que os franceses só podiam estar usando magia negra. O desafio de van Roomen chegou a ele pelas mãos do próprio Henrique IV, depois que o embaixador holandês afirmou que nenhum francês seria capaz de resolvê-lo. Viète deu uma solução na hora e, no dia seguinte, outras 22.

Fontes: Viète (MacTutor) · Van Roomen (MacTutor).

No dia a dia

Chute e arremesso. Sem resistência do ar, uma bola lançada com velocidade $v$ e ângulo $\theta$ alcança $\frac{v^2\operatorname{sen} 2\theta}{g}$. O maior alcance é em $45^\circ$, porque $\operatorname{sen} 2\theta$ é máximo em $2\theta = 90^\circ$; com $v = 20$ m/s, são cerca de 40,8 m.
Ângulos com o mesmo alcance. Lançamentos a $30^\circ$ e a $60^\circ$ caem no mesmo lugar, já que $\operatorname{sen} 60^\circ = \operatorname{sen} 120^\circ$ — um mais rasante, outro mais alto.
Desenho por computador. Programas de CAD desenham arcos de circunferência usando o parâmetro $t = \operatorname{tg}\frac{\theta}{2}$, que transforma seno e cosseno em frações de polinômios, fáceis de calcular.

O alcance depende de $\operatorname{sen}2\theta$: é máximo em $45^\circ$, e ângulos complementares caem no mesmo lugar.

Teoria

Funções circulares de 2a

Façamos $2a = a + a$ e apliquemos as fórmulas de adição.

TeoremaArco duplo

$$\cos 2a = \cos^2 a - \operatorname{sen}^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\operatorname{sen}^2 a$$$$\operatorname{sen} 2a = 2\operatorname{sen} a \cdot \cos a \qquad\qquad \operatorname{tg} 2a = \frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}$$

Ver as demonstrações

I) $\cos 2a = \cos(a + a) = \cos a\cos a - \operatorname{sen} a\operatorname{sen} a = \cos^2 a - \operatorname{sen}^2 a$. Trocando $\operatorname{sen}^2 a$ por $1 - \cos^2 a$, ou $\cos^2 a$ por $1 - \operatorname{sen}^2 a$, obtemos as outras duas formas.

II) $\operatorname{sen} 2a = \operatorname{sen}(a + a) = \operatorname{sen} a\cos a + \operatorname{sen} a\cos a = 2\operatorname{sen} a\cos a$.

III) $\operatorname{tg} 2a = \operatorname{tg}(a + a) = \dfrac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg} a\operatorname{tg} a} = \dfrac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}$.

$\operatorname{sen} 2x$ (vermelho) e $2\operatorname{sen} x$ (tracejado): o seno do dobro não é o dobro do seno.

Funções circulares de 3a

Fazendo $3a = 2a + a$ e aplicando as fórmulas de adição:

TeoremaArco triplo

$$\cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a \qquad \operatorname{sen} 3a = 3\operatorname{sen} a - 4\operatorname{sen}^3 a \qquad \operatorname{tg} 3a = \frac{3\operatorname{tg} a - \operatorname{tg}^3 a}{1 - 3\operatorname{tg}^2 a}$$

Ver as demonstrações

I) $\cos 3a = \cos 2a\cos a - \operatorname{sen} 2a\operatorname{sen} a = (2\cos^2 a - 1)\cos a - (2\operatorname{sen} a\cos a)\operatorname{sen} a$

$= (2\cos^2 a - 1)\cos a - 2\operatorname{sen}^2 a\cos a = (2\cos^2 a - 1)\cos a - 2(1 - \cos^2 a)\cos a = 4\cos^3 a - 3\cos a$.

II) $\operatorname{sen} 3a = \operatorname{sen} 2a\cos a + \operatorname{sen} a\cos 2a = (2\operatorname{sen} a\cos a)\cos a + \operatorname{sen} a(1 - 2\operatorname{sen}^2 a)$

$= 2\operatorname{sen} a(1 - \operatorname{sen}^2 a) + \operatorname{sen} a(1 - 2\operatorname{sen}^2 a) = 3\operatorname{sen} a - 4\operatorname{sen}^3 a$.

