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基本方程

令$f$和$g$为变量$x$的两个三角函数。求解方程$f(x) = g(x)$就是确定数字$r$的集合$S$，其中$f(r) = g(r)$是一个真实的句子。该集合是方程的解集（或真值集）。 故事 三角方程早在三角方程这个名字出现之前就已经出现了：希腊、印度和阿拉伯天文学家需要找到具有给定正弦的弧，以将观测结果转换为天空中的位置。其中最著名的是开普勒方程，发表于Astronomia nova (1609)： $$M = E - e\operatorname{sen} E,$$根据经过的时间 ($M$) 和轨道偏心率 $e$ 给出行星在其椭圆轨道上的位置 $E$。这个问题无法用代数运算来解决，开普勒经过多次尝试，向几何学家发起挑战，要求他们找到一种方法。他自己暂时解决了。在 18 世纪欧拉开始将正弦和余弦视为实数的函数之后，用整数 $k$ 将方程的所有解写在一个公式中的想法才变得自然，定义为任何弧 - 正、负或大于一圈。 约翰尼斯·开普勒是谁 约翰内斯·开普勒（1571–1630）出生于德国南部Weil der Stadt的一个贫困家庭，童年时差点死于天花，这导致他的视力很弱——这对天文学家来说很奇怪。格拉茨的数学教授，他成为布拉格第谷·布拉赫的1600助理，一年后第谷去世，他继承了帝国数学家的职位和火星观测。经过六年的计算得出结论，火星的轨道不是圆形，而是一个椭圆——开普勒的前两条定律，发表于1609。他的个人生活很困难：他失去了第一任妻子和几个孩子，在 1615 和 1621 之间，他必须为自己的母亲凯瑟琳娜辩护，她被指控巫术。她被监禁了一年多，并受到酷刑威胁，但由于儿子的辩护，最终被无罪释放。 约翰内斯·开普勒 (1571–1630)。奥古斯特·科勒 · 维基共享资源 · 公共领域 开普勒方程。给定时间 $M$，我们寻找给出行星在椭圆中位置的角度 $E$（绿色）；太阳保持焦点。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1571 Weil der StadtNasce numa família pobre. A varíola, na infância, lhe deixa a vista fraca. 1589–1594 TübingenEstuda teologia na universidade, onde o professor Michael Mästlin lhe apresenta, em aulas particulares, a teoria de Copérnico. 1594–1600 GrazProfessor de matemática. Publica o Mysterium cosmographicum (1596). 1600–1612 PragaAssistente e depois sucessor de Tycho Brahe. Na Astronomia nova (1609) publica as duas primeiras leis e a equação $M = E - e\operatorname{sen}E$. 1612–1626 LinzMatemático da província. Publica a terceira lei (1619) e defende a mãe, acusada de bruxaria em Leonberg. 1630 RatisbonaMorre durante uma viagem para cobrar salários atrasados. 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 As cidades de Johannes Kepler. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. 地图：© OpenStreetMap 贡献者