III) $\operatorname{tg} 3a = \dfrac{\operatorname{tg} 2a + \operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg} 2a\operatorname{tg} a} = \dfrac{\frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a} + \operatorname{tg} a}{1 - \frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}\operatorname{tg} a} = \dfrac{2\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} a(1 - \operatorname{tg}^2 a)}{(1 - \operatorname{tg}^2 a) - 2\operatorname{tg}^2 a} = \dfrac{3\operatorname{tg} a - \operatorname{tg}^3 a}{1 - 3\operatorname{tg}^2 a}$.

Fórmulas de divisão

Vamos calcular as funções trigonométricas de $\frac{x}{2}$, conhecida uma das funções circulares de $x$.

TeoremaArco metade (dado cos x)

$$\cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} \qquad \operatorname{sen}\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} \qquad \operatorname{tg}\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}$$

Ver a demonstração

Sabemos que $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1$ e $\cos 2a = 1 - 2\operatorname{sen}^2 a$. Fazendo $2a = x$:

$$\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 \;\Longrightarrow\; \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \qquad \cos x = 1 - 2\operatorname{sen}^2\frac{x}{2} \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2},$$

e $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = \dfrac{\operatorname{sen}\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}$.

AtençãoOs sinais ±

Os sinais só têm sentido quando se conhece $\cos x$ sem conhecer $x$. Sabendo que $\cos x = \cos x_0$, temos

$$1^{\text{a}} \text{ solução: } x = x_0 + 2k\pi \;\Rightarrow\; \frac{x}{2} = \frac{x_0}{2} + k\pi \;\;(\text{I}) \qquad 2^{\text{a}} \text{ solução: } x = -x_0 + 2k\pi \;\Rightarrow\; \frac{x}{2} = -\frac{x_0}{2} + k\pi \;\;(\text{II})$$

Como $k$ pode ser par ou ímpar, há 4 arcos $\frac{x}{2}$ possíveis, que dão dois valores simétricos para cada função. Por exemplo, para o cosseno:

(I), $k$ par: $\cos\frac{x}{2} = \cos\left(\frac{x_0}{2} + 2k_1\pi\right) = \cos\frac{x_0}{2}$;
(I), $k$ ímpar: $\cos\frac{x}{2} = \cos\left[\frac{x_0}{2} + (2k_1 + 1)\pi\right] = -\cos\frac{x_0}{2}$;
(II), $k$ par: $\cos\frac{x}{2} = \cos\left(-\frac{x_0}{2}\right) = \cos\frac{x_0}{2}$;
(II), $k$ ímpar: $\cos\frac{x}{2} = \cos\left(-\frac{x_0}{2} + \pi\right) = -\cos\frac{x_0}{2}$.

Quando se conhece o quadrante de $\frac{x}{2}$, escolhe-se o sinal correspondente.

Dado o $\operatorname{sen} x$. Como $\cos x = \pm\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x}$, a partir de $\operatorname{sen} x$ calculamos $\cos x$ e entramos com as fórmulas acima.

Tangente do arco metade

Vamos escrever as funções trigonométricas de $x$ conhecida a $\operatorname{tg}\frac{x}{2}$. Das fórmulas de multiplicação:

$$\operatorname{sen} 2a = 2\operatorname{sen} a\cos a = 2\operatorname{sen} a \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = 2 \cdot \frac{\operatorname{sen} a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sec^2 a} = \frac{2\operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg}^2 a} \qquad \operatorname{tg} 2a = \frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}.$$

Fazendo $2a = x$ e $a = \frac{x}{2}$, e notando que $\cos x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{tg} x}$:

TeoremaEm função de t = tg(x/2)

$$\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1 + t^2} \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \qquad \operatorname{tg} x = \frac{2t}{1 - t^2}, \qquad t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}.$$

A utilidade dessas três fórmulas é substituir $\operatorname{sen} x$, $\cos x$ e $\operatorname{tg} x$ por uma única função, $\operatorname{tg}\frac{x}{2}$, por meio de expressões racionais. Esse tipo de substituição é muito usado na resolução de equações trigonométricas (capítulo VII).

Os exercícios desta seção são os de números 147 a 170 da lista do capítulo.

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