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阅读：Poncelet，监狱里写的几何

进一步阅读 Leitura Poncelet，在监狱里写下的几何 Jean-Victor Poncelet (1788–1867) 出生于法国东部的梅斯。他曾就读于巴黎理工学院，是画法几何创始人加斯帕德·蒙日 (Gaspard Monge) 的学生，后来又在梅斯军事工程学校学习。在1812中，他作为一名工程中尉，随拿破仑军队入侵俄罗斯。 让-维克多·蓬塞莱。史密森尼图书馆 · 维基共享资源 · 公共领域 在从莫斯科撤退期间，他被认为在克拉斯诺伊战役中阵亡，并最终成为一名俘虏。冬天，他步行前往伏尔加河畔的萨拉托夫，被囚禁了大约十八个月。在没有书籍的情况下，他凭记忆重建了从蒙日那里学到的东西，并走得更远：他开始发展射影几何，研究图形从一个平面投影到另一个平面时不会改变的属性 - 与笛沙格和帕斯卡在 17 世纪开始探索的属性相同。 他于 1814 发布，返回法国并开始发表他的结果，首先是关于圆锥曲线外接的内接多边形的结果。这部伟大的著作，Traité des propriétésprojectives desfigures（“关于图形投影属性的论文”）发表于 1822。在其中，Poncelet 展示了通过投影保留了点的对齐或相切等属性，并系统地使用了二次曲线的极点与极之间的关系，这是对偶原理的基础：在平面射影几何中，当“点”和“线”一词互换时，关于点和线的每个定理仍然成立。 这些想法为射影不变量的研究铺平了道路，例如由莫比乌斯和查斯开发的四点的双比（或非调和），以及Felix Klein的程序，该程序在1872中通过保留几何的变换组对几何进行分类。庞塞莱也是一位重要的工程师：他设计了液压轮并教授应用力学。于1867在巴黎去世。 来源： Poncelet (MacTutor) · J.-V. Poncelet，图形的属性投影 (1822)。

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第六章练习——变换

这是演示练习最多的章节。在打开解决方案之前，决定使用哪一系列公式：加法、乘法、除法或转换为乘积。 加法公式 131 计算以下值：a)$\cos 15^\circ$； b）$\operatorname{sen} 105^\circ$； c) $\operatorname{tg} 75^\circ$； d) $\sec 285^\circ$。 查看分辨率a) $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \operatorname{sen} 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ b) $\operatorname{sen} 105^\circ = \operatorname{sen}(60^\circ + 45^\circ) = \operatorname{sen} 60^\circ \cos 45^\circ + \operatorname{sen} 45^\circ \cos 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ c) $\operatorname{tg} 75^\circ = \operatorname{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \dfrac{\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ}{1 - \operatorname{tg} 45^\circ \operatorname{tg} 30^\circ} = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ $\left(= 2 + \sqrt{3}\right)$ d) $\sec 285^\circ = \sec 75^\circ = \dfrac{1}{\cos 75^\circ} = \dfrac{1}{\cos(45^\circ + 30^\circ)} = \dfrac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ $\left(= \sqrt{6} + \sqrt{2}\right)$

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转化为产品

在初等代数中，将多项式转换为乘积（因式分解）是一种具有巨大实际重要性的资源： $x^2 - 2x = x(x - 2)$ 突出显示 $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ 平方差 $x^2 \pm 4x + 4 = (x \pm 2)^2$ 完全平方三项式 $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ 立方和 $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ 立方体的差异 $x^3 \pm 3x^2 + 3x \pm 1 = (x \pm 1)^3$ 完美的立方体 我们经常将这些特征应用到三角学中，并进行诸如 $\operatorname{sen}^2 x - 2\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x - 2)$ 和 $\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x = (\operatorname{sen} x + \cos x)(\operatorname{sen} x - \cos x)$ 之类的变换。除了代数资源之外，三角学还具有可让您完成因式分解的公式 - 在上面的示例中，还可以对 $\operatorname{sen} x + \cos x$ 和 $\operatorname{sen} x - \cos x$ 进行因式分解。

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乘法和除法公式

通过加法公式中的$b = a$，我们得到双弧函数；反转这些公式，就是拱形一半的公式。例如，这些工具允许从 $\cos\frac{\pi}{4}$ 计算 $\operatorname{sen}\frac{\pi}{8}$。 故事 在 1593 中，比利时数学家 Adriaan van Roomen 向欧洲数学家发起挑战，要求他们求解度方程 45。法国国王亨利四世的律师兼顾问François Viète意识到这是$\operatorname{sen} 45\theta$对$\operatorname{sen}\theta$函数的表达式，并用他自己系统化的多重弧公式解决了这个问题。 半弓公式甚至更古老：托勒密在他的平板电脑的构造中使用它们从 $12^\circ$ 字符串传递到 $6^\circ$、$3^\circ$、$1{,}5^\circ$ 和 $0{,}75^\circ$ 字符串。 弗朗索瓦·维埃特是谁 François Viète (1540–1603) 从来都不是一名职业数学家：他是一名来自法国西部丰特奈勒孔特的律师，并为国王亨利三世和亨利四世服务。数学是留给他的空闲时间的——尽管如此，他还是改变了代数，使用字母来表示未知数（元音）和已知数字（辅音）。在宗教战争期间，他破译了西班牙国王菲利普二世发送给法国盟友的加密信件。该密码有数百个符号，菲利普二世确信它是不可侵犯的，并向教皇抱怨法国人只能使用黑魔法。在荷兰大使表示没有法国人能够解决这个问题之后，范·鲁门的挑战是由亨利四世亲自向他提出的。 Viète 立即给出了解决方案，第二天又给出了其他解决方案 22。 弗朗索瓦·维特 (1540–1603)。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 来源： Viète (MacTutor) · Van Roomen (MacTutor)。 在日常生活中 **踢和投掷。**在没有空气阻力的情况下，以速度 $v$ 和角度 $\theta$ 投出的球到达 $\frac{v^2\operatorname{sen} 2\theta}{g}$。最大范围在$45^\circ$处，因为$\operatorname{sen} 2\theta$在$2\theta = 90^\circ$处最大；若为 $v = 20$ m/s，则约为 40,8 m。 角度范围相同。 $30^\circ$ 和 $60^\circ$ 处的发射落在同一位置，因为 $\operatorname{sen} 60^\circ = \operatorname{sen} 120^\circ$ — 一个较低，另一个较高。 计算机绘图。 CAD程序使用$t = \operatorname{tg}\frac{\theta}{2}$参数绘制圆周圆弧，该参数将正弦和余弦转换为易于计算的多项式分数。 范围取决于 $\operatorname{sen}2\theta$：在 $45^\circ$ 处最大，并且互补角落在同一位置。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 23, 2026 阅读
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加法公式

我们来推导计算任意两个实数$a$和$b$的和$(a + b)$与差$(a - b)$的三角函数的公式，称为$a$和$b$的循环函数。 故事 节点 天文学大成, 托勒密 证明，在内接四边形中，对角线的乘积等于对边乘积之和—— 托勒密定理。应用于边长等于直径的四边形时，它精确地给出了两条弧的和与差的弦公式，托勒密用它来组装他的半度数表。波斯天文学家的公式以正弦形式出现 阿布·瓦法 （十世纪），我们在第二章中已经知道了。我们将要做的演示——基于两点之间的距离——使用笛卡尔的解析几何，并且是更新的。 托勒密如何计算 1° 的弦 利用正多边形以及和、差和半公式，托勒密可以达到 $72^\circ$、$60^\circ$、$12^\circ$、$6^\circ$、$3^\circ$、$1\frac{1}{2}^\circ$ 和 $\frac{3}{4}^\circ$ 的弦，但不能达到 $1^\circ$ 的弦，因为不可能将一个角分成三部分：尺子和指南针。结果是不等式：对于小弓，弦的生长速度比弓慢一点，所以 $$\tfrac{2}{3}\,\text{crd}\,1\tfrac{1}{2}^\circ < \text{crd}\,1^\circ < \tfrac{4}{3}\,\text{crd}\,\tfrac{3}{4}^\circ.$$根据60计算，在半径为60的圆内，两个极值重合达到表格精度：$1;2,50$，即$1 + \frac{2}{60} + \frac{50}{3600} \approx 1{,}04722$。现代值为 $120\operatorname{sen} 0{,}5^\circ \approx 1{,}04718$。 克劳狄斯·托勒密（Claudius Ptolemy，c. 100–170），后来的艺术表现，带有浑天仪。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 托勒密定理：在内接四边形中，对角线的乘积是对边乘积之和。拖动顶点；然后将 $AD$ 放在直径上。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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第五章练习——著名的拱门

126 计算$\operatorname{sen} 15^\circ$、$\cos 15^\circ$和$\operatorname{tg} 15^\circ$。 查看分辨率$\operatorname{sen} 15^\circ = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\ell_{12}}{2}$。让我们计算$\ell_{12}$：设$Q$为内接正六边形的顶点，$P$为六边形一侧弧的中点，则$PQ = \ell_{12}$。半径 $OP$ 在六边形的中点 $R$ 处垂直切割六边形的边。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 在三角形$PQR$中，矩形在$R$中： $$PQ = \ell_{12} \qquad QR = \frac{\ell_6}{2} = \frac{1}{2} \qquad RP = OP - OR = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$（因为 $OR$ 是 等边三角形 与 1 之间的高度）。然后 $$\ell_{12}^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} = 2 - \sqrt{3}$$$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{12} = \frac{\ell_{12}}{2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{1 - \frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}.$$*注意：*在第六章中我们会看到这些值也写为$\operatorname{sen} 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$、$\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$和$\operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$。

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π/n 的正弦和值得注意的弧

我们将验证实数 $x = \dfrac{\pi}{n}$ 以及 $n \in \mathbb{N}$ 和 $n \ge 3$ 的圆函数可以从 $\ell_n$ 计算，即正多边形的边，$n$ 边内接在循环中。 故事 在第一本书中 天文学大成, 托勒密 他完全按照这样的方式构建了他的弦表：他从欧几里得几何知道如何计算的内接正多边形——三角形、正方形、五边形、六边形和十边形——的边开始，并通过弧的和、差和一半的公式获得其他弧，我们将在第六章中看到这些公式。弓的弦 $2\alpha$ 在一个半径的圆内 $R$ 和 $2R\operatorname{sen}\alpha$：本章中的定理是这一思想的现代翻译。 托勒密是谁 的 克劳狄斯·托勒密 （约 100-170）除了这部作品之外，几乎一无所知：他住在罗马埃及的亚历山大，他记录的观测范围从 127 到 141。他伟大的天文学论文被称为 数学作文;崇拜他的阿拉伯天文学家称他为 议会，“最伟大的”，从那里而来 天文学大成。在其中，托勒密描述了一个以地球为中心、行星一圈又一圈的宇宙——这是一个有缺陷的模型，但它在预测天空位置方面非常准确，以至于它被使用了近 1400 年，直到哥白尼和开普勒。托勒密还写过一篇 地理，具有数千个地点的坐标，以及 光学，其中他研究光的折射。 克劳狄斯·托勒密（Claudius Ptolemy，c. 100–170），后来的艺术表现，带有浑天仪。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 圆弧 $2\alpha$ 的弦 $AB$ 由半径 $OM$ 一分为二：每一半测量 $R\operatorname{sen}\alpha$，然后测量 $\text{crd}\,2\alpha = 2R\operatorname{sen}\alpha$。托勒密的木板提供了绳索；印第安人，半绳。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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第四章练习——缩减至第一象限

减少到第一象限 117 减少到第一象限： a) $\cos 178^\circ$ b) $\operatorname{sen} 251^\circ$ c) $\operatorname{tg} 290^\circ$ d) $\operatorname{cotg}\dfrac{7\pi}{6}$ e) $\sec 1924^\circ$ f) $\operatorname{cossec}\dfrac{23\pi}{6}$ g) $\operatorname{sen}\left(-\dfrac{7\pi}{6}\right)$ h) $\cos\left(-\dfrac{5\pi}{3}\right)$ i) $\operatorname{tg}\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)$ j) $\operatorname{sen}\dfrac{21\pi}{4}$ k) $\cos\dfrac{31\pi}{6}$ l) $\operatorname{tg}\dfrac{11\pi}{3}$ Ver respostaa) $-\cos 2^\circ$ · b) $-\operatorname{sen} 71^\circ$ · c) $-\operatorname{tg} 70^\circ$ · d) $\operatorname{cotg}\dfrac{\pi}{6}$ · e) $-\sec 56^\circ$ · f) $-\operatorname{cossec}\dfrac{\pi}{6}$ · g) $\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6}$ · h) $\cos\dfrac{\pi}{3}$ · i) $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}$ · j) $-\operatorname{sen}\dfrac{\pi}{4}$ · k) $-\cos\dfrac{\pi}{6}$ · l) $-\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}$

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约简恒等式以及偶函数和奇函数

故事 名称偶函数和奇函数来自以下幂：$x^2$、$x^4$、$x^6$…当我们将$x$更改为$-x$时不会更改，并且$x$、$x^3$、$x^5$…更改符号。这些术语出现在年轻的 Leonhard Euler 的著作中，该著作涉及当时提出的曲线问题“互易轨迹”，大约写于 1727。欧拉还意识到余弦的行为类似于偶次幂，而正弦的行为类似于奇次幂，这在他使用的级数中很清楚：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$仅具有偶次幂，而$\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$仅具有奇次幂。 年轻的欧拉是谁 1727年，20岁的时候， 欧拉 离开巴塞尔，到新成立的科学院任职 圣彼得堡 - 有趣的是，生理学部门的一个职位，因为那是那里的空缺。他抵达这座城市的那天正是学院的保护者叶卡捷琳娜一世女皇去世的那天，几个月以来，没有人知道该机构是否还能生存。他活了下来，欧拉很快转向数学，并在那里呆了五十多年。他的一生在阅读第七章. 余弦（红色）及其级数的第一个和，$1 - \frac{x^2}{2}$ 和 $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$：只有偶次幂，因此它们都相对于垂直轴对称，就像余弦本身一样。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 来源： Euler (MacTutor) · 一些数学词汇的最早已知用法：E (Jeff Miller)。

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互补弧和数值表

通过上一主题的简化，了解第一象限的函数就足够了。最终的对称性（在第一象限的 角平分线 中）进一步减少了工作量：知道从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$（即从 $0^\circ$ 到 $45^\circ$）的弧就足够了。 故事 第一个三角表是弦：喜帕恰斯和托勒密将每张弓的弦制成表格，半度乘半。印度人开始将半弦（正弦）制成表格，阿拉伯天文学家添加了正切和余切，与日晷上阴影的长度相关。在 15 世纪，Regiomontanus 用 7 位数字计算正弦，而在 1596 中，由 Valentin Otho 完成的 Rheticus 的遗作，在 10 角秒内带来了 10 的六个函数，最多具有 10 个数字——这项长达数十年的工作虽然被计算器变得不必要，但却支撑了几个世纪的导航和天文学。这个题目的对称性是组装板的第一招：计算正弦到$45^\circ$，剩下的就免费了。 雷蒂克斯是谁 格奥尔格·约阿希姆·雷蒂克斯 （1514-1574）出生于奥地利，具有另一个姓氏。当他14岁时，他的父亲是一名医生，被判犯有巫术并被斩首，家人不得不放弃这个名字；年轻人开始自称 雷蒂库斯，因为雷西亚，他来自的地区。 1539 年，他前往波兰的弗龙博克 (Frombork) 参观维滕贝格 (Wittenberg) 教授。 哥白尼几十年来，他一直坚持地球绕太阳旋转的理论。雷蒂克斯是他唯一的弟子：他跟随他两年并发表了该理论的第一个总结（主要叙事，1540）并说服他打印 从 革命巴士 （1543）。在三角学中，他是第一个直接用三角函数的边定义六个函数的人。 直角三角形，而不是圆弧。他将余生奉献给了他的庞大董事会 白金作品，这本书直到他去世22年后才问世。 c. 140 a.C.Hiparchus 制造了第一个已知的弦板。 c. 150托勒密：半度和弦，底数为 60。 499Aryabhata：24 半弦（正弦），从 $3^\circ 45'$ 到 $3^\circ 45'$。 世纪。 XAbu al-Wafa：从 $15'$ 到 $15'$ 的正弦，有八个位置。 c. 1464Regiomontanus：具有 7 位的正弦。 1596Rheticus和Otho：从$10''$到$10''$的六个函数，最多10位。 1614Napier 发布了正弦对数表。 1972袖珍科学计算器使主板退役。 来源： Regiomontanus (MacTutor) · Rheticus (MacTutor)。

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将第二、第三和第四象限减少到第一象限

让我们推导计算$x$的三角函数的公式，其中$x$在第一象限之外，将$x$与第一象限中的某个数字相关联。目标是从给出 $0$ 和 $\frac{\pi}{2}$ 之间实数循环函数的表中了解 $\operatorname{sen} x$、$\cos x$ 和 $\operatorname{tg} x$。 将 $P$ 拖过所有象限。第一象限的点$P'$是$P$的对称点；比较面板上的正弦和余弦值。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 故事 三角函数表总是仅覆盖圆的一部分：Aryabhata 的弧线从 $0^\circ$ 到 $90^\circ$，而对于其他弧，天文学家使用圆的对称性。缺少的是标志的规则。虽然正弦和余弦是线段长度，但它们始终为正，并且每个象限都需要单独推理。这一变化是随着人们接受负数作为具有几何意义的数字而发生的。在 1629 中，法国人 Albert Girard 写道，在几何学中，负解“表示挫折”——无论谁走 $-3$ 步，都会向后走 3 步。正是这个想法向循环中一点的坐标发出信号，从而向每个象限中的循环函数发出信号。在接下来的一个世纪，欧拉将符号规则组织成我们使用的形式。 阿尔伯特·吉拉德是谁 阿尔伯特·吉拉德 (1595–1632) 出生于洛林圣米耶尔的一个新教家庭，与许多其他人一样，由于宗教迫害而在荷兰避难。他在莱顿学习，曾一度以鲁特琴演奏家为生，最终在奥兰治王子弗雷德里克·亨利的军队中担任工程师。在 1626 中，他发布了三角函数表，其中首次出现缩写 tan 和 sec。在Invention nouvelle en l’algèbre (1629)中，他超越了他的时代：他指出，度方程$n$有$n$个根，计算负数和“不可能”的根——我们今天所说的代数基本定理，仅由高斯在1799中证明。他在37岁时去世，使他的家庭陷入贫困。 628印度的Brahmagupta给出了处理“债务”（负面）和“财富”（正面）的规则。 1545卡尔达诺仍然称负根numeri ficti，虚构数字。 1629Albert Girard：在几何学中，负数“表示挫折”。 1637笛卡尔发布了几何，它产生了坐标。 1748欧拉组织了四个象限中的循环函数的符号。 来源： Girard (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor)。 在日常生活中 **计算器。**要计算 $\operatorname{sen} 1000^\circ$，机器首先转动 ($1000^\circ - 720^\circ = 280^\circ$)，然后将其减少到第一象限：$\operatorname{sen} 280^\circ = -\operatorname{sen} 80^\circ$。 导航。 向 $225^\circ$（西南，从东测量）方向步行 10 公里，向东移动 $10\cos 225^\circ \approx -7{,}07$ 公里，向北移动 $10\operatorname{sen} 225^\circ \approx -7{,}07$ 公里：路牌上写着“西”和“南”。 游戏。 面向 $150^\circ$ 的角色朝 $(\cos 150^\circ, \operatorname{sen} 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 方向行走：向左并向上一点。 在任何象限的航向中，余弦和正弦符号表明船是向东还是向西、向北还是向南行驶。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 23, 2026 阅读